西南联大数学名师许宝騄的数学贡献①

刘冰楠

(云南师范大学数学学院 650500)

在西南联大这片热土上，曾出现过很多辛勤职教的老前辈，他们挥洒汗水，在极度艰苦的条件下，为我国培育出众多英才，许宝騄便是其中一位.许先生对我国概率论和数理统计学的学科发展做出了突出贡献，是我国概率统计研究的现代学者中达到世界先进水平并有广泛国际影响的第一人，在矩阵论和积分变换方面也有精深的研究.许先生才华出众，与华罗庚、陈省身两位先生共被誉为“西南联大数学三杰”，他所追求的最高学术标准的科学精神，值得当今学者继承和发扬.2019年恰逢西南联合大学在昆明建校八十一周年，我们怀着无比崇敬的心情，缅怀其学术业绩、学习其治学风范.仅以此文纪念曾在这片园地辛勤耕耘的先人，激励后辈，发扬西南联大精神.

1 生平简介

许宝騄(Pao-Lu Hsu，1910.9.1—1970.12.18)，字闲若，笔名班成，我国著名数学家，数理统计、概率论奠基人，中国科学院院士，曾任第四届全国政协委员.许宝騄出身于杭州的名门世家，祖父许祐身曾任苏州府知府，父亲许引之曾任两浙盐运使，兄弟姐妹七人，排行第七，两位兄长许宝驹、许宝骙均学有所长，颇多建树.许先生1910年9月1日生于北京，两岁随父迁至天津，8岁举家迁回杭州.幼年时期，其父聘请家庭教师为其讲授《四书》、《五经》、历史及古典文学，为其奠定了深厚的文学基础.1924年，其父病逝，全家迁回天津，翌年移居北京，考入北京汇文中学学习.中学期间，常与其表姐夫徐传元(毕业于美国麻省理工学院)探讨数学问题，并得到启迪.中学时期即可用法语书写短文.1928年考入燕京大学化学系，1930年转入清华大学数学系，1933年获理学学士学位.毕业后被录取赴英国留学，但由于体重太轻不合格未能出国，调养一年后，正值美国哈佛大学教授W.F.Osgood在北京大学讲学，故许宝騄到北京大学数学系为其当助教.在其讲学的两年中，许宝騄一直是他的助教，奥斯古德在他后来出版的书中，还提到许宝騄对他的诸多帮助，流露了其对许先生的赞赏与深厚的友情.1935年，许宝騄与江泽涵合作发表了关于“临界点”的论文，初步显露了他的数学才能.

1936年，许宝騄再次考取了赴英留学的机会，被派往University College London，在高尔顿实验室和统计系学习数理统计.当时的统计系人才济济，由R.A.Fisher接替K.Pearson任实验室主任，美国多元分析专家H.Hotelling，S.S.Wiks，频率曲线专家C.C.Craig，概率专家W.Feller等都在该系学习工作过，并对许宝騄的学术思想和研究方向产生了一定的影响.在此学习的四年间，许先生以他坚实的数学基础与能力，结合英国先进的统计思想，迅速发表了一系列重要论文.1938年获得哲学博士学位，1940年获科学博士学位.1940年年底，许先生在抗日战争的烽火中毅然回国，任国立西南联合大学数学系教授，讲授概率论、数理统计等课程.1945年应邀赴美国加利福尼亚大学伯克利分校、哥伦比亚大学和北卡罗莱纳大学讲学.许先生在美国教了两年左右的书，给人留下了深刻的印象，现在伯克利大学、斯坦福大学的统计系，都挂有许先生的相片以示纪念[1].1947年夏，许先生返回北京，自此一直在北京大学任教.1948年当选中央研究院首批院士，1955年当选中国科学院首批学部委员.1950年以后，许先生长期患病，但仍以顽强的毅力坚持带领青年学者开展科研工作.1970年12月18日病逝于北京大学住所，享年60岁.

