习题教学中让学生参与题目变式的尝试

袁文平

【摘要】根据荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔的观点“学习数学的唯一正确的方法是实行再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或者创造出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造，而不是把现成的知识灌输给学生.因此，我们在教学中可以试着让学生成为改编的主体，让学生真正成为题目的改编者，甚至创造者.

【关键词】习题教学;变式;改编;模型;经验积累

在平时的习题变式教学中，教师们惯用的是“题目—变式训练”模式，而变式的主体是教师，也就是教师本人将题目原型进行变式，再让学生进行训练，进而达到巩固的目的.做变式训练题，毫无疑问，学生是喜欢的.如果学生成为题目的改编者，那么是不是更有味道呢？对于这类尝试，我通过长期的教学实践，取得较好的效果.我以浙教版教材中的一道习题和资料中的一道习题为例，大胆进行了让学生参与题目变式的尝试，下面来谈谈自己的一些收获与感想.

一、一道教材习题引起的改编大潮

1.教材习题展示

浙教版八年级（下）数学教材95页中有这样一道题目：如图1，已知E，F分别是ABCD的边BC，AD上的中点，求证：AE=CF.

题目分析：本题考查平行四边形的性质和判定，对于这道题的证明比较容易，这里就不详谈了.这道题可以通过改变E，F的位置进行变式，从而引发学生思考.

2.追问引发新思考

教师追问：请大家判断四边形AECF的形状.

学生：平行四边形（回答并证明）.

教师：对于这一题，大家发现点E和点F是比较特殊的：E，F分别是ABCD的边BC，AD上的中点.那么，同学能否变动E，F的位置，使得四边形AECF仍然是平行四边形呢？（引导学生层层递进，逐步思考，一共衍生出了如图所示的几种情形）

学生1：如图2，点E，F分别在边BC，AD上，且BE=DF.

学生2：如图3，点E，F分别是∠BAD，∠BCD的平分线与ABCD的边的交点.

学生3：如图4，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F.

学生4：如图5、图6，点E，F分别在对边的延长线上，满足：BE=DF.

3.层层推进，思维再度提升

教师：在上面的问题中，点E，F在平行四边形的对边上，能否将之移到对角线上呢？如图7，连接ABCD的对角线BD，我们在BD上取两点E，F，连接AE，CE，AF，CF.当点E，F满足什么样的特殊位置，使得四边形AECF是平行四边形呢？

受前面的启发，学生层层递进，逐步思考，又一共衍生出了如图所示的几种情形.

学生1：如图7，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线.

学生2：如图7，当∠DAF=∠BCE.

学生3：如图7，AE∥CF.

学生4：如图7，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.

学生5：如图8，E，F在线段BD两端的延长线上，且BE=DF.

以上这些学生的猜想都是正确的，也有一些学生提出的是命题不正确的，例如，图7中，AE=CF.通过学生命题，然后学生质疑，这也是一种非常好的教学手段.对于图8，还有学生提出更多的猜想，例如：AE∥CF，也可使得四边形AECF是平行四边形.

以上这些变式题目的产生，实际上结合了教材和作业本中多道题目.这些变式题使得题目、知识更系统化，能起到举一反三、触类旁通的作用，更有利于学生创新意识的培养.

二、高阶思维的碰撞，改出经典

1.例题展示

如图9所示，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足.

求证：

（1）ED∥BC;

（2）ED=12（AB+AC+BC）.

题目分析：很明显，本题有“角平分线+垂线=等腰三角形”的模型，因此，如图10，分别延长AD和AE与直线BC分别交于点G，H，则△ABG和△ACH都是等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得DE是△AGH的中位线，故第（1）小题得证.对于第（2）小题，AB=BG，AC=CH，所以AB+AC+BC=GH，由中位线定理即可得证.

2.横向联系，引导改编

改编1：

在教学中，我让学生思考，能否将本题进行改编.由于没有方向，学生自然不知道如何改编，所以改编本题，要么改编题目，要么改变图形.于是，我引导学生继续审题，注意题目中的“两外角”的平分线，一学生随口提出，把“两外角”改成“两内角”，就在他这一声提示下，学生纷纷画图，得到如下的图形（图11）.

画好后，有学生提出疑问，原题中的结论还成立吗？

引导学生分析：方法类似，延长AD和AE，交BC于点G，H，则可证CA=CH，BA=BG，DE是△AHG的中位线，所以结论（1）：ED∥BC.结论（2）变为：DE=12HG=12（BG+CH-BC）=12（AB+AC-BC）.

非常有意义的一个结论，让学生来改编题目比解题的效果更好，学生更容易找到成就感！

改编2：

教师：两外角平分线和两内角平分线已经解决了，同学们就没有其他的想法吗？

学生：一内一外的角平分线！

教师：那么一内一外的角平分线的情况下又有什么样的奇迹诞生呢？请仿照上面的改编完成你们的猜想吧！

类似于上面的探究，如图12，结论（1）：DE∥BC.

结论（2）：DE=12HG=12（BC+CH-BG）=12（BC+AC-AB）.

以上两个改编，完全可以当作考试题型出现，也是比较常见的题型.

三、反 思

让学生来参与题目变式，类似于近期比较火热的“学生说题”，但又不同于说题，这是所有学生都能参与的正常的教学活动，有利于发展学生的思维高度和广度，更能培养学生的创新精神.那么，在平时教学中应该注意些什么呢？

1.注重发散思维的训练

发散性思维的培养是素质教育的核心.培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性、积极性、求异性、创新性.因此，我在教学中注重加强对学生发散性思维能力的培养，有意识、有步骤地扩大思路，让学生从多角度思考问题，从而达到训练和培养学生发散性思维的目的.

2.注重數学基本模型的积累，渗透核心素养

数学模型是数学的一部分，数学模型的类型也有很多，本文所说的模型是指一些基本图形.例如，片段二中就用到了“角平分线+垂线=等腰三角形”的模型，再如，三角形全等、相似的一些基本模型等.几何综合题往往因为图形结构千变万化而成为学生的一类难题，但是，如果在解题教学中，教师引导学生将复杂的几何图形分解成一个个简单的基本模型，学生就能快速找到解题的突破口.例如，在片段二中，学生能捕捉到“角平分线以及角平分线的垂线”这一信息，那么可以快速找到本题的解决方法.

3.引导学生做一个喜欢研究题目，善于总结的学生

在日常的解题教学中，我们要选取一些经典的试题作为素材，通过弱化或者强化题目条件、改变图形、联想等方式，巧妙地产生新问题.教师只有在课堂上善于发现新问题，善于思考题目，善于改编题目，才能引导学生，并激发学生的积极性，从而让学生的思维活跃起来，使学生获得学习数学的成就感！

【参考文献】

[1]邵子轩. 例谈解题教学中的模型延伸[J].中学数学教学参考（上旬），2019（08）：36-39.