由一道简算题想到的

金志军

[摘要]计算教学考验着数学教师的基本功，也反映出数学教师的教育理念。让学生掌握知识、应用知识很关键，但是单纯为了学生能够应用知识而进行计算教学会弄巧成拙。透过一道简算题，发现为简便而进行计算会复杂化，找到实用方法才是真的简便，教师在计算教学中应寻找科学教法。

[关键词]简便计算;实用;简便;科学

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号] 1007—9068（2019）32—0024—02

一位五年级学生在解答一道小数除法计算题“15÷2.5+15÷7.5”时，能轻而易举地采用常规方法解答问题，即分别求出15÷2.5和15÷7.5的商，最后再将两者加起来，但她对于题目中的要求“尽量使用简便计算方法计算”感到困惑。明明可以直接解决问题，为什么还要用简便算法呢？这位学生熟练掌握整数除以小数的除法计算法则，这是她首先就能想到的算法，而要绕弯子去想简便算法，反而成为她的思想负担，迫使她不得不放弃唾手可得的方法去绞尽脑汁想别的算法。那么，这道题的简便算法是什么？该如何去思考？下面就让我们站在小学生的角度来审视这个问题，并进行答疑解惑。

一、为简便而进行的计算反而复杂化

能否简便计算，首先要考虑是否能运用运算律。初步审题，发现上述计算题的两个除法式子的被除数都是15，中间用加号连接，让人想到利用分配律来解题，即15÷（2.5+7.5）=15÷10=1.5。当然这样的结果是经不起推敲的，学生很快就会发现这样解题的结果是错误的。也许，这就是命题者故布疑阵。对小学五年级学生来讲，乘法分配律是简便计算中的常用运算律，但是却无法类推至“除法分配律”。这个“陷阱”会让很多学生中招。

如果“除法分配律”行不通，不妨改弦易辙，转换思路。对于五年级学生来说，解决问题当然要用现成的定理和公式，这样，分数知识便成了首选，沿着这个思路，把有关除法式子转化成分数形式，让分子和分母同时扩大10倍，然后对分母进行通分，约分化简之后即可求解。如15÷2.5+15÷7.5=15/2.5+15/7.5=15×10/2.5×10+15×10/7.5×10=150/25+150/75=6+2=8，即15÷2.5+15÷7.5=8。五年级学生早在一年前就学过分数的基本性质，这其实就是把陌生问题转化成熟悉问题，用已掌握的知识巧妙解决问题，是学生能够理解，也能够接纳的方法。但这样处理简化计算步骤了吗？不难看出，这种方法反而略显烦琐了。

也有教师提出不同看法，鉴于小数0.5作为除数的特别之处，其实也可以另辟蹊径，将2.5化成5×0.5，将7.5化成3×5×0.5，原题也就转换为：15÷（5×0.5）+15÷（3×5×0.5）=15÷5÷0.5+15÷3÷5÷0.5=6+2=8。这种方法也能求出正确得数，但不适合推广。原因有二：一是将2.5化成5×0.5和将7.5化成3×5×0.5的形式，对刚刚接触整数除以小数的五年级学生而言，是很难想到的;二是这样一来简单的两商之和的算式结构被破坏了，变得无比复杂。这种方法在除法之外增加乘法运算，还运用到了拓展公式a÷（b×c）=a÷b÷c。把算式形态复杂化，更容易使学生出错，最终造成“满盘皆输”。

二、找到最实用的方法才是真简便

如果非要按照上述方法解题，倒不如对算式进行分解，看起来思路更清晰。

方法一：15÷2.5+15÷7.5=3×5÷2.5+2×7.5÷7.5=3×（5÷2.5）+2×（7.5÷7.5）=6+2=8。

方法二：15÷2.5+15÷7.5=（3×5）÷2.5+（3×5）÷（2.5×3）=3×（5÷2.5）+5÷2.5=6+2=8。

这两种运算思路，比前面的运算思路更容易理解。

以上几种方法运用起来简单省事，但是却不容易想到。因此，上述方法还不够实用，需要找到一种既简便又容易让人接受的方法。于是，笔者继续探索新方法，不断尝试创新。题目是求15÷2.5和15÷7.5的和，宏观来看，只要用简单易懂的方法算出两个商数就行。“15÷2.5”这样的算式学生生疏，根据除法的商不变定律，学生对于5÷2.5=2和100÷25=4的运算轻车熟路，有着十分丰富的经验，因此只要把100和25同步缩小10倍，也就是把小数点向左移动一位数字，100÷25的结果就和10÷2.5相等。因此，不妨把15分成10+5，让它们分别除以2.5，所求的两个商之和就是15÷2.5的商，即15÷2.5=（10+5）÷2.5=4+2=6。前半部分解决了，后半部分以此类推。同理，寻找7.5的一些常见倍数，而7.5+7.5恰好等于15，于是联想到把15÷7.5化为15÷7.5=（7.5+7.5）÷7.5=1+1=2。采用这种方法，其实是缘于2.5是特殊除数，对比前面的方法，五年级学生可能更好接受，但这种方法也不是最简便的。

三、寻找科学的计算教学方法

过程重于结论。通过探索研究，基本可以确定，本题没有更简便的方法。然而这一艰辛的探索没有白费，一是明确了分配律对除法失效;二是认识到具体计算时，可以适度地放缩分子和分母，或进行数据的拆分，使计算方式更具选择空间。

数学教学不应禁锢学生的思维，只给学生一条路走。多一条思路，可能对数学的理解就会多一份深刻。本题一个劲地追求简洁高效，反而适得其反、弄巧成拙，越搞越复杂。有些计算题，采用一般方法也会得出准确值。教师只有引导学生多方面思考，多维度探索，才能真正丰富学生的想象能力和迁移类比能力。

当学生简算达到一定熟练程度，对所有常规的运算律有一个全局把握后，教师应引导他们举一反三、触类旁通，在深入理解运算性质的基础上，随机应变，灵活处理各种运算。如根据加减法去括号衍生出乘除法去括号。例如，计算“321-79-21”，就可以根据加减法的性质来变通处理达到简算目的，如321-（79+21），因为连续减去两个数，可以看作一次性减去两个数的和。当然，能不能简算，和去括号和添括号没有必然联系，这不是绝对的，需根据实际情况而定，如果是321-（21+50），这时，去括号就能简算。同理，可以推断出乘除法的去括号，如1000÷25÷5=1000÷（25×4），这样添括号后，后面两个除数就构成相乘关系，这同样是通过类比加减法去括号原理得出的，连续除以两个数，相当于一次性除以这两个数的乘积，当然这也不是绝对的，算式如果是100÷（25×5），那么去括号就会更简便。值得注意的是，这种类比变通要防范“想当然”，预防形式上的“冒充”。如根据乘法分配律5×（8+6）=5×8+5×6想当然地类推出100÷（3+7）=100÷3+100÷7这显然是错误的。但是，反过来却是行得通的，如（30+70）÷20=30÷20+70÷20。这其中的奥妙就要教师引导学生对基本算理进行深入理解。

数学教学中，教师不能只在意学生会不会做，更应在意学生會不会想，要充分替学生考虑，了解他们的想法，以及探究他们产生这些想法的根源，即站在学生的视角去思考问题。一道题会有多种解法，在做题时，应选择最契合学生思维特点的方法来教学。

一道简算题，看似简单，但是，在简算和常规算法的取舍之间，我们应该再三斟酌，再三尝试，在不断尝试中总结提升，不断优化算法，实现真正的简算。