1979年，为纪念许先生诞辰70周年，著名的《The Annals of Statistics》约请三位世界著名的专家撰文介绍其生平及在学术上的重要贡献.1981年，中国科学出版社出版了《许宝騄文集》，由中国科学院院士江泽涵和段学复为此文集作序，高度评价了许先生的一生，文集中收录许先生的论文19篇.1983年1月，《许宝騄全集》英文版《PAO-LU HSU COLLETED PAPERS》由K.L.Chung负责编辑，西德Springer-Verlag出版发行，该英文版共589页，收集数学论文41篇(40篇正文，1篇附录)，其中解放后发表的中文论文均被翻译成英文.能在Springer出版社出版论文集的中国数学家，至今屈指可数.1997年，美国出版了《Leading Personalities in Statistical Science from the Seventeenth Century to the Present》一书，该书介绍了包括牛顿、高斯、拉普拉斯、费雪尔、奈曼、柯尔莫果洛夫等著名科学家在内的114位重要人物的传记，而许宝騄先生是唯一入选的中国学者.

2 许宝騄的数学教育思想

2.1 著述立说，传播现代数学知识

许先生具备典型的中国学者的风度，一贯以高标准严格要求自己，是为青年学者学术风范之楷模，更给国际同行留下了深刻的印象.许先生在学术上十分注重论文的质量，他曾说：“一篇文章的价值不是在它发表时得到了承认，而是在后来不断被别人引用的时候才得到了证实.”“我不希望自己的文章登在有名的杂志上因而出了名；我希望一本杂志因为刊登了我的文章而出了名.”[2]正是因为许先生对学术追求的高质量，使得他发表的许多论文在其特定的领域内产生了深远的影响.

在多元统计分析和统计推导方面，许先生发展了矩阵变换的技巧，推导样本协方差矩阵的分布与某些行列式方程的根的分布，推进了矩阵论在数理统计学中的应用.他对Gauss-Markov模型中的方差的最优估计的研究是后人关于方差分量和方差的最佳二次估计的众多研究的起点.他揭示了线性假设的似然比检验的第一个优良性质，推动了人们对所有相似检验进行研究.在概率论方面，得到了样本方差的分布的渐近展开以及中心极限定理中误差大小的阶的精确估计.与H.Robbins合作提出的“完全收敛”则是强大数律的有趣加强，是后来一系列有关强收敛速度的研究的起点.许先生在矩阵偶于某些变换下的分类、马氏过程转移函数的可微性、次序统计量的极限分布及部分平衡不完全区组设计等方面均有出色的工作[3].

许先生主持翻译、校阅了辛钦的《数学分析简明教程》、史捷班诺夫的《微分方程教程》和格涅坚科的《概率论教程》等俄文教材，帮助教师学习俄语，精读俄文原版《数学分析八讲》等教材，这些工作对解放初期中国数学教材建设及人才培养具有重要意义.

许先生发表学术论文40篇[4]，其中“变叙的项的极限分布”和“部分平衡不完全区组设计”这两篇文章，是许宝騄先生所主持的讨论班的成果，以其笔名“班成”的名义发表.许先生1970年逝世后，后人在其主持的讨论班(1964年冬至1965年春)上得到大部分结果，发表了“随机矩阵的重合性质”一文；1990年，许宝騄先生逝世20周年，《应用概率统计》刊载了其研究成果“有限状态马尔可夫链的某些研究”.

许先生关于数理统计学的第一篇论文发表于1938年，文中讨论了所谓的Behrens-Fisher问题.其中，对于σ1，σ2不一定相等的情况，给出了相应的统计量，找到了统计量的密度函数的级数展开式，并用它研究否定域的功效.此项工作被著名统计学家H.Scheffe(1970)称为“数学严格的典范”.这种方法被学者们称为“许方法”，时至今日，仍是解决这一问题的最实用的方法.此后，许先生发表了多篇多元统计分析理论发展的前沿论文，并得到同行的认可.

2.2 主持讨论班，重视学科发展

许先生不仅具有高深的学术造诣和杰出的学术成就，而且为建设和发展中国的概率统计学科做出了卓越贡献.他所从事的概率统计，在我国第一个科学规划中被列为数学学科的重点方向之一[5].许先生作为全国公认的概率统计学科带头人，为了推动理论联系实际的工作，于1956年在北京大学成立了全国第一个概率论与数理统计教研室，并担任教研室主任.他主持制定了概率统计专门化的培养计划和教学大纲，充分体现了重视基本知识、加强基础训练、着重基本能力培养的精神，至今仍具有指导意义[6].

