知识整合

朱美红

【摘要】在高中数学教材中，所有知识板块都不是独立存在的，而是相互交叉、渗透的，构成了一个系统的知识网络.因此，在一线教学中，教师应对知识进行整合，以培养学生的数学思维，提高教学的有效性.本文以“等差数列”一课为例，探讨函数与等差数列知识整合的课堂设计.

【关键词】高中数学;等差数列;知识整合;教学设计

引 言

高中数学教学是一项系统的任务，在教学过程中，其中的任何一课都不能脱离教材的整体的知识架构，都不能脱离其他知识而独立存在.从教材知识设置的角度来看，高中数学教材中所有知识都不是独立存在的，而是相互交叉、相互渗透的，构成了一个系统的知识网络，如函数与导数、函数与向量和解三角形，等等.因此，高中数学教师需要具备大视野，能够从整体的角度来审视每一课的功能及其对教材整体性知识架构的影响;能够通过知识整合来构建系统的教学框架，引导学生建立认知图式，从而培养学生的数学思维，提高教学质量.基于此，本文以“等差数列”一课为例，立足函数与等差数列的内在联系，阐述基于知识整合的课堂教学设计.

一、等差数列与函数知识整合的主要依据

在课堂教学中，教学设计的关键之一是把握教学内容的特点及其性质，进而梳理其与其他知识之间的内在联系，在此基础上，将其他知识与教学内容进行整合.在这一过程中，教师需要从已学知识入手，引导学生将已学知识作为新课重难点知识的突破口，提高学生学习的有效性.以“等差数列”一課为例，数列本身就是一种特殊的函数.在性质上，它可以表述为以项数n为自变量的函数，也可描述为以正整数集为定义域的函数.而函数是高中数学教材中的基础知识，与其他知识之间存在直接联系.仅就等差数列来说，函数是解决等差数列问题的基本路径之一.因此，将函数与等差数列进行整合，是架构知识图式、提高教学质量的重要手段.

具体来说，函数与等差数列知识整合的交互点表现在两个层面.

第一个层面是一次函数与等差数列通项公式之间的整合.等差数列通项公式的基本形式为an=a1+（n-1）×d，其中，an可看作n的一次函数，它的图像是一次函数上的离散点，即所有表示（n，an）的点都在同一直线上.因此，一次函数与等差数列之间有着密切联系.

第二个层面是二次函数与等差数列前n项的知识整合.在等差数列中，对于数列{an}，通常用a1+a2+a3+…+an来表示{an}的前n项和，它的公式Sn=an1+n（n-1）d2可看作关于n的二次函数，因此，可用二次函数的性质来解决等差数列与Sn最值的有关问题.

此外，函数本身是一种数学的思想方法，是指导学生开展等差数列课堂学习的重要思想.在课堂上，教师可引导学生将函数作为学习新课的切入点，让学生运用函数的方法来学习等差数列，将两者进行有机整合，建立起以函数和等差数列为主体的认知图式，以提高学生学习的有效性，打造高效课堂.

二、等差数列与函数知识整合的教学设计

在知识整合视角下，教师可根据等差数列一课的主要内容，将授课过程划分为多个环节，并为每个环节设计不同的学习任务和目标，从而创设系统化的教学流程，提高教学质量.基于此，笔者在设计本课时将教学过程划分成了四个环节：第一个环节是导入新课，教学目标是让学生运用已有的学习经验，归纳等差数列的基本概念;第二个环节是加强概念认知，教学目标是让学生从一次函数入手，解析等差数列的性质和公式;第三个环节是提炼归纳，教学目标是让学生将二次函数与等差数列进行整合，提高对等差数列的理性认识;第四个环节是巩固练习，教学目标是通过习题练习，培养学生的知识应用能力.

1.第一个环节

教师以提问导入新课：我们在初中时学习过数列知识，而本课所要学习的等差数列，即属于数列的范围.那么，数列与等差数列之间具有哪些不同？

教师提示1：数列与函数的关系.

教师提示2：数列与等差数列的概念差异.

学生回顾之前所学知识并合作探究：

①数列是以正整数集（有限子集）为定义域的函数.

②在数列中，如果每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，即等差数列.

教师板书：an=a1+（n-1）×d

设问：在这一通项公式中，什么是等差数列的常数？什么是公差？

学生阅读教材并合作探究：n是等差数列的常数，而常数也是等差数列的公差，即公式中的d.

笔者总结：判断等差数列成立的条件，是观察数列中从第二项开始，后一项减前一项的差是否相同.

2.第二个环节

教师设问：回顾一次函数的概念，对比它与等差数列通项公式，观察它们之间具有哪些联系？

学生合作探究：

①一次函数：y=kx+b（k≠0），x是自变量，y是因变量，k和b是常数;在b=0的前提下，k是常数，y是x的正比例函数.

②等差数列：在通项公式an=a1+（n-1）×d中，当d=0时，an是n的常函数;当d≠0时，则an是n的一次函数.

课件展示：在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an（m≠n），则d=an-a1[]n-1=an-am[]n-m，从而有an=am+（n-m）d.

教师设问：课件中给出了已知条件，那么可否直接求公差？

教师提示：将等差数列与一次函数的性质进行对比，观察等差数列{an}的图像.

