一维稳态流下考虑土拱效应的非饱和土主动土压力分析

洪文镇，马 华

（1.中国铁道科学研究院研究生部，北京 100081；2.铁科院（深圳）研究设计院有限公司，广东深圳 518000；3.深圳地质灾害监控工程实验室，广东深圳 518000）

土压力研究是土力学最基本的问题之一。以往对土压力的研究主要针对于饱和土，忽略了挡土墙墙后填土往往是非饱和的情况。非饱和土与饱和土不同，前者是固-液-气三相材料，后者是固-液两相材料。基质吸力会引起非饱和土抗剪强度增大，是非饱和土特有的属性［1-2］。

基质吸力在竖直方向的变化会引起土压力的变化，Fredlund 等［3］基于非饱和土的扩展摩尔-库仑准则，假定墙背竖直光滑，考虑基质吸力的影响，建立了扩展朗肯土压力公式。张常光等［4］基于非饱和土双应力状态变量抗剪强度统一解建立了非饱和土朗肯主动土压力统一解，并分析了基质吸力的变化对非饱和土主动土压力的影响。汪丁建等［5］分析了降雨对非饱和土朗肯主动土压力的影响，并提出这种变化是由基质吸力的改变所致。

由于墙面剪应力的作用，墙后存在土拱效应。Paik 等［6］将土拱定义为小主应力轨迹线，并假定土拱线为圆弧，得到了墙后为无黏性饱和土的主动土压力竖直分布。

本文将一维稳态流下基质吸力的竖直分布应用于Bishop 非饱和土抗剪强度理论中。假定土拱线为圆弧，考虑土拱效应分析墙后非饱和土的应力状态。考虑稳态流下基质吸力及重度的变化，基于有限差分法建立了非饱和土的主动土压力、合力及其作用位置的计算方法。在墙背光滑时本文土压力解与扩展朗肯土压力完全吻合。

1 非饱和土的抗剪强度

1.1 基质吸力及重度的竖直分布

一维稳态流下在地下水位以上高度z处基质吸力ua-uw为［2］

式中：ua为孔隙气压力，uw为孔隙水压力；λ为 Van Genuchten 土水特征曲线模型拟合参数；v为水流在竖直方向上的比流量，代表水流入渗的速率；ks为饱和渗透系数；γω为水的重度。

Van Genuchten 土水特征曲线模型描述了非饱和土中含水率与基质吸力之间的本构关系［7］，其表达式为

式中：Se为有效饱和度；ω为非饱和土含水率；ωs为饱和含水率；ωr为残余含水率；参数λ近似等于进气压力值的倒数；ε为模型拟合参数，参数ε与土的孔径分布范围有关，相对大的ε值反映相对窄的孔径分布。

含水率的变化会引起非饱和土重度的变化，根据土的三相比例关系［8］，得到不同含水率下的非饱和土重度为

式中：γ为非饱和土的重度；γd为土的干重度。

将式（1）、式（2）代入式（3）得到地下水位以上高度z处的非饱和土重度为

1.2 非饱和土的抗剪强度

Bishop 结合非饱和土有效应力和摩尔-库仑强度准则提出的抗剪强度公式［2］为

式中：τf为非饱和土的抗剪强度；χ（ua-uw）为吸应力；χ为非饱和土有效应力参数；φ′为有效内摩擦角；c′为常规有效黏聚力；σ-ua为净法向应力。

式（5）经过整理后变为

式中：c″为毛细黏聚力，代表由于毛细作用产生的抗剪力；cf为表观黏聚力［2］。

毛细黏聚力的大小受到有效应力参数χ取值的影响，Vanapalli和Fredlund基于Eacariot的试验结果提出了有效应力参数χ与饱和度的函数关系［3］：在基质吸力为0～1 500 kPa内满足

将式（1）、式（2）、式（9）代入式（8）中，得到地下水位以上高度z处的毛细黏聚力表达式

式中：v/ks为流动比，变化范围为-1＜v/ks＜0。

对于静水条件（v/ks=0），

2 考虑土拱效应的非饱和土主动土压力

作如下假设：①刚性挡土墙墙背竖直，表面粗糙，墙土摩擦角为δ，墙土黏聚力cw=cftanδ/tanφ′；②墙后非饱和土及墙土之间均满足Bishop 非饱和土抗剪强度准则；③假定滑移面为平面，根据Sanjay的滑移面倾角解析式，墙后土黏聚力的存在会略微改变滑移面的倾角α，但按精确滑移面计算得到的土压力与按α=45°+φ′/2 所计算的土压力差异非常小［9-10］，因此假定α=45°+φ′/2；④基于Paik的土拱理论，假定小主应力的轨迹线为圆弧。⑤计算正应力时孔隙气压力ua取参考值为0。

2.1 墙后非饱和土体的应力状态

在墙后土体上取一水平微单元体，单元体的长度L=（z-z0）cotφ′。如图1（a）所示，微单元体上各点的主应力会发生不同程度的偏转，圆弧虚线表示土拱线，大主应力σ1的方向与土拱线相垂直，小主应力σ3的方向与土拱线相切。

