高等数学中两个重要极限的推导方法

张春香　　龚加安

【摘要】数学教学是数学思维活动的教学，除了掌握基本知识、基本技能外，还要培养学生的思维能力。不同的推导方法，可以培养学生不同的思维方式。本文通过高数学中两个重要极限的推导方法来培养学生的发散思维和创新精神，开阔解题思路，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

【关键词】高等数学  重要极限  发散思维

【基金项目】陕西省教育厅科学研究项目（17JK0962）;商洛职业技术学院2017 年度重大课题（2017JXKT06）。

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）49-0133-01

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的高等数学教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。在求极限的多种方法中，利用两个重要极限来求极限是非常重要的一种求极限的方法。关于两个极限的推导几乎所有的教材都是利用夹逼定理证明第一个重要极限，用单调有界数列必有极限和二项式定理证明第二个重要极限。对两个重要极限除了这些方法外，还可以换一个角度给出另外的证明。下面归纳总结出两个重要极限的一些推导方法。

1.重要极限=1

证法1：该极限的证明，关键是证不等式：sinx

如图，设单位圆⊙O的渐开线为.若记∠TOA=x，并过T作TH⊥X轴于H，TBC切⊙O且交 及X轴分别于B、C，则sinx =TH

因扇形面积OAT=x的求得，一般是n等分∠AOT成n个等腰△AiOAi-1（i=1，2，…，n，A=A0，T=An），则

∑△AiOAi-1=∑sin（x/n）=nsin（x/n）

此时，扇形面积OAT=∑△AiOAi-1=∑sin（x/n）=x [sin（x/n）/（x/n）]

显然当[sin（x/n）/（x/n）]=1时，扇形面积OAT=x，但令t=x/n，则该极限为要证明的重要极限。

证法2（用洛必达法则）：==cosx=1

2.重要极限（1+）x=e

证法1：当x=n（正整数）时，设数列un=（1+）n只需证该数列是单调有界的即可。为此计算：

un=（1+）n=1+n+++…+=1+1+（1-）+（1-）（1-）+…+（1-）（1-）+…+（1-）

类似地可计算

un+1=（1+）n+1=1+1+（1-）+（1-）（1-）+…+（1-）（1-）+…+（1-）+（1-）（1-）…（1-）

比较un与un+1的展开式，可知除前两项外，un中的每一项都小于un+1中的对应项，且un+1比un多了最后的正数项。所以un

即数列un是单调增的。

把un中每个括号内用1代替，则

un≤1+1+++…+≤1+1++++…+=1+<1+=3

即数列un有界。从而知，当n→∞时，数列un=（1+）n的极限存在，其极限用e表示。

证法2：

（1+）x=e=e=e=e=e=e=e

高等数学中，能利用多种方法证明推导的例子有很多，在平时教学中，教师要积极引导学生进行这方面的训练，不仅能巩固基本知识，掌握基本技能技巧，而且有助于培养全面分析问题的能力，培养具有灵活性和多向思维能力。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]崔宏志.高等数学[M].北京：機械出版社，2013.

[3]黄炜.经济学[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]崔宏志.高等数学[M].北京：北京师范大学出版社，2016.