基于稀疏恢复的MIMO-STAP离散干扰抑制方法

何 团，唐 波，张 进，张 玉

(国防科技大学电子对抗学院，安徽 合肥 230037)

0 引言

空时自适应处理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技术[1]是机载雷达在强杂波背景下检测运动目标的关键技术。STAP技术的关键是获取待检测距离单元精确的杂波协方差矩阵。根据RMB(Reed-Mallett-Brennan)准则[2]，要使估计杂波协方差矩阵带来的杂波抑制性能损失小于3 dB，所需独立同分布训练样本数至少为2倍系统自由度。然而，雷达的工作环境复杂、多变，在不同距离单元可能存在着除探测目标以外的其他运动目标，这些运动目标会对训练样本形成离散干扰。离散干扰的存在会导致实际环境中杂波分布的非均匀性更加严重，使得用于估计杂波协方差矩阵的训练样本很难满足要求。

针对训练样本存在的离散干扰问题，一般有两种解决思路：一为研究训练样本挑选方法，将存在离散干扰的训练样本直接剔除；二为直接数据域法，只使用待检测距离单元的数据，完全避免训练样本中离散干扰的影响。文献[3]提出了一种基于稀疏重构技术的训练样本挑选方法，该方法利用杂波多普勒与角度的先验关系剔除角度-距离谱上明显偏离角度期望的训练样本。文献[4]提出了一种基于矩阵相似度的STAP非均匀样本挑选方法，该方法从受污染样本与干净样本的差异性度量角度入手，根据相似度的不同实现对受污染样本的剔除。训练样本挑选方法的目的就是将包含干扰的训练样本舍弃，但训练样本本身数量有限，直接舍弃是对训练样本资源的浪费。文献[5]提出了基于稀疏表示的直接数据域法，通过稀疏恢复直接获得待检测单元的高分辨空时谱，完全避免了使用含干扰的训练样本，但该方法会牺牲一定的系统自由度，使得杂波抑制性能有所损失。

近年来，稀疏恢复技术被应用到STAP中，只需少量训练样本即可实现杂波谱的精确恢复[6-7]。而多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷达STAP技术因其能够实现更好的性能[8-9]，稀疏恢复技术也慢慢扩展到了MIMO雷达中。为了不损失系统自由度，且避免训练样本的浪费，本文结合稀疏恢复技术，针对MIMO-STAP在训练样本存在离散干扰时杂波抑制性能严重下降的问题，提出了一种离散干扰抑制方法。

1 问题建模

1.1 存在离散干扰时的信号模型

图1为机载MIMO雷达在正侧视条件下的几何模型[10]，其中φ为杂波块的俯仰角，θ为杂波块的方位角，Φ为线阵方向与杂波块方向所成的空间锥角；V为载机速度，h为载机距离地面的高度。

图1 机载MIMO雷达几何模型Fig.1 Geometric model of airborne MIMO radar

设均匀线阵体制下机载MIMO雷达发射的各波形满足正交关系,通过匹配滤波,可以在接收端分离出各个发射阵元信号。发射阵元个数为M，接收阵元个数为N；1个相干处理间隔(Coherent Processing Interval, CPI)内发射K个脉冲，脉冲重复频率为fr，工作波长为λ；发射阵元间距和接收阵元间距分别为dt和dr(一般为避免栅瓣问题，假定dr=λ/2)。

设φl为第l个距离环的俯仰角，将第l个距离环均匀切分为Nc个杂波块，θp为第p个杂波块的方位角。杂波块的空间频率为fs，多普勒频率为fd，则对应的空时导向矢量为：

v(fd,fs)=vd(fd)⊗vt(fs)⊗vr(fs)

(1)

式(1)中，⊗表示Kronecker积，vt为发射导向矢量，vr为接收导向矢量，vd为时域导向矢量。发射和接收导向矢量分别为：

vt(fs)=[1 ej2πγfs…ej2π(M-1)γfs]T

(2)

式(2)中，γ为发射阵元间距与接收阵元间距之比。

vr(fs)=[1 ej2πfs…ej2π(N-1)fs]T

(3)

空间频率fs与θp、φl关系式为：

fs(θp,φl)=drcosθpcosφl/λ

(4)

时域导向矢量为：

vd(fd)=[1 ej2πfd…ej2π(K-1)fd]T

(5)

