在细节处,落地生根——“指数函数”课堂片段实录及反思

■江苏省扬州市邗江区蒋王中学 华书春

近期，邗江区高中数学名师工作室围绕核心素养如何落实这一主题，以“问题引领，自主建构”数学教学模式为抓手，开展了“指数函数第一课时”的同课异构活动。活动中，作者精心设计问题情境，重视自主生成和批判质疑，对这一节课进行了再创作，下面是本节课的课堂情境引入和概念生成部分实录和反思，与大家共同探讨。

一、情境引入实录

教师：同学们，阿基米德曾说过：给我一个支点，我能够撬动地球。那么今天老师在这里也表达一个：给我一张足够大的纸，我能够上月球，你信吗？（众说纷纭，教师点名回答）

学生：可以，需要不停地对折。设计意图：兴趣是最好的老师。教师：那么，给你一张纸，你能折几次呢？试试看。（众说纷纭，教师点评，引出问题）教师：以一张纸0.01cm厚来计算的话，我们其实只需要折叠42次，厚度就将达到40万公里，月球将触手可及。同学们，思考一下，今天我讲这个案例是基于怎样的数学原理呢？学生：是指数，一层变二层，二层变四层……最终会很厚很厚。教师：很好，通过折叠能实现层数的飞速上升，进而厚度也上升。下面，我们把刚才的折纸问题再数学化一点，看看它的背后具体的数学背景。

设计意图：通过有趣的问题情境，让学生去探索实践，引导学生用数学的眼光看世界，用数学的思维思考世界。

情境1：用一张纸对折，观察：对折的次数x与所得的层数y之间的关系。学生：y=2x。教师：这是不是一个函数？学生：是的。教师：如何判定的？学生：通过函数的定义。教师：那么，你觉得如果这个作为一个函数，我们的表达是否完整？学生：加上定义域x∈N*，表达为y=2x(x∈N*)。教师：很好，这就是折纸背后的力量所在。其实，折纸问题还有一个角度，也很有意思，我们来看另一个问题。

情境2：用一张纸对折，观察：对折的次数x与折后面积y之间的关系。（记折前纸张面积为1平方米）

设计意图：从情境中提炼出数学模型，同时让学生感受生活中的数学。

二、概念生成实录

问题1：回到数学本身,上述情境中的函数解析式有什么共同特征？

学生：x是指数。学生：底数是常数。教师：这类函数总共就涉及三个量，除y 之外，都被我们考虑过了。还有其他共同点吗？学生：形式上是指数幂的形式。教师：很好。大家再仔细观察，老师的表格中所写的函数，有缺点什么吗？学生：定义域。教师：恩，我们之前考察的函数定义域都是正整数，回到数学本身，这两个函数的定义域是不是非得正整数？学生：不是。教师：可以是什么？学生：一切实数。教师：为什么呢？学生：依然满足函数的定义。教师：很好，在上一节幂的运算内容中，我们已经实现了从初中所学的整数指数幂拓展到实数指数幂了，所以定义域是R 的话，上面两个关系依然是函数关系。大家模仿一下，举一些形式上类似的函数，大家要充满想象？学生（众人）：y=1x；y=xn；y=an；等等。

