数学教学要讲道理——以“公顷”教学为例

沈 俊

笔者在教学实践和教学观察中发现，学习大面积单位“公顷”，教师有“痒”点，学生有“痛”处。教师的“痒”在于：在室内讲，学生没有真实体验，想象无法打开，不能体会公顷之“大”；到室外上，教师扯破嗓子组织活动，学生却“打酱油”般走过场，练习时错例层出不穷。学生的“痛”在于：好不容易记住相邻两个面积单位之间的进率是100，“公顷”却来添堵，凭什么它和平方米的进率就得是10000？难记又难算！隔了一段时间，“公顷”已缥缈天外，毫无印象。追根溯源，是新知识“公顷”与经验中的面积单位有了隔阂，“相邻两个面积单位间的进率是100”无法迁移至新的学习情境中，知识的跳跃使理解产生了断层。因此，笔者认为，在教学中，教师应体认学生学习的痛痒，精心设计教学，重构教学流程，适时提供支架和扶手，修补好断裂的知识链，让“公顷”讲点道理，使学习顺理成章。

【案例回放】

［片段1］并不突兀，“十米”“百米”已在用

教师在黑板上画一条长10厘米的线段。

师：这条线段有多长？

生：10厘米、1分米。

师（板书厘米、分米）：都可以吗？为什么？

生：都可以，因为1分米=10厘米。

师：我们学过哪些长度单位？你能从小到大有顺序地说一说吗？

生：毫米、厘米、分米、米、千米。

师：相邻两个长度单位之间的进率有什么特点？

生1：都是10。

生2：除了米和千米的进率是1000，其余都是10。

师：毫米、厘米、分米和米，每两个相邻单位间的进率都是10。可是，“米”后面紧接着就是“千米”，进率也变成了1000。难道“米”和“千米”之间就没有其他长度单位了吗？

生1：“千米”前面也可以有“百米”，如“百米飞人大战”，跑道一圈是400米，只不过不常用。

教师在千米前板书“百米”，说明400 米＝4百米。

生2：对！我们也进行50 米赛跑和60 米迎面接力，也可以有“十米”这个单位。

教师在“百米”前板书“十米”。

师：如此看来，长度单位就齐全了，“千米”也就不再孤单了。那么，生活中和数学中为什么不经常使用“十米”与“百米”呢？

生活中处处可见“十进制”，每两个相邻长度单位间的进率是10，显得顺理成章。以毫米、厘米、分米、米为单位度量的现象在生活中也时常发生，学生积累了不少相关活动经验和度量认知。千米虽是较大的长度单位，但与米的联结并未断裂，因为从字面上看1千米就等于1000米。教师通过设问“难道‘米’和‘千米’之间就没有其他长度单位了吗”，引发学生联系生活，顺势补充了“十米”和“百米”这两个长度单位，为进一步研究面积单位的进率奠定了基础。

［片段2］借助直观，唤醒进率表象

师：谁能有条理地说一说，我们已经学过哪些面积单位？

生：平方厘米、平方分米和平方米。

师：1平方厘米的面积有多大？

生：1 平方厘米有大拇指的指甲盖那么大；边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米。

师：1平方分米和1平方米呢？

胸腔镜下肺癌根治术是治疗肺癌的常见手术方法，在确保微创的同时，也能保证肿瘤切除率[1]。快速康复外科(fast track surgery，FTS)通过微创外科技术、最佳术后镇痛以及早期活动和术后饮食等围手术期处理，减少应激反应，降低器官功能障碍的风险，维持生理状态，促进术后恢复，从而缩短住院时间[2]。我院将FTS理念应用于胸腔镜手术患者围手术期管理，现将结果报告如下。

…………

师：谁能解释一下，为什么两个相邻面积单位之间的进率不是10而是100呢？

生1：以平方分米和平方厘米的进率为例，在边长1分米的正方形的边上可以摆10个1平方厘米的小正方形，像这样可以摆10排，就是100个小正方形。所以，1平方分米=100平方厘米。

教师课件演示上述过程。

生2：我们也可以用计算来说明。边长1分米的正方形面积是1×1=1（平方分米）；也可以把1 分米化成10 厘米，10×10=100（平方厘米）。所以，1平方分米=100平方厘米。

生3：长度单位是一维空间的问题，是一条线；面积单位是二维空间的问题，是一个面。

师：这个说法很值得大家揣摩揣摩啊！

苏教版三下编排了认识面积单位平方厘米、平方分米和平方米的内容，学生知道了两个相邻面积单位之间的进率是100，到五上才编排认识大面积单位“公顷”和“平方千米”，间隔时间长，记忆链容易断，且常常与长度单位的进率混淆。如何将新知与旧知进行意义对接，这是一个值得思考和揣摩的问题。人的记忆大都是以图像或符号的形式存储的，适当的情境或刺激能促进记忆提取。上述教学中，教师首先引导学生对接生活原型，唤醒面积单位大小的表象，明确面积单位表示大小而非长短。接着借助数形结合和计算说理，明确两个相邻面积单位的进率是100而非10的内在原因。进而使学生对原有面积单位有了结构上的认知，为“创造”新的面积单位做好了孕伏。