1956年在教育部的统一安排下，许多高校的教师和学生云集北大，在许先生的主持下从事概率统计的学习与研究.此时的教师团队除北大原有的教师外，从中国科学院数学研究所、中山大学等高校调集了一批教师，加强专门课程的教学力量，这一举措，对我国概率统计队伍的建设和发展起到了奠基性的作用.培养的这批学生成为国内第一届概率论与数理统计专门化的学生，他们中的许多人长期活跃在教学科研第一线，成为概率统计学科的骨干力量.在许先生的倡议下，当时从苏联、东欧邀请了一些概率统计专家来华进行学术交流，同时选派一些优秀青年学者去国外学习，以此加强国内外学术交流，促进我国概率统计学科的发展.为了促进学术交流，许先生争取为青年学者提供发表文章的机会，曾发起筹办全国性的概率统计学术期刊，并表示愿意资助一部分经费，但由于种种原因当时未能实现，直至1983年后才逐步实现.

许先生特别重视青年教师及学生的独立科研能力的培养，并通过讨论班的形式进行科研能手的培养.他主持了富氏变换、极限定理、马氏过程、试验设计、次序统计量等讨论班，讨论班的成员不仅有北大的教师和学生，还有其他各院校的师生以及中国科学院数学研究所的同志.其中，马氏过程讨论班的内容涉及极限定理、马氏过程、多元分析、实验设计、次序统计量、过程统计、判决函数和组合数学等多个专题[7].在讨论班上，“他常有精彩的插话，介绍所讨论专题的历史、现状，指出难点，使青年受益不小.”[8]当一个专题报告结束之后，成员间进行讨论交流，报告人根据反馈将报告内容进行重新整理，提出新的方法和进一步研究的方向.通过讨论班的学习，学生都能在不同程度上较自己原有水平有所提高.许先生循循善诱地鼓励青年学者敢于发表自己的意见，并激励其进行科学实践，告诫学生不要眼高手低最终导致一事无成.许先生把大批青年学者引向科学研究的前线，成为其科研引路人.

江泽涵先生回忆西南联大时期写道：“好多位杰出有为的年轻数学教授从国外返回，如陈省身1937年从法国返回、华罗庚1938年和许宝騄1940年从英国返回.各种讨论班在数学系建立.联大培养数学人才方面的成绩历来都有好评，我认为上述的交流确是获得成绩的一个不可忽视的原因.因为有了交流，才打破了近亲繁殖、因循守旧，才鼓励了独立思考、创新精神，因而使基础知识扎实、宽广.我自己也受了这些交流的好处.”[9]可见，讨论班对西南联大人才的培养起到了重要的作用.

2.3 主张“良工示人以朴”

“许先生在教学中特别强调要直观地理解数学，主张要把数学定理及其证明的‘原始思想’告知学生，使学生认识到追求简单规律的重要性，并以此作为研究数学的目标和兴趣出发点.”[10]许先生主张的“良工示人以朴”的教学观点，至今仍有重要的现实意义，即Mathematics is for simplicity——数学教学要追求简易，重视直观.

“直观”原指借助于视觉器官直接观察，以此获得感性经验.数学直观不同于一般教育学加上数学例子的问题，也不局限于教学的直观性，而是数学教学所特有的.数学教师对所教内容进行严谨的文字语言描述，简明的符号语言表达，形象的图形语言呈现，建立数学内部与外部联系的类比等，都是数学直观的体现.1988年7月27日—8月3日在匈牙利首都布达佩斯举行的“第六届国际数学教育会议”将“数学直观”作为分组课题之一进行深入探讨.使学生学会用直观、联想的方法理解数学，从直观上领悟数学命题的来龙去脉，主动发现问题，达到真正领会，在一定程度上有助于学生创造力的培养.美学专家认为，简单性是美的标志，数学的简单性意味着“规律性、协调性和形式上的统一性.阿达玛发展了庞加莱的数学发明心理学，阐明了美的意识与人脑创造性思维活动的深刻联系.追求简单性的意愿有利于激发创造发明的心智能力.”[10]“数学中的美是数学真理的光辉，对美的追求是科学创造的内驱力之一.”[11]徐利治先生回忆起西南联大求学岁月时讲道，许先生开设微分几何课程，“第一次上课就对我们说，微分几何不过是微积分的一种应用而已，而主要工具是泰勒级数展开，再用一点儿初级代数计算.”[10]体现了许先生“良工示人以朴”的教学观点.许先生的课堂，将思想与形式完美地结合，每每吸引众多学子.他的学生回忆说：“许先生坚持深入浅出，毫不回避困难.沉着、明确而又默默地献身于学术的最高目标和最高水平，这种精神吸引了我们.”[12]