式(5)中，多普勒频率fd与θp、φl的关系式为：

fd(θp,φl)=2Vcos(θp)cosφl/(λfr)

(6)

则第l个距离环的杂波信号可表示为：

(7)

式(7)中，σp为第p个杂波块的回波幅度，v(fd, p,fs, p)为第p个杂波块的空时导向矢量。

如图2所示，本文考虑的干扰模型不涉及到主动式的有源干扰，而是其他非感兴趣运动目标形成的离散干扰，这些运动目标可以为飞机器、车辆等具有速度的物体，且不存在于目标距离环，即只存在于训练样本。

图2 离散干扰示意图Fig.2 Schematic diagram of discrete interference

设第l个距离单元离散干扰总数为Nj，则第l个距离单元的离散干扰可表示为：

(8)

式(8)中，v(fd, m,fs, m)为第m个离散干扰的空时导向矢量，σm为其幅度值。

则第l个距离单元包含的所有信号可表示为：

(9)

式(9)中，n为噪声矢量。

1.2 杂波协方差矩阵的求解

一般情况下，为获得稀疏恢复所需的字典，需将整个空时二维平面网格化，将所有网格节点对应的空时导向矢量取出组成字典。设Q=NM，将空间频率fs和多普勒频率fd分别离散化为Ns格和Nd格，其中Ns=ρsQ，Nd=ρdK，ρs和ρd分别为fs和fd的离散化系数。

杂波分布在空时二维平面上具有稀疏性[11]，可由超完备字典近似表示为：

(10)

式(10)中，v(fd, i,fs, j)表示空时二维平面上空间频率为fs, j，多普勒频率为fd, i时所对应的空时导向矢量，σi,j为其幅度值；ψ为稀疏恢复使用的字典矩阵；σ为待求的稀疏参数矢量。

一般情况下，稀疏恢复的目的就是确定矢量σ，则杂波谱的稀疏恢复问题最终可表示为：

(11)

式(11)中，y为不含目标信号的观测信号矢量，ε为噪声带来的误差阈值。

在求得稀疏参数矢量后，即可求得杂波的空时功率谱为：

P=σ⊙σ*

(12)

则待检测距离单元的杂波协方差矩阵可估计为：

(13)

要使用式(13)求得杂波协方差矩阵，前提是每个训练样本的空时功率谱只包含杂波成分，而不含其他干扰成分。当存在离散干扰时，求得的协方差矩阵将不仅仅包括杂波协方差矩阵，还包括离散干扰协方差矩阵。此时第n个训练样本总的协方差矩阵可表示为：

(14)

因为感兴趣的只是杂波协方差矩阵，所以必须考虑去除其中的离散干扰协方差矩阵。

2 离散干扰抑制方法

2.1 改进正则化FOCUSS

正则化FOCUSS(Focal Underdetermined System Solver)[12]算法是一种应对噪声条件下的稀疏恢复算法。其中最核心的迭代为：

W(k)=diag{|σ(k-1)|1-p/2}

(15)

σ(k)=W(k)·(W(k))HψH·
[ψW(k)·(W(k))HψH+λI]-1y

(16)

式中，W(k)为第k次迭代的加权矩阵，λ为与噪声水平相关的正则化参数。

在每次迭代中，会通过加权矩阵不断强化稀疏解中显著分量，同时抑制其中的不显著分量直至其接近于零。但如果某次迭代没有正确估计某个大分量的幅度而将其降为零，则后续迭代就很难重新找到该分量，此时恢复性能会存在一定损失。其次，正则化FOCUSS在每次迭代中都涉及矩阵求逆运算，计算复杂度较高。

为保证正则化FOCUSS的恢复性能，并减轻总的计算量，需对正则化FOCUSS算法进行改进。文献[5]对基本的FOCUSS算法进行了改进，在提升了FOCUSS算法可靠性的同时，也提升了运算效率。本小节将这种思路推广到正则化FOCUSS算法。改进正则化FOCUSS算法具体步骤如下：

为了后续描述方便，将第k次迭代自适应子空间的原子序号用集合Γk表示，则起始序号集合Γ0为：

Γ0={i|1≤i≤NsNd}

(17)

式(17)中，i表示字典中的第i个原子。

首先选择低分辨谱作为初始值：

σ(0)=ψHy

(18)

在得到初始值后，进入以下迭代：

1) 根据加权矩阵更新估计结果

(19)

