对教材中点到直线的距离公式推导的建议

甘肃省兰州市第十八中学 王立森

对高中数学中“点到直线的距离公式”的引入推导.人教版高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）第一章第1.10节中，用平面几何和三角函数的知识推导出了点到直线的距离公式.这是一种“不经分析”而又难以想到的推导方法，其推导过程实际是很繁杂的.全日制普通高级中学教科书（必修）课本《数学》第二册（上）§7.3节和现行普通高中课程标准试验教科书《数学》（必修2）§3.3.3中都用平面几何的知识（即作出三角形用等面积法）推导出了点到直线的距离公式，大家很容易想到这种方法，但推导过程也比较复杂.

这两种方法的具体过程大家看看课本就知道，笔者想每个任课教师在教学中都深有感触，特别是第二种新修订的现行教材中的方法与新教材改革的发展方向对照并没有多大改观和新颖之处，有必要重新修订.点到直线的距离公式在高中数学中是很重要的知识点，而在多年的教学中笔者感觉到学生只知道使用而不会推导、证明，有些学生甚至看不懂教材推理，因而对它的使用也很淡化.

笔者认为，平面解析几何的性质是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，而用代数方法研究几何问题，运算量大是平面解析几何的最大难点，教师讲解困难、学生理解也困难.若用向量来推导点到直线的距离公式，则可以减少这种繁杂的代数运算，使学生容易理解和掌握，同时也符合现行教材改革的发展趋势.下面谈谈自己的看法：

一、建议将教材§7.3节后的阅读材料《向量与直线》变为教学内容

全日制普通高级中学教科书（必修）课本知识结构的衔接、编排相对比较合理，而现行普通高中课程标准试验教科书的知识结构的衔接、编排不够好.若系统调整教材知识结构，特别在向量的概念和应用上统一编写一章，增加“直线的法向量”和“平面的法向量”的概念，可以解决平面几何、空间立体几何和平面解析几何中的许多疑难问题.例如：将全日制普通高级中学教科书（必修）课本《数学》第二册（上）§7.3节教材后的阅读材料《向量与直线》加以编辑，突出直线“法向量”和直线的“点法式方程”作为正式教学内容放到教材§7.2节后，这样变更的目的使学生明确直线的“法向量”是决定直线的一个重要因素，通过推理直线的“点法式方程”使学生懂得，可以从直线l的方程Ax+By+C=0中直接观察得到向量n=（A，B）为直线l的一个法向量，为推理点到直线的距离公式奠定基础.

二、直线法向量的概念和直线的点法式方程

若向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.

图1

如图1，设直线l的法向量为n=（A，B）且经过点P0（x0，y0），则点P（x，y）在直线l上的充要条件是则有，因为，于是，直线l的点法式方程为A（x-x0）+B（y-y0）=0，即Ax+By-（Ax0+By0）=0，由此我们可以看出以直线一般式方程中的x、y项的系数为坐标的向量n=（A，B）是直线l的一个法向量.

三、用直线的法向量推理点到直线的距离公式

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0，y0），已知直线l的方程是Ax+By+C=0，如何用直线的法向量推理点到直线的距离公式呢？

图2

已知直线l的法向量为n=（A，B），如图2，在直线l上任意取一点M（x′，y′），则向量的坐标为（x0-x′，y0-y′）.因为点P到直线l的距离d为向量在直线l的法向量n上的投影，设向量与n的夹角为，那么有：

因为点M（x′，y′）在直线Ax+By+C=0上，则Ax′+By′+C=0，C=-（Ax′+By′），那么

如果A=0或者B=0时，上述公式仍然适用，于是得到点到直线的距离公式：

这个推导过程与教材的推导相比容易多了，思维方法简单、易懂，注重了向量的学习和应用，经过几届学生的教学实践，效果很好，同时激发了同学们的学习兴趣.因此，建议新课程教材改革能按这个推导过程改编.W