在证明方法上，许先生追求初等的证明，他认为初等的方法比艰深的方法在数学教学中更有意义.故在选择证明方法时，力求简洁，将问题剖析清楚后(分析问题时，强调要有一种“内视”的能力)，问题解决便水到渠成.同时重视特例分析、数学概括和抽象方法，以此培养学生“不怕计算”和“乐于计算”的习惯，从计算中发现规律并提炼一般性公式，使学生学会从特殊到一般的方法.

在教学和科研中，许先生十分注重对青年学者进行抽象的训练.他说：“数学中的抽象能力是重要的，一些问题经过抽象之后，不仅问题简单明了，而且它的实质也更清楚了.”[13]表面上看起来毫不相干的内容，经过抽象后得到本质是一样的.回顾欧拉、高斯、庞加莱等大数学家的工作，他们都一致重视抽象、计算、观察、归纳和分析等的重要作用.数学所研究的对象是形式化了的思想材料，显示出某种程度的抽象性，数学中的概念、原理、方法、规律等也都是抽象的结果.抽象的知识对以形象思维为主、抽象思维较弱的学生来讲，带来了较大的挑战，如何在具体内容与抽象之间架设一座桥梁，成为数学教学的重要环节.数学直观可以很好地解决这一问题.鉴于“数学是由于现实世界的实际需要而形成的，只有密切联系实际的数学才能使学生将所学的知识与现实结合，数学教育一旦脱离了丰富多彩而又错综复杂的背景材料，就将成为无源之水，无本之木.”[14]学生对所学内容的认识、理解及抽象概括其本质，是抽象思维的出发点，从此出发，而后离开它，摆脱它.再一次体现“良工示人以朴”在教学中起到的重要作用.

3 许宝騄与西南联大

1940年的中国正经历劫难，人民处于水深火热之中，为了民族解放许先生毅然回国，到“白昼则群蝇密集，黄昏则一灯如豆”的昆明乡下西南联大数学系任教.当时的他虽然很年轻，但却已经很有名气，并努力为数学新生代的成长储备力量.许先生在西南联大任教时期，不仅生活艰苦，资料也很贫乏.“他吃着‘渗泥砂而煮不熟的黑米饭’和‘无油的清水茶’，偶尔‘打牙祭’，没有锅釜，用脸盆代替，盛了鸡豚煮食，算是珍馐，许先生喜称‘吃脸盆’.白天要‘跑空袭’，晚上在斗室的油灯下从事科研工作.”[15]就是在如此恶劣的环境下，许先生仍坚持完成其科学论著，并于1941年在英美等国的学术刊物上一连发表5篇数学研究论文，令人肃然起敬.

数学系当时资料的匮乏程度，从杨武之先生的描述中可见一般：“九年之间连英美各方赠送者在内，不过两百本耳，其中且多不适用者，杂志则英美出版者较多，1940年以后便难续到.”[16]鉴于条件的限制，许先生曾手抄过E.C.Titchmarsh的整本《函数论》，授课则大多自编讲义，课程讲义大多以讨论班上的讲稿为蓝本整理而成，其讲稿对当今数学教学工作仍有很大的参考价值.如《马氏过程》、《点集拓扑》、《多元分析》和《抽样论》等都是经过精心选材整理而成，并具有鲜明的特点.其中，《抽样论》经孙山泽的整理，由北京大学出版社于1982年出版，并荣获国家教委优秀教材奖.许先生凭借顽强的毅力进行科学研究及教学工作.

