二元函数求最值的方法探讨

李清华 卢艳华

二元函数的最值问题，在近几年的高考中经常出现，一般难度较大，涉及函数、方程、不等式、线性规划等知识，综合性较强. 本文对大家已经很熟悉的运用基本不等式求最值的常见结构不再赘述，主要结合几道例题阐述几种形式较为复杂的二元函数的最值问题.解题过程中渗透着重要的数学思想方法：转化与化归、函数与方程、数形结合等基本思想方法.下面将结合例题进行阐述，供大家参考.

一、转化与化归

转化与化归的思想方法，就是在研究和解决数学问题时采用某种方法将问题变换使之转化，进而得到解决的方法.一般总是将难解的问题转化分解变形为较容易解决的问题.

例1.已知正实数x，y满足x+y=xy-1，求x+2y的最小值.

分析：已知两个变量存在等量关系，可通过代入消元将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题，此时一定要注意消元后变量的取值范围.

当且仅当x=3，y=2时取到最小值7.

例2.已知实数x，y满足x2+3y2+2xy=1,求x+2y的最大值.

分析：已知条件中存在平方和的结构，可考虑利用三角换元，将二元函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，利用辅助角公式和三角函数的有界性得到目标函数的最值.

解：由已知x2+3y2+2xy=1，

可得（x+y）2+2y2=1，

例3.已知x，y是实数，满足x2+4y2+2xy=1，求x+2y的最大值.

分析：当两个变量很难拆分，我们可以利用整体思想统一考虑，观察已知条件或目标函数的特征，可以转化为基本不等式整体求解.

解：已知x2+4y2+2xy=1，可变形为

（x+2y）2-1=2xy，

∴（x+2y）2-1=x·2y≤，

∴（x+2y）2≤，

总结：分析问题时，要首先观察已知条件和目标函数的主要特征，当问题难以直接解决时，我们可以通过消元、换元或整体代换等方法，将复杂的问题转化与化归为我们熟知的结论和方法.这是解决的一个方向和角度.

二、函数与方程

函数思想是指用函数的概念和性质分析问题、转化问题和解决问题；方程思想是将问题转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时，需要通过函数与方程的互相转化，才能达到解决问题的目的.

分析：分析方程两个变量的关系是比较复杂的，我们观察已知条件和目标函数的关系，可以通过换元，将问题转化为一元二次方程有实数解的问题，利用韦达定理求得目标函数的最值.

即：（t+4）x2-10tx+3t2+2t=0有正数解，由韦达定理可知，只需要即可，

总结：函数与方程的思想方法，是解决变量之间变化规律及求最值问题的通性通法，应用非常广泛，同学们需要在解决问题的过程中不断积累和总结.

三、数形结合

数形结合的思想方法就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换为“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决.

分析：利用已知条件或要研究的目标函数的几何意义，将问题转化为分析图形的几何特征，从而得到二元函数的最值.

解：由已知条件可得，动点P（x，y）满足到A（1，0）与B（0，2）的距离之和为，又，所以点P在线段AB上，即在直线y=-2x+2（0≤x≤1）上，且x2+y2+2x=（x+1）2+y2-1的几何意义即为点P（x，y）到（-1,0）的距离的平方减去1，所以x2+y2+2x的最小值为.

总结：给“数”的问题以直观的图形描述，揭示出问题的几何特征，就能变柚象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性.在解决问题的过程中，借助数形结合的等价转化是一种捷径.

二元函数的最值问题虽然复杂，但只要组心观察，认真思考、整合，我们就能找到很好的方向和方法.遇到问题时多思考，解决问题时多总结、反思，这样的积累和反思，会让我们的知识结构越来越明朗，思维主线及脉络越来越清晰，分析和解决问题的能力不断提高.