一个不等式的推广
2019-12-31重庆三峡学院数学与统计学院404000陈晓春
中学数学研究(江西) 2019年11期
重庆三峡学院数学与统计学院 (404000) 陈晓春
这个不等式结构对称,因此值得关注,本文将对(1)作一探讨.
1.不等式(1)的证明
2.不等式(1)的类似不等式
将分子叠加有
如将分母的项扩充有
如将不等式(1)的分母添加系数或扩充有:
不等式7 已知a,b,c>0满足a+b+c=S,l,m,n是不全为零的非负实数,则
不等式8 已知a,b,c>0满足a+b+c=S,l,m,n是不全为零的非负实数,则
将分子叠加,例如
3.不等式(1)的推广
同不等式(1)的证明一样,利用柯西不等式和幂平均不等式可以将(1)的元素个数和分子的次数推广:
再由柯西不等式有
特别地,当n=3时,
同前面的讨论一样,如果对不等式(2)和(3)的分母进行扩充或变式,还可以得到许多新的不等式,在此不再赘述,有兴趣的读者不妨一试.