学生说题：数学抽象素养培育的项目化实践

吴小兵

摘要：在数学解题教学中，可以通过推行学生说题项目，有意识地培育学生的数学抽象素养。在准备阶段，需要指导学生解题方法，做好说题示范引领，并且构建学习组织框架。在实践阶段，可以通过自我诊断加深学生对数学概念的理解，通过概括归纳提升学生对问题本质的认识，通过条分缕析促进学生对解题规律的感悟。

关键词：学生说题数学抽象素养数学概念问题本质解题规律

数学抽象是指从数量关系与空间形式中摒弃个别的、非本质的属性，抽离出共同的、本质的属性，目的是获取数学研究对象。数学抽象作为形成数学概念的必要手段，是形成理性思维的重要基础，包括从数量与图形的复杂关系中抽象出一般的规律和结构，并用数学语言加以表征。因而，数学抽象素养成为数学核心素养的基础，反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识层次。

近年来，笔者所在教研团队一直致力于初中生数学抽象素养培育的研究，特别是在解题教学中，通过推行学生说题项目，有意识地培育学生的数学抽象素养，取得了一定的成效。所谓“说题”，是指在学会解题的基础上，通过分析，清楚地表达如何解题，并说明相关依据、方法，进而归纳总结经验性的解题规律。学生说题不是直接叙述解题过程，也不是简单汇总各种解答方法，实质上是展现自身对相关数学概念、知识结构、思想方法等的掌握程度，体现的是从数学问题中抽离出核心题设、过程、结论等的关键能力。而采取项目化的方式，可以更好地加强学生说题团队的整体实践，能够更完整地统筹规划、明确任务、实施评价、总结应用等，从而利于研究的深层次开展。

一、学生说题的项目准备

（一）学生解题方法指导

著名数学家、数学教育家G.波利亚在他给出的“怎样解题表”中，将数学解题过程分成了四个步骤：弄清问题;找出已知数与求知数之间的联系，拟订计划;施行计划;验算所得到的解。教师在平时的教学中，可专门向学生详细地介绍这几个步骤，并提出相应的要求：首先，学会审题，弄清题意，适当圈注关键字眼，既读懂各类显性信息，又抓准隐含的命题意图与涉及的知识点;然后，集中精力探讨解题思路，借助画图、演算、推理等方式，大胆猜想，小心验证，注重“由因导果”与“执果索因”两方面的结合，力求形成比较完备的解题思维链;有了解题思路，还要准确、快速地表达出来，解题书写过程要尽可能做到精练、整洁、美观;最后，还应养成解后反思的习惯，一方面是快速验算解题过程，包括纠正计算错误，根据数感、直觉找出遗漏之处，以及甄别答案是否合理，另一方面是“由树见林”，建立相关模型，形成对应经验，抽象出一般的解题规律。

当然，数学解题是一个相当复杂的心智过程，即使再熟悉一般的解题步骤，也并不意味着遇到具体问题时一定能及时寻求到正确的解题思路，即数学解题需要有相当程度的思考与积累。教师在平时的教学中，还应给予学生适度的训练，让其研究解题方法，增强解题能力。

（二）教师说题示范引领

为了让学生更加真切地感知说题，尽快进入说题角色，教师应做好示范引领。除了在平时的解题教学中就有意识地加强师生互动之外，还应择机选择典型问题，比较完整地向学生展示说题的实践操作过程。其一般程序主要包括：（1）原题呈现;（2）题目立意与背景出处说明;（3）解答策略（含参考解答）解释;（4）蕴含的思想方法解读;（5）拓展引申。

（三）学习组织框架构建

说题需提高学生的积极性与参与度，所以应该建立一定的运行框架，以确保组织到位。一般可按数学综合成绩对全班学生进行分组，每组6—8人，设正、副组长各1名。小组之间应尽量做到实力相当，并适当兼顾学生意愿加以调整，以增强小组的凝聚力。然后，在教室内给每个小组指定集中区域，各配置一块小白板，供学生说题时板演使用。说题任务布置后，一般是先各个小组在组内说题，时机成熟后教师择优或随机抽选部分成员在全班展示说题成果。