设计意图：紧扣之前学习的函数的概念，抓住定义域这个要素，率先埋下指数函数定义域为R的伏笔。

教师：为了便于研究，我们暂且先都认定定义域为R，先看y=1x，是不是类似的函数？学生：是的。教师：y=xn呢？学生：不是。x 在底数，形式上有点不同。教师：y=ax很有创意，如果是函数，哪个是自变量呢？如果仅仅看式子的话，a和n 理论上都可以。学生：都可以，但是与我们学习的函数类似，应该把n作为自变量。教师：好，我们不妨深入探讨一下这个式子，考虑到习惯，我们写成y=ax，x 作为自变量，显然最符合我们的目标，但a 作为一个字母存在，作为变量，有没有要注意的？a的范围能不能是R？学生：不能，a=0 不行。教师：为什么不行？学生：0 的-2 次方。教师：还有没有？学生：负数有的时候也不行，如果a 是负数时也不行。教师：很好。不过a如果是负数，y=ax是不是函数？关键点在哪里？学生：也可以是函数，关键点在函数的定义域要加以限制。教师：对的，a= 0 是不是也是这个道理，y=0x在x为正数时，它也是函数。我们回头总结一下，一个一般性的函数模型有没有出现呢？是什么？大声回答。学生：y=ax。教师：这个里面a和x 情况复杂，作为一个一般性的函数式子，我们是为了x∈R约束a，还是把a分成若干种情况去限制x呢？学生：约束a。教师：是的，其实两者都有道理，但出于研究的需要和便利，定义这个函数的数学家们和你们作出了同样的选择。

问题2:作为一个抽象出来的一般性的式子，a需要做哪些限定？（大家讨论，提问）

学生：a＞0。教师：不错，如果a＞0，y=ax(x∈R)是一个函数。这里要补充讲一下，之前的数学家在定义这个函数时，考虑到a=1时为常值函数，没有太多的研究价值，所以在定义的时候将范围最终确定为a＞0且a≠0。结合函数的指数形式，也将其名称定义为指数函数，这也是我们进入高中阶段学习的第一个初等函数。请同学们酝酿酝酿，将定义完整表达出来。

设计意图：依然是围绕是否是函数，怎样才是函数，让学生反复思辨，追根溯源，由特殊到一般，再到特殊，最终实现概念的自主生成，在过程中解决所有疑问。

三、一些思考

形成这一课堂，作为基层教师最易入手的自然是打磨课堂细节。以一堂课的引入部分来说，我所说的细节打磨，不是一定要将情境冗长化处理，也绝不是简单化处理，而是基于学生的最近发展区，选择最恰当的处理。

（一）一节课，我们或许更要关注细节

细微处见真章，一节课几百上千个案例，成千上万个教师研究过，怎么去整合，怎么去取舍，我们该有怎样的态度呢？细节处见功夫。例如，本节课的情境拿什么引入最合适？概念生成处a与x 的范围如何分析？什么时候才最适合交代a≠1？什么时候适合交代（0，1）为定点并问为什么？根据奇偶性得到对称怎么及时评价？甚至函数研究的路径要不要提供两种以及问题的问法？都需要几经斟酌！基于核心素养下的课堂研究，一线教师究竟有多少时间去吃透，去运用，或成为一种习惯，在我区高中数学名师工作室耗时几年深入研究的教学模式基础上，我们或许只要再关注细节，就够了。

（二）一名教师，我们或许先要关注他的最近发展区

在追求核心素养落实的道路上，是不是年轻教师就要压担子？是不是骨干教师就要出成果？教学效果相对落后的教师又该怎样做才能健康发展？所谓“经师易得，人师难求”，能力的差异，水平的高低是必然存在的，当我们专注于学生的最近发展区时，在进行教师发展培训时有没有多关注教师的最近发展区，怎样让不同类型、处于不同发展状况的的教师找到不同的发展目标才是科学的，真正的“以人为本”才是教育上公认的道理。对于一名教师，我们或许先要关注他的最近发展区。

（三）数学作为一种文化，我们依然任重道远

高中数学作为文化的渗透，该如何去做？一批批学者在努力将数学从简单的逻辑演绎圈解救出来。回到高中，我们在教科书中见到了一些生活中的数学、历史中的数学，然而作为一种文化，仅仅是这些吗？教学不是“抖包袱”，数学文化不仅仅有宏观的历史事件，也应有微观的一些方面，如一些思考方法，轴对称和古诗、概率和极限思想文化的挖掘都是数学文化的天然案例，还有现代的方面，如人工智能、大数据分析等。作为一线教师，自我审视，任重而道远。