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由一道简算题想到的

2019-12-31金志军

小学教学参考(数学) 2019年11期
关键词:简便计算实用科学

金志军

[摘要]计算教学考验着数学教师的基本功,也反映出数学教师的教育理念。让学生掌握知识、应用知识很关键,但是单纯为了学生能够应用知识而进行计算教学会弄巧成拙。透过一道简算题,发现为简便而进行计算会复杂化,找到实用方法才是真的简便,教师在计算教学中应寻找科学教法。

[关键词]简便计算;实用;简便;科学

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号] 1007—9068(2019)32—0024—02

一位五年级学生在解答一道小数除法计算题“15÷2.5+15÷7.5”时,能轻而易举地采用常规方法解答问题,即分别求出15÷2.5和15÷7.5的商,最后再将两者加起来,但她对于题目中的要求“尽量使用简便计算方法计算”感到困惑。明明可以直接解决问题,为什么还要用简便算法呢?这位学生熟练掌握整数除以小数的除法计算法则,这是她首先就能想到的算法,而要绕弯子去想简便算法,反而成为她的思想负担,迫使她不得不放弃唾手可得的方法去绞尽脑汁想别的算法。那么,这道题的简便算法是什么?该如何去思考?下面就让我们站在小学生的角度来审视这个问题,并进行答疑解惑。

一、为简便而进行的计算反而复杂化

能否简便计算,首先要考虑是否能运用运算律。初步审题,发现上述计算题的两个除法式子的被除数都是15,中间用加号连接,让人想到利用分配律来解题,即15÷(2.5+7.5)=15÷10=1.5。当然这样的结果是经不起推敲的,学生很快就会发现这样解题的结果是错误的。也许,这就是命题者故布疑阵。对小学五年级学生来讲,乘法分配律是简便计算中的常用运算律,但是却无法类推至“除法分配律”。这个“陷阱”会让很多学生中招。

如果“除法分配律”行不通,不妨改弦易辙,转换思路。对于五年级学生来说,解决问题当然要用现成的定理和公式,这样,分数知识便成了首选,沿着这个思路,把有关除法式子转化成分数形式,让分子和分母同时扩大10倍,然后对分母进行通分,约分化简之后即可求解。如15÷2.5+15÷7.5=15/2.5+15/7.5=15×10/2.5×10+15×10/7.5×10=150/25+150/75=6+2=8,即15÷2.5+15÷7.5=8。五年级学生早在一年前就学过分数的基本性质,这其实就是把陌生问题转化成熟悉问题,用已掌握的知识巧妙解决问题,是学生能够理解,也能够接纳的方法。但这样处理简化计算步骤了吗?不难看出,这种方法反而略显烦琐了。

也有教师提出不同看法,鉴于小数0.5作为除数的特别之处,其实也可以另辟蹊径,将2.5化成5×0.5,将7.5化成3×5×0.5,原题也就转换为:15÷(5×0.5)+15÷(3×5×0.5)=15÷5÷0.5+15÷3÷5÷0.5=6+2=8。这种方法也能求出正确得数,但不适合推广。原因有二:一是将2.5化成5×0.5和将7.5化成3×5×0.5的形式,对刚刚接触整数除以小数的五年级学生而言,是很难想到的;二是这样一来简单的两商之和的算式结构被破坏了,变得无比复杂。这种方法在除法之外增加乘法运算,还运用到了拓展公式a÷(b×c)=a÷b÷c。把算式形态复杂化,更容易使学生出错,最终造成“满盘皆输”。

二、找到最实用的方法才是真简便

如果非要按照上述方法解题,倒不如对算式进行分解,看起来思路更清晰。

方法一:15÷2.5+15÷7.5=3×5÷2.5+2×7.5÷7.5=3×(5÷2.5)+2×(7.5÷7.5)=6+2=8。

方法二:15÷2.5+15÷7.5=(3×5)÷2.5+(3×5)÷(2.5×3)=3×(5÷2.5)+5÷2.5=6+2=8。

这两种运算思路,比前面的运算思路更容易理解。

以上几种方法运用起来简单省事,但是却不容易想到。因此,上述方法还不够实用,需要找到一种既简便又容易让人接受的方法。于是,笔者继续探索新方法,不断尝试创新。题目是求15÷2.5和15÷7.5的和,宏观来看,只要用简单易懂的方法算出两个商数就行。“15÷2.5”这样的算式学生生疏,根据除法的商不变定律,学生对于5÷2.5=2和100÷25=4的运算轻车熟路,有着十分丰富的经验,因此只要把100和25同步缩小10倍,也就是把小数点向左移动一位数字,100÷25的结果就和10÷2.5相等。因此,不妨把15分成10+5,让它们分别除以2.5,所求的两个商之和就是15÷2.5的商,即15÷2.5=(10+5)÷2.5=4+2=6。前半部分解决了,后半部分以此类推。同理,寻找7.5的一些常见倍数,而7.5+7.5恰好等于15,于是联想到把15÷7.5化为15÷7.5=(7.5+7.5)÷7.5=1+1=2。采用这种方法,其实是缘于2.5是特殊除数,对比前面的方法,五年级学生可能更好接受,但这种方法也不是最简便的。

三、寻找科学的计算教学方法

过程重于结论。通过探索研究,基本可以确定,本题没有更简便的方法。然而这一艰辛的探索没有白费,一是明确了分配律对除法失效;二是认识到具体计算时,可以适度地放缩分子和分母,或进行数据的拆分,使计算方式更具选择空间。

数学教学不应禁锢学生的思维,只给学生一条路走。多一条思路,可能对数学的理解就会多一份深刻。本题一个劲地追求简洁高效,反而适得其反、弄巧成拙,越搞越复杂。有些计算题,采用一般方法也会得出准确值。教师只有引导学生多方面思考,多维度探索,才能真正丰富学生的想象能力和迁移类比能力。

当学生简算达到一定熟练程度,对所有常规的运算律有一个全局把握后,教师应引导他们举一反三、触类旁通,在深入理解运算性质的基础上,随机应变,灵活处理各种运算。如根据加减法去括号衍生出乘除法去括号。例如,计算“321-79-21”,就可以根据加减法的性质来变通处理达到简算目的,如321-(79+21),因为连续减去两个数,可以看作一次性减去两个数的和。当然,能不能简算,和去括号和添括号没有必然联系,这不是绝对的,需根据实际情况而定,如果是321-(21+50),这时,去括号就能简算。同理,可以推断出乘除法的去括号,如1000÷25÷5=1000÷(25×4),这样添括号后,后面两个除数就构成相乘关系,这同样是通过类比加减法去括号原理得出的,连续除以两个数,相当于一次性除以这两个数的乘积,当然这也不是绝对的,算式如果是100÷(25×5),那么去括号就会更简便。值得注意的是,这种类比变通要防范“想当然”,预防形式上的“冒充”。如根据乘法分配律5×(8+6)=5×8+5×6想当然地类推出100÷(3+7)=100÷3+100÷7这显然是错误的。但是,反过来却是行得通的,如(30+70)÷20=30÷20+70÷20。这其中的奥妙就要教师引导学生对基本算理进行深入理解。

数学教学中,教师不能只在意学生会不会做,更应在意学生會不会想,要充分替学生考虑,了解他们的想法,以及探究他们产生这些想法的根源,即站在学生的视角去思考问题。一道题会有多种解法,在做题时,应选择最契合学生思维特点的方法来教学。

一道简算题,看似简单,但是,在简算和常规算法的取舍之间,我们应该再三斟酌,再三尝试,在不断尝试中总结提升,不断优化算法,实现真正的简算。

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