全国一卷理科数学解析几何的命题探究

蔡明娥

一、引言

近几年来，关于命题方向的研究层出不穷，这种研究是以知识点的考查形式进行具体方向上的研究，可以比较有效地对教学和复习进行指导。解析几何是理科数学的难点之一，分数占比也较大，通过这种题型研究的方向，来确定教学与复习的方向，可以显著提升教学的针对性。

二、解析几何命题结构

从近几年全国一卷理科考查的知识点情况可以看出，2015 年、2016 年、2017 年、2018 年在选择题和解答题中，对于解析几何均有不同程度的考查，难度为中等题和中难题。仅在2015 年有一选择题，难度为容易。解析几何考查的知识要点主要为抛物线的定义，几何性质，基本结论等等，例如在2016 年，理科数学选择题的考查知识要点主要为直线方程三角形面积存在性问题。在2017 年，选择题的解析几何考查的主要内容为圆的一般方程及弦长计算、几何性质与解析、几何与解三角形的交汇问题。在2018 年选择题的解析几何考查的主要内容为弦长公式、几何性质，椭圆的定义坐标关系。2019 年选择题的解析几何考查的主要问题为直线与圆的位置关系、数形结合思想、四边形面积问题。从命题趋势上可以看出，选择题考查的解析几何范围较大。

解答题考查的难度相对于选择题来说有显著的提升，例如在2016 年，解答题考查的内容主要为椭圆的几何性质，综合求解能力，直线与圆的位置关系。在2017 年解答题，考查的内容为圆的一般方程，弦长计算，坐标关系，弦长公式三角形面积等知识。在2018 年考查的主要内容为直线方程与定积分，几何意义斜率与弦中点的坐标关系，椭圆的定义几何性质。在2019 年考查的内容主要为直线与椭圆的位置关系，定积分的几何意义与计算解三角形交汇问题，直线与圆的位置关系等等。其中解析几何与双曲线的结合应用最为广泛，相对来讲计算量也更大，对于学生的综合分析能力，逻辑推演能力考查等级更高。

从上述考查内容可以看出，解析几何与直线、椭圆、双曲线和抛物线等多项理科数学的考查要点高度相关，属于每年必考的重点内容。既是学生复习的重点，也是学生复习的难点，考查的形式比较多样，包含选择题，也有解答题填空题。且在填空题和解答题当中位于后半部分位置，重点考查学生的综合分析能力，数形结合能力，位置判断能力，逻辑推导能力。在题型类别上主要解析椭圆的离心率，双曲线离心率，渐近线等相关的问题，直线与圆锥曲线联系在一起的，涉及位置关系判定的考查方式。在题量上一般为两小题，即一道选择题，一道填空题或两道选择题。两小题一大题加在一起共计22 分。在整张卷面上占比超过1/6。除此之外，解析几何问题还会与不等式以及函数等相关问题结合在一起，通过此类问题命题方向的研究可以更加明确备考的方向，有效地提高学生的数学能力，帮助学生建立起良好的数学学习习惯。

三、解析几何命题的研究策略

(一)解题关键思想

解析几何的解题关键在于应用代数的方法来对几何问题进行解决，这本质上也是一种数形结合的方法，几何问题为数学的“形”，代数问题则为数学的“数”，其根本在于用逻辑展现的形式来进行数学结论的探讨。

首先，在解题的过程当中，要掌握解析几何解题的核心方法，应用坐标法来对几何图形的性质进行解析，这样的解析可以让数和形实现一种一一对应的数学图形构造。

其次，在解答的过程当中，要将图形置于坐标系当中，通过这种一一对应的关系将点转化为坐标，把曲线转化为方程，可以对题目当中隐含的一些数字关系进行灵活的展现。

最后，根据所绘制出来的数据图形来对一切几何特征进行解释，应用数量关系来对图形的位置关系进行具体的表达。整个解析几何的解题逻辑可以概括为应用代数问题来对几何问题进行翻译，再对代数问题的解进行具体运算，从而翻译成几何问题的解。这种从几何到代数再到代数解题，最终展现为代数几何综合题的解题方式，可以显著提高学生解题的灵活性与针对性，帮助学生真正掌握这种数形结合的解题方法。

(二)解题步骤

在解析几何问题回答的过程当中，点对应的数学关系式、坐标曲线对应的数学关系式、方程几何特征对应的数学关系式，是数式和数量的关系。学生在解题的过程当中，要将点转化为坐标，将曲线转化为方程，并应用数式和数量的关系来展现几何特征，只要把握好点、曲线、几何特征、这三个基本的已知条件，就可以获得坐标方程及竖式以及数量关系这三个最终的计算结果。以下题为例。