学生合作探究：等差数列的图像是均匀分布在一条直线上的孤立的点，任选其中两点，如（n，an）和（m，am）（m≠n），类比直线的斜率公式可知公差d=an-am[]n-m.

师生归纳：

①等差数列的性质：在等差数列中，如果m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq.

3.第三个环节

教师设问：刚才通过一次函数与等差数列的整合，概括出了等差数列的性质.二次函数的概念是什么？二次函数与等差数列的性质之间存在哪些联系？能否运用二次函数理论去解决等差数列问题？

在问题情境下，教师让学生回顾二次函数的定义，进而将两者进行整合.

学生回顾已学知识并合作探究：

①二次函数中引入了平方的概念，基本形式为y=ax2+bx+c（a≠0）.

②在二次函数的概念下，等差数列{an}的前n项和公式Sn=na1+n（n-1）d2，属于关于n的二次函数，证明能够用二次函数的性质去解决等差数列问题，即y=ax2+bx+c（其中a=d2，b=a1-d2，c=0），能够解决等差数列中Sn最值的有关问题.

4.第四个环节

教师设问：通过刚才的学习，可以看出函数与等差数列之间存在着密切联系.那么，在学习或生活中遇到关于等差数列的实际问题时，如何正确选择一次函数或二次函数来解决实际问题？

教师提示：函数思想是数学思想中的一个重要方法，我们依托函数的基本方法，能用函数的概念去分析问题、转化问题和解决问题.

习题1：在能够确定数列为等差数列的前提下，已知a2+a3+a4=18，a2a3a4=66，求a2，a3，a4.

习题2：如何运用等差数列的常数和公差设计3个数，使它们既能满足等差数列的条件又方便计算？

三、教学过程

1.设立情境，引入课题

①大家首先从1开始，按照2的倍数依次增加，能得到什么数列？

②渔民们为了使鱼塘里的鱼类有良好的水质环境，每天定时定量通过防水来清理鱼塘中的杂鱼，现在鱼塘的水位为19米，通过人工防水每天水位降低2.5米，为了保证鱼类的成活率，最低可以降到5米，那么大家想一想，从第一次开始防水算起，到渔民可以清理鱼塘之时，鱼塘每天的水位构成一个什么数列？

③我国银行的储蓄政策规定，银行以单利的方式进行支付存款利息.这种单利方式计算本金和利息的公式为本金利息和=本金×（1+利率×存期）.如果我们现在活期存进10000元，年利率为0.65%，那么按照这种计算方式，在5年内，每一年的本金与利息之和构成什么数列？

教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数.上面三个例子中分别蕴涵了三个数列，请同学们思考一下是哪三种数列.

学生回答：

①1，3，5，7，9，11…

②19，16.5，14，11.5，9，6.5，4…

③10065，10130，10195，10260，10335…

（设置意图：将生活中的实例引入课堂，让学生感受现实生活中的等差数列模型，初步认识等差数列的特点.）

2.观察归纳，形成定义

①1，3，5，7，9，11…

②19，16.5，14，11.5，9，6.5，4…

③10065，10130，10195，10260，10335…

思考1：上面三个数列有什么相同之处？

思考2：总结上面三个数列的相同点，请总结出等差数列的定义.

思考3：你能将第二个思考问题的答案用数学符号表示出来吗？

教师先引导学生总结上述三个数列的相同之处，然后让学生根据数列的共同特征归纳总结出等差数列的基本概念.

学生分成几个小组分别讨论，可能会得出以下几个不同的结论，如上一个数和下一个数的差有著某种关系;这些数都是规律排列的等.但是只要学生的结论合理，符合等差数列的性质，教师就要给予学生肯定.

（设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性;使学生体会等差数列的规律和共同特点.）

3. 举一反三，巩固定义

（1）给出以下数列，教师引导学生回答等差数列的定义及性质，让学生回答以下数列是否为等差数列，如果是，那么计算出公差d.

①2，2，2，2，2;

②2，1，2，1，2;

③5，4，3，2，1;

④3，6，9，12，15.

在这里需要注意的是，公差d可以是正数，也可以是负数，甚至可以是0.教师应提醒学生不可以将减数和被减数弄混.

（设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用.）

思考4：假设某个数列{bn}的通项公式为bn=2n-1，那么这个数列是等差数列吗？请带入一组数据证明.

（设计意图：强化学生对等差数列定义的理解.）

结 语

综上所述，在高中数学等差数列一课的教学中，教师应通过引入函数的概念，将一次函数、二次函数与等差数列的课堂教学进行整合，加大了教材中各个知识板块之间的契合度，实现了不同知识之间的整合，同时帮助学生建立起了认知图式.在教学过程中，教师把握住了一条主线，即函数概念与等差数列的概念，引导学生分析两者之间的共通性，使学生在学习中体验函数思想的应用价值，由此拓展了本课的教学功能，由知识整合到数学思想方法的整合，提高了学生学习的有效性，提升了教学质量.

【参考文献】

[1]梁增铁，崔志荣.高中数学等差数列章节知识易错点内容探析[J].考试周刊，2011（41）：61.

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[4]吕佐良.聚焦数列与其他知识的整合[J].试题与研究，2013（29）：5-10.