学生说题应坚持因材施教的原则，在确保人人参与的基础上各有侧重。比如，对于难题，可让“学优生”完成说题的全部环节，而“学困生”只需阐述其中某几项内容;或者在小组内采取分工合作的形式，设法以不同分工调动全体学生说题的积极性，激发所有层次学生的求知欲。

二、学生说题的项目实践

开展学生说题的关键之一，是让学生明确说题在学习过程中的意义和作用，弄清本次说题的目的和要求，从而引起学生的重视，调动学生的积极性。而说题内容的选择要有广泛性，题目的筛选应该具备典型性、灵活性、综合性等，难度上要先易后難，知识上要先点后面，程序上要先课本后课外，数量上要先单一后成批，广度上要先封闭后开放，并确保各类题型均有涉及。

（一）自我诊断——加深对数学概念的理解

作为现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，抽象形成的数学概念是构成数学定理、公式、法则等的基础。学生说题可作为自我审视、诊断的重要手段，以此发现对有关数学概念理解的不足，加深理解。

例1（2015年江西省中考题改编）已知⊙O是△ABC的外接圆。请根据下列条件，仅用无刻度的直尺，分别在图1和图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）。

（1）如图1，AC=BC;

（2）如图2，直线l与⊙O相切于点D，l∥AB。

本题的说题重点如下：

作为一道几何作图题，本题与常见的尺规作图题最大的区别是仅允许使用无刻度的直尺，本题着重考查了圆中相关概念及有关定理的应用。从“题眼”切入，一是要找“弦”，二是要平分三角形的面积，而最常见的能平分三角形面积的线是其中线，这就要找弦的中点，自然将问题引向垂径定理及其推论。第（1）问相对直接，由AC=BC可知对应的两条劣弧相等，根据垂径定理的推论，只要过点C作⊙O的直径，即过AB的中点，即可平分△ABC的面积。第（2）问涉及的概念较多，如图3，首先根据切线的定义，连接DO并延长，交AB于点E，由DE⊥l，可知DE⊥AB ，根据垂径定理，可得E为AB的中点，则过点C、E作弦CF即可平分△ABC的面积。

作为一道中档题，本题测试的得分率却不高。究其原因，是“圆”这一部分图形概念较多（如弦、直径、弧、等弧、圆心角、圆周角、切线等），且是图形性质的基础（如弦、直径、弧、等弧是垂径定理及其推论的基础等）;学生对相关概念，往往能再认，却不能主动提取再现，换言之，即对相关概念的理解还不够深刻。比如，部分学生画出的是直线，表明对“弦”这一概念的认识有偏差。而在练后反思阶段，让学生在小组内将此题说给同伴听，不少学生边说边悟，发现自身在概念理解上存在较大的漏洞，很快找到了问题的症结所在，加深了對概念的理解。

（二）归纳概括——提升对问题本质的认识

作为解题教学的一种形式，学生说题的主要目的除了巩固、强化相关概念等知识之外，更重要的是学会解题。为此，学生在说题时，要学会归纳概括，提升对问题本质的认识，从而掌握基本题型，以不变应万变，解决一类问题。而这一过程，实际上也是一个数学抽象的过程。

例2（2019年江苏省南通市中考题）已知：二次函数y=x2-4x+3a+2（a为常数）。

（1）请写出该二次函数图像的三条性质;

（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图像在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图像有两个交点，求a的取值范围。

本题的说题重点如下：

作为一道函数综合题，本题从二次函数的性质出发，重点考查了二次函数与一次函数图像的位置关系（交点问题）。第（1）问相对简单，可以结合二次函数的增减性、最值等回答，如：当x>2时，y随x的增大而增大;当x<2时，y随x的增大而减小;当x=2时，y取最小值3a-2。第（2）问考查二次函数与一次函数图像的位置关系，即考查二者解析式联立的方程组解的情况，可以转化为一元二次方程根的情况，这里也就是（常数项）含参数的一元二次方程（即x2-4x+3a+2=2x-1，即x2-6x+3a+3=0）在一定的范围内（即x≤4）根的情况，而这类题目是有一般的解法（结论）的。具体到本题，由于x2-6x+3a+3=0在x≤4时有两个不相等的实数根，可知Δ=36-4（3a+3）>0且x=4时x2-6x+3a+3≥0，解得a<2且a≥53，即a的取值范围为53≤a<2。