【案例1】在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P。

2.当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程。

本题研究的方向是P轨迹的极坐标方程，通过这种数量关系转换的方法可以探讨M在c上运动，且P在线段OM上时的运动轨迹。在解答过程当中，要通过几何特征的选择来令其代数化，并应用代数运算等选择合适的几何特征，这对后续代数运算具有较大的影响。

从该题的解题过程当中可以分析得出，在复习教学过程当中，一方面要落实解析几何的基础知识，尤其是点对应的关系问题，直线方程问题，斜率问题，圆锥曲线方程性质与直线和位置关系等问题。另一方面，在复习教学的过程当中，还要对几何特征进行详细的讲解，尤其是直线垂直的定义，平行的定义，线段等分面积，特殊四边形的性质判断等等。除此之外，在教学的过程当中还要对存在性问题，共性问题进行针对性的研究，概括出几种特殊的题型，找寻对应性的定点问题解法来获得面积的计算方法，并结合弦长与线段平分公式对圆和圆锥曲线之间的位置相关关系进行反复探讨，这样的综合教学方式可以全面提高学生的代数运算能力。

(三)解题方法

解析几何的解答一直都是高中数学教学的一个难点。只有按照步骤来进行解题，对相关公式步骤方法、确定推演、过程优化进行全面的掌握，细致的解答，掌握真正的思想方法，才能够完善研究问题解答的方法与程序，起到正确的教学准备与复习作用。

第一，采用坐标法解题是解析几何解题的基本方法之一，通过坐标法来对几何的位置进行判定，可以对具体问题进行标注，探讨相关点的坐标，尤其是在直线方程解答过程当中具有非常重要的作用。坐标法可以与圆的方程结合在一起，通过圆的坐标点标注探讨圆与直线方程的相关关系，利用圆锥曲线当中对坐标与方程问题形成的综合几何问题进行解题探讨。

第二，采用函数与方程思想也可以解决解析几何问题，对于圆锥曲线上一些动点的问题进行探讨，引入一些相互联系、相互制约的量，可以对长度问题进行良好的解答。

【案例2】已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C。

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G。

(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面积的最大值.

例如，在该题的解答过程当中，就可以写出直线的方程，并结合函数与方程思想对于ABC之间构成的函数关系进行整体反馈。从而判断PQ两点的相互位置关系，处理这类问题时可以转化成函数关系，进行几何问题的相关探讨，通过相互关联，相互独立的未知数分析，将所研究的解析几何问题转化为某一个或几个未知数的函数关系问题，并通过函数关系的界定，探讨直线的方程，反映出综合的解析几何关系。利用弦长公式可以求得椭圆方程，联合消去就可以获得最终的参数、函数方程。

第三，采用分类讨论思想是解决解析几何问题的一个关键思想，通常应用分类讨论思想的主要关系问题为函数的：斜率问题、直线斜率问题、存在性问题、最值问题。对于一个问题有多个答案，多种可能性，采用分类讨论进行探讨可以对某一位置关系进行确定。这在最值问题当中某个参数是否为零，以及几何背景当中某一个位置关系的多种可能性解答当中也具有非常重要的价值。

第四，采用数形结合思想来对解析几何问题进行直观探讨，可以充分利用图形的直观性来对函数问题进行整体反馈，进一步简化解题的步骤。原有的解题过程可以得到有效的简化，从目前命题方向的研究当中可以看出，50%以上的解析几何问题都要通过数形结合的方法来进行简化和转化。在椭圆，双曲线等圆锥曲线当中图形都具有非常明显的对称性，利用这一性质可以减少变量的引入，通过对称点的设计来提高计算的精确程度，进一步提高学生的解题能力。

第五，采用参数法来进行解题，可以对解析几何问题处理过程当中因直线曲线方程点的不确定性引入的多个变量进行简化，避免出现不确定性讨论造成讨论的难度增加。通过引入适当参数的方法，可以整体反馈直线或圆锥曲线的变化状态，从而应用不等式的相关知识来对函数的相关问题进行求解，这种求解方式在圆锥曲线与三角形面积参数的取值范围求解当中具有非常广泛的应用。

四、结论

综上所述，高三备考是一项系统性工作，只有对历年高考真题进行整合性研究，判断重点难点的分布位置，对某一知识命题角度、设题方式、考题内容进行整体性解答，采用通法来进行复习策略的准备，才能够提高教学的针对性。从本文分析可知，研究解析几何在理科全国一卷当中的命题规律，有利于我们从发展的角度看待目前备考准备工作当中存在的不足，从而更好地探讨求解，促进学生科学备考，提高教学的针对性。