许先生工作严谨，备课极为认真，讲授条理清晰.在西南联大理学院算学系工作的五年间，为大学生开设了诸多专业课程，包括专业必修课程和专业选修课程.其课表如表1所示：

表1 许宝騄在西南联大理学院算学系的课表

注：该课程表根据《国立西南联合大学校史——1937至1946年的北大、清华、南开》(北京大学出版社，1996年)等文献整理而成. 高等微积分甲组为工学院设，乙组为理学院设. 数理统计甲乙课程必须同选，其预修课程为高等微积分.

由表1可见，许先生在西南联大所讲授的必修课有初等微积分Ⅲ、近世代数、微分几何等.其中，初等微积分所用教材一般选用W. F. Osgood的Introduction to the Calculus(1922)，Smith、Granville&Lonely的Differential and Integral Calculus或R.Courant的Differential and Integral Calculus.近世代数所用教科书一般选用B.L.vander Waerden的Moderne Algebra.微分几何选用Graustein的Differential Geometry或V.Veblen and J.H.C.Whitehead的The Foundation of Differential Geometry.许先生为本科生和研究生开设的选修课程，包括数理统计、傅立叶级数与积分、微积分Ⅳ、高级算论等.其中，为分析学方向本科四年级与研究生开设的选修课程有傅立叶级数与积分；为概率论方向三、四年级学生及研究生开设的选修课有数理统计(甲乙)，且其先修课程为高等微积分(必修课)，也由许先生讲授.“许先生开设的数理统计课程，国内尚属首次系统讲授.”[17]

许先生很关心新一代学者的成长，每当青年学者取得科研成果时，他总是十分高兴并认真指导，连标点符号也不放过，努力把青年学者带到科研前线，在战乱中谱写教书育人的动人乐章.他的学生中有钟开莱、冷生明、王寿仁(1)改革开放后，王寿仁先生招收了第一批硕士研究生(3人)，马志明院士便是其中一位.许宝騄先生开创了中国的概率统计学科，并为概率统计的传承做出奠基性工作.等，都在各自的领域发挥了重要作用.许先生在西南联大时期，在统计学多元分析数学理论方面做出了若干处于世界前沿的工作.在1941—1945年教育部举办的第五届学术评议活动中，许先生的数理统计研究荣获教育部二等奖.1942年6月3日，当时的新中国数学会举行茶会，庆祝西南联大理学院教授华罗庚、许宝騄荣获自然科学类学术奖金.

老舍1941年来昆明时曾见到许先生，并给他留下了深刻印象，说他“年轻，瘦瘦的，绝顶聪明.”[18]徐利治先生回忆起1941—1945年在西南联大数学系学习的岁月，恰逢“数学三杰”在此工作，名师们对其数学治学经验产生了重要影响，徐先生总结为六点：“一是培养兴趣，二是追求简易，三是重视直观，四是学会抽象，五是不怕计算，六是喜爱文学.”[10]这些经验，正是西南联大数学名师留给后辈的宝贵财富.

4 结语

许宝騄一生心系教学与科研，严谨治学，诲人不倦，在艰苦条件下仍能坚持不懈地追求科学，为中华民族人才的培养做出了卓越贡献.许先生的数学贡献属于世界级的，为表彰许先生为数学发展做出的卓越贡献，1984年以他的名字设立了统计数学奖(注：该奖于1984年由国内外学者钟开莱、郑清水、徐利治发起，鼓励不超过35岁的青年数学工作者，为推进统计数学的发展做出了贡献.作为Neyman最杰出的一位中国学生，许先生得

到其高度赞赏，在Neyman眼中，“许先生和Wald是在同一个水平上——他们是新成长一代中两位卓越的数理统计学家.”[1]许先生为人谦和，谈吐高雅，淡泊名利，敬业教书，对学术高标准、严要求的科研精神感染了一代学子.他十分关心数学的普及工作，《数学通报》中的一些题目常引起他很大的兴趣.许先生终生未娶，把一生全部献给祖国的科研和教育事业，为祖国的科学发展奋斗到生命最后一息.这种献身祖国、献身科学的精神值得后辈学者永远学习.2019年恰逢西南联大在昆明建校81周年，仅以此文表示对他的深切缅怀.