立体几何动点问题解题策略研究与对策

刘益飞

【摘要】立體几何中轨迹问题以及与轨迹相关的度量问题，可以综合采用几何法与代数法处理.采用几何法时，需要抓住几何不变量，熟悉一些常见曲线定义及其生成过程，以及常见的截口曲线的类型;采用代数法时，要建立合适的坐标系，尽可能简化运算.

【关键词】几何轨迹;动中寻静;抛物线

一、引 例

下面这道题是2019年4月浙江省学业考试选择题第18题，诸如此类的立体几何中的轨迹问题在近几年各地区的模考、浙江省的学考试题与高考试题中频出.本文就高中范围内，常见轨迹产生的原理进行分析，给出立体几何中轨迹问题的常见的处理方法.

二、知识准备

命题1：空间中到一定点距离为定长的点的轨迹为球面，球被一平面截得的曲线为圆;

命题2：在空间中，到定直线的距离为定值的动点（或动直线）形成的轨迹为以定直线为轴的圆柱面;

命题3：圆柱被垂直于旋转轴的平面截得的曲线为圆，被不垂直于旋转轴的平面截得的曲线为椭圆;圆柱面被平行于旋转轴的平面截得的曲线为两条平行于轴的平行线;

命题4：设圆锥的母线与轴的夹角为α，用一个平面去截圆锥，截面与圆锥的轴的夹角为β，

三、立体几何中常见的轨迹问题举例

各类考试对立体几何中的轨迹问题的考查主要分为轨迹类型识别和与轨迹相关的度量问题两大类，主要出现在选择题和填空题的压轴位置，考生得分率往往不高.下面以轨迹为圆、椭圆、双曲线和抛物线举例介绍.

点评 本题主要考查空间想象能力和推理能力以及球的体积计算，确定点P的轨迹是关键.

【参考文献】

[1]刘光红.空间中动点轨迹的长度[J].高中数学教与学，2015（01）：22.

[2]张城兵.例析立体几何中的动点轨迹问题[J].高中数学教与学.2014（19）：35.