式(19)中，ψ|Γk表示第k次迭代的自适应子空间；σ(k)|Γk表示在自适应子空间为ψ|Γk时的稀疏参数解。

2) 利用最新的稀疏参数解σ(k)|Γk更新自适应子空间，更新后的原子序号集合为：

(20)

式(20)中，σ(k)i|Γk为字典中第i个原子对应的幅度，Th表示门限。

3) 对自适应子空间进行平滑

在特定迭代中，确实可能出现某些幅度估计误差较大或者估计位置出现偏差的情况。如果只保留迭代中的显著分量，可能导致位于显著分量附近的实际信号源在后续迭代中再也无法估计出。为防止此类现象出现，可以设计平滑子空间来减慢加权矢量的收缩。令ψ|Γk+1(smooth)表示子空间ψ|Γk+1的平滑子空间，设ψ|Γk+1(smooth)的原子序号集合为：

Γk+1(smooth)={Ω(i),i∈Γk+1}

(21)

集合Ω(i)定义为：

Ω(i)={i,Λ(i)}

(22)

Λ(i)={u||ru-ri|≤ds,u≠i}

(23)

式(23)中，ru、ri表示字典中第u个和第i个原子在空时二维平面坐标的标识；Ω(i)表示字典中第i个原子二维邻域内所有原子的序号集合；Λ(i)表示字典中第i个原子二维去心邻域内所有原子的序号集合；ds表示距离门限。

在找到ψ|Γk+1的平滑子空间后，将加权矩阵进行平滑更新。对于任意i∈Γk+1，Ω(i)内所有原子的幅度值都转化为：

(24)

式(24)中，si表示Λ(i)内包含的原子总数。

在求得平滑子空间各原子幅度值后，即可求得新的加权矩阵W(k+1)。

最后再将自适应子空间更新为：

ψ|Γk+1=ψ|Γk+1(smooth)

(25)

4) 当满足收敛条件(ζ为收敛常数)

(26)

则跳出迭代，否则一直进行步骤1到步骤4的迭代。

显然，自适应子空间的不断缩减使得矩阵求逆运算的计算复杂度大大降低，而引入的平滑操作保证了迭代过程中不会出现过稀疏的问题。同比正则化FOCUSS算法，改进正则化FOCUSS算法提高了算法的鲁棒性，并使计算量显著降低。

2.2 去除离散干扰

离散干扰会使得训练样本不再满足统计特性，如果直接将这些包含了离散干扰的训练样本用来估计杂波协方差矩阵，会使得估计的杂波协方差矩阵精度严重下降，这显然是不合理的。

如果能够去除每个训练样本中离散干扰的影响，使各个训练样本重新满足统计特性，那么存在离散干扰的训练样本就可以用来估计待检测距离单元的杂波协方差矩阵，有效避免训练样本资源的浪费。具体去除离散干扰的方法如下：

使用改进正则化FOCUSS算法处理各训练样本，可求得各原子的空时功率谱值。设置门限将那些谱值较小的原子剔除，保留谱值较大的原子，这些原子在图3中由“+”表示，其序号集合为Γ0。显然，大部分谱值较大的原子都分布在杂波脊线附近，只有极少部分分布在离散干扰附近。

图3 空时平面离散干扰示意图Fig.3 Schematic diagram of discrete interference on the space-time plane

要去除离散干扰的影响，可以从几何角度考虑。首先，需找到所有谱值较大原子在空时二维平面上的对应点，并确定相应的空时坐标值。将这些点进行线性回归处理可以确定一条直线，该直线必然比较接近实际的杂波脊线。直线的解析式可表示为：

fs=kfd+b

(27)

式(27)中，k和b分别为：

(28)

(29)

如图4所示，每个原子都与杂波脊线存在相应距离。相对而言，杂波对应原子必然与杂波脊线相距较近，而离散干扰对应原子必然与杂波脊线相距较远。设某原子在空时二维平面上的坐标为(fd0,fs0)，该原子对应点与原点形成向量a。设正侧视条件下杂波脊线的方向向量为b=(1/β,1)，其中β为折叠系数。则该原子与杂波脊线的距离为：

(30)

图4 去除离散干扰示意图Fig.4 Schematic diagram of removing discrete interference

为了将离散干扰对应的原子找出，需设置距离门限d0。将所有超出距离门限的原子用Γj表示，则

Γj={i|∀di≥d0,i∈Γ0}

(31)