图1 墙后非饱和土受力状态

将墙后任一点非饱和土的应力莫尔圆坐标系进行转换，将τ轴向左移动cfcotφ′的距离，然后得到一个新的坐标系，如图1（b）所示。新、旧坐标系下的应力存在如下关系

式中：σ′为σ经过坐标转换后的值；τ′为τ经过坐标转换后的值。

设挡土墙底部距地下水位的高度为z0，顶部距地下水位的距离为zH，墙后微单元体的受力状态如图1（c）所示。根据Paik等［6］定义的主动侧压力系数，得到

将式（12）代入式（14）中则有

式中：σahw为墙面水平方向主动土压力为水平微单元体的平均竖向应力。

微单元体左侧的剪应力τw为

由于滑移面的倾角α=45o+φ΄/2，因此微单元土体右侧的主应力并未发生偏转，该点竖向平面和水平面上仅存在大、小主应力，剪应力为0。

2.2 墙后非饱和土主动土压力计算

根据水平微单元体在竖直方向的静定平衡条件

将式（16）、式（17）代入式（18）得

式中：Δz为步长，z满足z0≤z≤zH。

将式（20）代入式（19）中得到

式中，mi= ΔzKawntanδ/Li。

边界条件为

微单元体主动土压力合力为

挡土墙的水平向主动土压力合力

挡土墙的水平向主动土压力合力作用点距墙底

σahw=0时对应的深度zH-z即张拉裂缝高度zc。

2.3 公式的简化分析

1）墙背光滑、土体非饱和时，Kawn=Ka（Ka为主动土压力系数），c″≠0，则式（16）可简化为

式（26）与Fredlund得到的扩展朗肯主动土压力完全吻合，说明扩展朗肯主动土压力是本文土压力解的一个特例。

2）墙背光滑，土体饱和时，Kawn=Ka，c″=0，则式（16）可简化为

式（27）与黏性土的朗肯主动土压力完全吻合。

3）墙背粗糙、土体饱和且为无黏性土时，c′=c″=0，则式（16）与（19）联立解得［6］

式中，H为挡土墙墙高。

式（28）与Paik的主动土压力解完全吻合。

3 参数分析

式（16）可还原为

相对于饱和土，式（29）中第3项体现了毛细黏聚力的作用与常规黏聚力相同，能够产生负主动土压力，毛细黏聚力的变大（小）将导致主动土压力的变小（大）。

稳定入渗条件下（v/ks＜0），毛细黏聚力的竖直分布如图2所示。

图2 毛细黏聚力的竖直分布

1）0＜|v|/ks＜t，ε＞2.0，c′在较短的距离内增大至峰值，峰值的大小为

达到峰值zm的位置由下式得出

越过峰值后c′逐渐趋近于某一值，该值的大小为

2）ε＞2.0 且|v|/ks＞t或 1.1＜ε≤2.0，随着z增大，cʺ逐渐增大最后趋近于cʺlim，该值的大小同式（30）。显然，v/ks=-t时，c″lim=c″max。

根据毛细黏聚力的大小，得出墙后非饱和土的主动土压力分布规律为：①ε＞2.0，0＜|v|/ks＜t，z0＜zH＜zm。离地下水位越远，墙后非饱和土的主动土压力越小，且随着流动比的增大而减小。②ε＞2.0，0＜|v|/ks＜t，z0＜zm＜zH。墙后zm以下的区域，离地下水位越远墙后非饱和土的主动土压力越小；墙后zm以上的区域，离地下水位越远墙后非饱和土的主动土压力越大；墙底处的主动土压力随着流动比的增大而减小，沿竖直方向往上，主动土压力的变化趋势逐渐过渡到随着流动比的增大而增大。③ε＞2.0，0＜|v|/ks＜t，zm＜z0＜zH。离地下水位越远墙后非饱和土的主动土压力越大，且主动土压力随着流动比的增大而增大。④ε＞2.0且|v|/ks＞t或1.1＜ε≤2.0。离地下水位越远墙后非饱和土的主动土压力越小，且主动土压力随着流动比的增大而增大。

4 算例分析

某挡土墙墙高H=10 m，墙后为均质非饱和土，参考文献［2］，各计算参数取值见表1，根据式（21）—式（24），计算得出3类土的主动土压力及其合力。

表1 砂土、粉土、黏土的计算参数

以砂土为例，考虑土拱效应的非饱和土主动土压力分布见图3。在挡土墙的上部，本文计算结果要略大于扩展朗肯土压力，在挡土墙的下部，该计算结果要小于扩展朗肯土压力；随着墙土摩擦角δ的逐渐减小，两者的差值越来越小，δ= 0 时本文土压力解退化为扩展朗肯土压力。

地下水位对主动土压力合力的影响见图4。可知，随着地下水位的下降，砂土的主动土压力合力变化不大，粉土与黏土的主动土压力合力表现为逐渐减小。

图3 考虑土拱效应的非饱和土主动土压力分布

图4 地下水位对主动土压力合力的影响

流动比对主动土压力合力的影响见图5。可知，随着|v|/ks的增大，砂土与粉土的主动土压力合力先减小后略微增大，而黏土的主动土压力合力仅为逐渐增大。相对于静水条件（v/ks=0），稳定入渗条件下，砂土主动土压力合力的变化幅度约为50 kN/m，粉土为150 kN/m，黏土约为250 kN/m。可见水流入渗对黏土主动土压力的影响要大于砂土与粉土。

图5 流动比对主动土压力合力的影响

5 结论

1）考虑土拱效应与一维稳态流，分析了墙后非饱和土体的应力状态，基于有限差分法建立了非饱和土的主动土压力、合力及其作用位置的计算方法。

2）由于墙面剪应力的存在，挡土墙上部的主动土压力大于扩展朗肯主动土压力，下部的主动土压力小于扩展朗肯主动土压力，且墙背越粗糙两者的差值越大。在墙背光滑时本文的主动土压力解与扩展朗肯土压力完全吻合。

3）地下水位、流动比是影响非饱和土主动土压力的关键因素。随着地下水位的下降，砂土的主动土压力合力变化不大，粉土与黏土的主动土压力合力表现为逐渐减小。随着流动比的增大，砂土与粉土的主动土压力合力先逐渐减小而后逐渐增大，而黏土的主动土压力合力仅逐渐增大。此外，水的入渗对黏土主动土压力的影响要明显大于砂土与粉土。