［片段3］“平方百米”，原是顺藤摸瓜

师：顺着这个思路，如果今天要学习一个更大的面积单位，可能是什么？

生：平方十米。

师：有道理吗？1 平方十米有多大？可以推理出来吗？

生1：边长是10 米的正方形，面积是1 平方十米，也就是100平方米。

生2：10×10=100，1平方十米=100平方米。

师：1 平方十米就是100 平方米，比我们的教室多出约20 平方米。有感觉了吗？顺势推理，再学一个更大的面积单位自然就是——

生：平方百米。边长100 米的正方形面积是1平方百米。

师：平方百米与平方十米、平方米有什么关系？你能说说其中的道理吗？

生1：正好往下顺推，1 平方百米=100 平方十米。

生2：1平方百米=100×100=10000平方米。

生3：老师，我发现书上没有“平方百米”这个单位，但我看到1 公顷=10000 平方米，“平方百米”和“公顷”是不是一回事？

师：是的，1 公顷就可以看作1 平方百米。你们喜欢“平方百米”还是“公顷”？如果再学一个更大的面积单位呢？

有了前面的序曲和孕伏，学生“创造”一个新的、较大的面积单位已是水到渠成的事情。“米”后面可以有“十米”“百米”“千米”，“平方米”后面自然可以是“平方十米”“平方百米”“平方千米”，教学顺势而为就好。数学逻辑的藤蔓已然在手，摸到一个大西瓜自是顺理成章。数学，原来就很讲道理，只不过有时被人为地掐断，有时未能被好好地发掘。如此这般，“公顷”也变得讲道理了，两个相邻面积单位之间的进率一直是100，公顷和平方米之间的进率之所以变成了10000，是因为它们之间隔了一个“平方十米”。于是，更大的面积单位“平方千米”也呼之欲出了。

【教后有感】

数学是讲道理的，其全部魅力在于思考。教师需要设计教学，使学生在符合逻辑的情境中经历过程、改造经验、感悟思想、培育情感。

1.体认痛痒，修补经验断层。

心理学家奥苏伯尔曾指出，“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”为了促进学习真正发生，教师有必要在备课时前后联系，体察学习痛痒，精心设计教学流程，对知识进行有效“补偿”，为断裂的知识链补上缺失的一环，使数学学习更讲道理。

面积单位公顷和平方千米与学生的日常生活距离较远、联系较少，用教材上的情境导入无异于隔靴搔痒。面积单位突然由“正常”的进率100 跳跃到平方米和公顷之间的进率10000，这是痛痒点所在，此间的认知断层在哪里？如何“讲道理”地安全过渡？这是教学应该重点考量的，需要教师给予学生理解上的支持和扶助。

教学先从长度单位入手，顺势引出生活中已经应用的“十米”和“百米”，然后过渡到复习面积单位的大小和进率，学生自然而然就“创造”出“平方十米”和“平方百米”这两个较大的面积单位，而且由教学现场统计可知，学生更喜欢用“平方百米”去代替公顷。如此学习，既修补了知识上的断层，也激发了学生“再创造”的动力。

2.整合材料，教材是个引子。

教材编排有其科学的结构体系，但并不意味着教师教学时要完全复制、照搬。教学本身就是一种不可完全复制的创新行为，其秉持的并不是“涛声依旧”，而是“苟日新，日日新，又日新”。教师是连接教材和学生的纽带，应有自己的理解和创见，让教材为我所用，使数学教学讲道理。

教材是个引子，教学“公顷”前应思考以下几点：学习面积单位就不能忽略长度单位；进率10000 就得考量进率100；学习面积单位也会促进学生认知体积单位。如此，学习才会向四面八方打开，生成知识联结，改造已有经验。上述案例中，师生共同经历了“公顷”的创生过程，“相邻两个面积单位之间的进率是100”很有道理，由“平方米”跃迁到“平方百米”（公顷）并不突兀，再学习“平方千米”也是水到渠成。如此，将两课时的知识点统整到一节课的时空里来，教学有整体，学习成体系。第二课时可以设计成活动体验课，邀请学生到操场上和校园里去体验真实情境，沉淀既有经验。

3.逻辑推理，知识本讲道理。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来。一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成了冰冷的美丽。”的确如此，数学教材呈现出来的皆是一些文字、图表、字母和公式的组合，是科学的逻辑考量和成人的结构视角，它无法再现当初火热的思考和探究过程，教师要做的便是对其进行解读和再设计，使生硬的逻辑体系和冷冰冰的定义变得讲道理、有温度。

长度单位米和千米之间的进率之所以是1000，是数学本身的力量——两者之间还存在“十米”和“百米”这两个不常用的长度单位。当教学“补偿”了这片缺漏的阳光后，学生根据逻辑关系进行“再创造”，推理出面积单位“平方十米”“平方百米”（公顷）“平方千米”已属顺水推舟，使冰冷的美丽重归为火热的思考。

总之，数学本身就是讲道理的学科，有其内在的逻辑和体系。数学知识也并不是裸露、孤立的存在，需要教师在学习者的旧有经验中找到附着点和生长点，借助合适的载体将其“引”出来。因此，在好的教学现场，知识一定是鲜活可感、讲道理的，学习者持续沉浸其中，感受数学本身的力量，体验思维进阶的愉悦。