可见，在本题的说题中，要学会归纳概括，发现问题的本质，即含参数的一元二次方程根的情况，也即含参数的二次函数图像与x轴交点的情况，从而运用这类问题的一般解法，即让函数图像动起来，发现与交点情况相关的函数性质（可让学生研究得到一般结论），解决本题（乃至更多的题目）。

（三）条分缕析——促进对解题规律的感悟

学生说题，尤其是说比较复杂的问题时，还要学会条分缕析：先追本溯源，理顺条件与结论之间的关系;再化繁为简，抓住解题的关键，自然生成解题的策略。这可以促使学生充分感悟解题规律，提炼获取可迁移的解题思想与经验，提升解题能力。这对于学生来说可能有一定的难度——他们常常说不清思路是怎么来的。而这一过程实际上同样是一个数学抽象的过程。

例3（2012年四川省攀枝花市中考题改编）如图4，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于点D，点Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x。

（1）当CQ=12CE时，求y与x之间的函数关系式;

（2）当CQ=13CE时，求y与x之间的函数关系式;

（3）当CQ=1nCE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式。

本题的说题重点如下：

作为一道几何图形中数量关系的探索题，本题条件比较繁杂，分析起来有一定的难度;而设问结论做出了从特殊到一般的铺垫，在一定程度上降低了难度。对此，首先可以理清各个条件之间的关系，看看解题的关键在哪里。将各个条件联系起来看，不难发现：首先是△ABC，BC=6，点A不确定，这可能最终导致y与x的变化;然后是中位线EF，显然EF∥BC且EF=3，EF的位置随着点A变化而变化;接着是BP、CE、BQ三条线段及P、D、Q三个新增点，尽管根据先给出的条件会发现点P、D是不受点A控制的动点，但是，看到后给出的条件则会发现点Q是线段CE的等分点，是受点A控制的动点，而点P、D使BQ平分∠CBP，是受点Q控制的动点，也就是受点A控制的动点。这样就基本理顺了问题的来龙去脉，点A的变化最终导致y与x的变化，而决定y与x关系的可能主要是点Q为线段CE的等分点，BQ平分∠CBP，EF∥BC。这样就出现了“分线段成比例+角平分线+平行线”的基本图形，从而不难想到构造“8字型”和等腰三角形，利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形性质）和等腰三角形性质来解决问题。具体来说，即延长BQ，交射线EF于点G（如图5），则有EGBC=EQQC，BP=GP，所以x+y=EG=EQQC·BC。由此，所有小问均迎刃而解，答案分别为y=-x+6，y=-x+12，y=-x+6（n-1）。

可见，在本题的说题中，要学会条分缕析，自然生成解题的策略，即由三角形中位线（平行线）的大背景以及三个新增点之间的决定关系，聚焦到“分线段成比例+角平分线+平行线”的基本图形，构造“8字型”和等腰三角形……从而感悟一般的解题规律，即抓住基本图形，寻找变中不变。

总之，学生说题的表现形式是“解说”，内在实质是“促思”。说题项目的开展，可以有效改善数学课堂的教学生态，引导学生从纷繁复杂的各类问题（信息）中抽丝剥茧，抓住本质，发现规律，锤炼抽象思维，发展数学抽象素养。

*本文系江苏省中小学教学研究第十三期立项课题“农村初中生数学抽象素养培塑的实践研究”（编号：2019JK13L170）、江苏省第五期“333工程”科研资助立项项目“数学‘深度学习教学改进项目实践研究”（编号：BRA2020203）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] G.波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.