式(31)中，di表示字典中第i个原子与杂波脊线的距离。则最后第n个训练样本的杂波协方差矩阵可估计为：

(32)

在求得各训练样本的杂波协方差矩阵后即可求得待检测距离单元的杂波协方差矩阵。

3 仿真分析

本节通过仿真试验验证本文方法的有效性，仿真实验具体参数如表1所示。

仿真中共涉及到4个训练样本，每个训练样本都存在一个离散干扰，各训练样本的离散干扰具体参数如表2所示。

表1 仿真参数Tab.1 Simulation parameters

表2 离散干扰参数Tab.2 Simulation parametersof discrete interference

改进正则化FOCUSS算法参数设置为：p取0.8，λ取0.02，ds取0.03。去除离散干扰的距离门限d0取0.08。

3.1 空时功率谱比较

图5(a)为LSMI算法使用4个训练样本得到的Capon功率谱，该功率谱精度较低，能量分布比较分散，因为离散干扰功率较低，故不能明显找出离散干扰。图5(b)为改进正则化FOCUSS算法处理训练样本但未去除离散干扰得到的空时功率谱，显然谱的恢复精度较高，谱中杂波成分和干扰成分都十分明显，可以清楚地将二者区别开来。图5(c)为改进正则化FOCUSS算法处理训练样本并去除离散干扰后的空时功率谱，该功率谱只集中分布在杂波脊线附近，即只包含杂波成分，不再包含离散干扰成分。由此可见，离散干扰问题得到了较好地解决。

3.2 输出SINR比较

为比较各算法杂波抑制性能，采用输出信干噪比(Signal-to-Interference-plus-Noise-Ratio，SINR)作为衡量基准。SINR(无有源干扰时)定义为输出信号与输出杂波加噪声信号能量的比值，具体表示为：

(33)

式(33)中，vt为目标信号矢量，R为杂波协方差矩阵与噪声协方差矩阵之和。

图6(a)和图6(b)分别为使用改进正则化FOCUSS算法处理训练样本后去除离散干扰前后的输出SINR三维立体图。由图6(a)可以看出，离散干扰对输出SINR性能影响较大，分别存在于四个训练样本中的离散干扰全部在图6(a)中有所体现，四个凹陷部位即为离散干扰所在位置。如果目标处在凹陷附近，则杂波抑制性能就会严重下降，导致目标难以检测。而图6(b)中只有杂波脊线存在凹陷，目标处在杂波脊线以外区域都可以被明显检测。显然，去除离散干扰后的输出SINR性能不再受离散干扰的影响。

图7中各输出SINR曲线均为100次蒙特卡罗实验所得，其中曲线各点的空间频率都为0。由图7可以看出，未去除离散干扰的输出SINR性能有所下降，离散干扰确实对杂波抑制性能存在影响，且离散干扰的功率越强，影响就越严重。尤其是在归一化多普勒频率为0.25和-0.25时影响最为严重，这是因为训练样本2和3中的两个离散干扰空间频率比较接近0，当目标归一化多普勒频率为0.25和-0.25时，两个离散干扰与目标位置接近，从而使得输出SINR曲线在该处形成凹陷，而去除离散干扰后的输出SINR曲线性能良好，其性能优势十分明显。

图5 空时功率谱比较Fig.5 Comparison of space-time power spectrum

图6 输出SINR立体图Fig.6 Stereogram of the output SINR

图7 输出SINR比较Fig.7 Comparison of the output SINR

4 结论

本文提出了一种基于稀疏恢复的MIMO-STAP离散干扰抑制方法。该方法在改进正则化FOCUSS处理训练样本的基础上，利用所有空时功率谱值较大的原子在空时二维平面分布的几何特性，实现了对离散干扰的抑制。其解决离散干扰问题的思路与传统思路不同，能够使用包含离散干扰的训练样本估计杂波协方差矩阵，既不损失系统自由度，又避免了训练样本的浪费。仿真结果表明，离散干扰会对杂波抑制性能产生较大影响，而本文算法可完全克服离散干扰的影响，能够恢复出精确的杂波谱，得到的空时滤波器杂波抑制性能良好。但本文算法只针对正侧视条件下的离散干扰，非正侧视条件下的离散干扰抑制需要进一步研究。