重视定理证明过程，培育数学推理思想

顾彩梅

【摘要】推理是数学的基本思维方式，推理能力的发展贯穿在整个数学的学习过程中.笔者围绕判定定理“从哪里来”“是什么”“到哪里去”三方面内容，简述在定理的证明过程中，如何培养学生的数学推理思想和提升学生的数学推理能力.

【关键词】推理;几何直观;叠合法;证明

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学推理与数学证明有着紧密的联系，它与证明共同构成了数学中最重要的基础.义务教育阶段的初中数学教学内容中，有着许多重要定理的介绍，教师可以以证明基本定理为抓手来逐步提升学生的推理能力.笔者以浙教版数学九年级上册第四章第4节“两个三角形相似的判定”（第1课时）为例，简述在定理的证明过程中如何培养学生的数学推理思想.

1 课前思考

1.1 教学目标确定

掌握三角形相似判定的预备定理、判定定理的内容和证明方法.

借助几何画板构造平行四边形和全等三角形解决问题，体会“叠合法”的重要作用.

体验类比、转化、从特殊到一般的数学推理思想，加强几何直观和空间观念意识，提高数学推理的能力.

在积累如何判定两个三角形相似的经验过程中，增强数学学习的信心和克服困难的勇气.

1.2 教学重难点分析

重点：三角形相似的判定定理：有两个角对应相等的两个三角形相似.

难点：三角形相似判定的预备定理的证明.

“三角形相似的判定定理的证明”是一个比较严格的推证系统.在这个推证系统中，预备定理的证明应用了“平行截割定理”，过程比较复杂，因此将其确定为本节课的难点.“有两个角对应相等的两个三角形相似”的判定定理作为本章判定两个三角形相似的首个定理，创新度高，应用性强，而且为下面其他判定方法的探索起到了示范性作用，因此是本节课的重点.

2 教学设计

2.1 “从哪里来”——关注定理内容的生成

2.1.1 从“全等三角形”中来

首先回顾判定两个三角形全等的定理都有哪些.

想一想：“三角形全等”的条件中，对角和边的要求分别是什么？相似三角形中又如何要求？相似三角形的对应边成比例，至少需要几条边？

说一说：模仿全等三角形“AAS，ASA，SAS，SSS，HL”判定定理，尝试分别从边、角结合的不同角度，说一说对三角形相似的判定方法的猜想.

设计意图：“类比”是一种重要的数学推理思想，合理使用“类比”思想有助于我们构建数学知识体系，增强对知识理解的整体性.全等是特殊的相似，因此笔者设计从构成三角形的基本元素边和角出发，让学生类比“三角形全等”的研究方法，探索“三角形相似判定定理的证明”.

2.1.2 从“预备定理”中来

笔者引导学生从“有两个角对应相等的两个三角形相似”的猜想开始展开探索，从特殊情况着手：如图1，已知点D，E分别是△ABC的边AB和AC上的两点，∠ADE=∠B，求证：△ADE∽△ABC.

追问：直线DE与BC存在怎样的特殊位置關系？（引出预备定理）

方案一：如图10，从A处沿与AB垂直的方向走45 m到达E处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15 m到达D处，再右转90°走到C处，使B，E，C三点恰好在一条直线上.量得DC=20 m，这样就可以求出河宽AB了.

教师首先尝试让学生自己设计测量方案，如果学生有困难可以给出方案一.

设计意图：数学从生活中来，并且回到生活中去.学生之前已经有了利用全等三角形解决实际问题的经验，因此可以借助类比思想，利用知识点之间的迁移，充分发挥个性，创新设计，解答问题.

2.3.3 到数学内部的知识结构中去

课堂小结：本节课使学生学习了判定两个三角形相似的方法：预备定理和判定定理;使学生体会了“叠合法”在证明过程中的巧妙使用，为其他判定方法的探索积累经验;使学生体会了类比、转化、从特殊到一般思想的重要作用.

设计意图：教师分别从基本知识和基本技能、基本活动经验、基本思想三个层面对本节课加以小结，目的是让学生在收获新知识的同时，重视积累本节课的基本学习经验，以提升自身学习数学的能力.

3 反思

3.1 教学设计特色解读

（1）笔者从“处于特殊位置（图1中的同位角和公共角）上的两个角对应相等的两个三角形是否相似”这个问题引入，巧妙地将对判定定理的研究首先落到对预备定理的探索上来，这比直接给出预备定理内容的方式更加自然和易于接受，有利于学生理解和进一步展开探索.

（2）笔者考虑判定定理证明过程中的“叠合法”首次提出，辅助线不易添加，设计了先旋转再平移的图形运动变化过程，借助几何画板先直观感受，再展开合情推理，发现结论.

3.2 几何直观和数学推理思想的渗透

课标提出了十个核心概念，这些核心概念是义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养.本节课着重提高学生的几何直观和推理能力方面的数学素养，以促进其全面发展.

在证明判定定理的过程中，教师借助几何画板演示三角形旋转、平移的图形变换，帮助学生利用图形进行数学思考和想象，以此培养其几何直观能力.在变换的过程中，图形具有保角、保距的刚性特征，这些由图形所给出的直观感受为结论的猜想和证明起到了有力的推进作用.因此，几何直观素养的渗透，在本节课的学习过程中起到了举足轻重的作用.

本文所运用的类比、转化与化归、从特殊到一般的思想都是由数学推理的思想派生出来的，这些思想的有效渗透将有助于学生数学素养的提高.另外，本节课还合理地利用了合情推理和演绎推理，笔者深谙这两者之间的区别和联系，把经过合情推理产生的猜想作为教学的起点，引导学生反思、抽象、概括，从而进一步演化为演绎推理，很好地完成了从合情推理到演绎推理的过渡.

【参考文献】

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.