基于经验，注重活动，挖掘本质，落实素养*——以“函数模型及其应用”为例

南京航空航天大学附属高级中学 吴 茹

南京航空航天大学附属高级中学 孔德鹏

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：在学习和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学核心素养.数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力，以及情感态度与价值观的综合体现.对于高中数学核心素养，很多一线老师已经从单纯的理论学习阶段上升到探索实践阶段，大家都在思考采取哪些有效的措施来提升学生的数学核心素养.数学问题的解决是中学数学中极为重要的一个环节，其中数学问题既有纯数学问题，又有与数学有关的实际问题，后者涉及一种重要的数学素养——数学建模.如何把实际问题转化为一个数学问题，这是一种必要的数学素养.本文以“函数模型及其应用”为例，探讨基于数学核心素养的主题教学整体设计问题.

二、基于数学核心素养下的教学设计

（一）教材要素分析

1.对教学内容的基本认识

函数模型及其应用是新课程标准必修课程系列主题二函数应用的内容，它是在学生学习了指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型的基础上，进一步从实际问题抽象出来，利用已经学过的函数模型来解决实际应用题.同时，让学生深入感受到函数是刻画现实世界中自然规律的重要模型，进一步帮助学生加深对函数模型的理解与认识，循序渐进、不断深入，为后面研究其他数学模型的应用打下基础.

函数模型及其应用是数学应用于生活的重要体现，其思想价值在于用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界.在解决问题的同时提升学生的数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析等数学核心素养.函数模型及其应用是提升学生数学核心素养的上好素材，所以设计好、上好这部分内容有重要的理论与实践价值.

2.学情分析

学生在高中以前积累了较丰富的解决应用题的经验，特别是利用一次函数、二次函数等解决实际问题.在高中预备知识与函数主题的学习中，学生积累了丰富的基本活动经验，对如何研究函数及研究函数的哪些性质有了进一步的体会，这些为本节课继续研究函数模型的应用做了铺垫.

3.教学重难点分析

函数模型及其应用是高中课程中数学建模的第一课，为后续的学习起到了坚实的基础地位作用.数学抽象建立函数模型既是本节课的重点也是本节课的难点.

（二）编制教学目标设计

（1）经过探究余额宝年收益问题，让学生经历用数学解决实际问题的全过程，深化理解应用题的解题过程与方法，提升学生数学抽象、数学建模素养；

（2）通过利用函数构建模型，解决大量的实际生活问题，提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生体会用数学的眼光看现实世界，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.

三、课堂实录

（一）问题情境，引入课题

师：听说余额宝的年化收益率高达4%（已取近似值），而且也相对安全.某人有一万元存入余额宝中涨利息，多少年之后此人的钱能够翻一番？大家试试看.

生1：设总钱数为y万元，年数为x年，它们的关系是y=1.04x，x∈N*.令1.04x=2，解得所以需要18年，才能使钱翻一番.

师：其实这种题型就是我们之前学过的哪种题型？

生2：应用题.

师：这道题通过我们刚刚学过的指数函数就可以解决，进而帮助我们解决实际问题，这是今天我们要一起研究的《函数模型及其应用》.（板书）

设计意图：通过学生熟悉的实际生活中的问题，提高学生深入了解的欲望，激发学生的求知欲，从而发展学生的思维能力.把学生的认知水平提升到另一个更高的水平，让学生真正做到学以致用，提升学生的数学建模等核心素养.

（二）层层推进，深入探究

师：谈到函数模型，我们以前学过哪些函数模型？

生3：一次函数、二次函数、反比例函数，还有我们刚刚学过的分段函数、指数函数、对数函数与幂函数.

师：建立函数模型对于我们刚刚解决的数学问题至关重要，它也是解决应用题特别有难度的一个环节，那么我们首先就来攻克这个难点.大家请看例1（选自高中数学教学参考书（数学必修1）（2017年版）第98页例1）.

师：谁来说说答案？

生4：解：由题意可知：

师：请一位学生点评生4的解答.

生5：他注意到自变量的实际意义，也看到单位的不同，最终统一单位.

师：以后我们在做应用题时，一定注意：自变量要有实际意义及单位要统一.（板书）

师：我们已经初步解决建立函数模型这一难点，那么接下来，我们尝试利用函数模型来解决一些实际问题，大家请看例2（选自高中数学教学参考书（数学必修1）（2017年版）第100页练习2）.

（学生上黑板板演）

师：生6已经写完，我们一起来看看.如果这道题目一共10分，你会给他几分？

生7：给3分.没有写“解”扣1分；s1、s2和t没有给出定义扣1分；在分段函数中，s2是有问题的，定义域为［0，16］，生6缺了［0，3］和［13，16］这两段，扣5分；

师：严谨是数学学习的必要条件，以后我们不仅要好好审题，细节同样要注意.现在我们一起把它补充完整.（将答案补全）

设计意图：通过几个具体的实际生活问题，进一步加深学生对数学建模的理解.例1是让学生将实际问题进行数学抽象，利用函数关系来表达生活中的变量依存关系，提升学生数据分析核心素养.例2是一道行程问题，画线段图能有效帮助学生审清题意，同时自变量选择的是慢车行驶时间，所以快车关于时间的表达式中的［13，16］这一段容易被学生忽略掉，这需要学生认真审题，仔细分析数据，在这个过程中，可以进一步提升学生直观想象及逻辑推理等核心素养.

（三）总结归纳，建构概念

师：刚刚我们一起解决了两道实际应用题，你是否能总结一下做应用题的一般流程？小组讨论.

生8：先读题，再建立函数关系，解一下，写上答案.

师：总结到位，先审题，再建模，接下来解模，最后得到结论.

强调：（1）审题是前提；

（2）建模是关键，我们学过的数学模型有：方程、不等式、函数等.

设计意图：通过前面几个具体实例，让学生总结出数学应用题的一般解题思路，完善数学知识框架，提高数学核心素养的起点.在整个教学过程中，设计出合理的问题串，让学生经历问题解决的过程，提升学生的数学探究能力.

（四）及时练习，巩固提高

练习.（选自高中数学教学参考书（数学必修1）（2017年版）第100页练习题第1题和第3题）

设计意图：通过进一步动手操作，体会数学模型应用的广泛性，从而更加深刻地理解函数模型及其应用，提高学生解决实际问题的能力，进一步提升学生数学建模、逻辑推理等数学核心素养.

（五）课堂小结，深化延伸

师：通过几个实际问题的研究，我们发现通常按实际问题→建立数学模型→得到数学结果→解决实际问题的程序解决实际问题，其中建立数学模型是关键.

设计意图：笔者通过对本节课的总结，让学生不仅从知识层面上进行总结，还对获取知识的过程进一步回顾与反思，使学生的思维能力得以提升.

四、两点思考

本节课通过几个具体实例的研究，使数学素养融入教学内容和教学过程，使数学建模、数学抽象等核心素养真正成为可以落实的教学目标.关于以发展学生数学学科核心素养为导向的数学教学，笔者有以下两点思考.

（一）加强用数学语言表达世界，提升学生数学建模素养

数学建模是数学学科核心素养之一，是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教师用好教材不等于教教材，要学会整合.对于新课尤其是抽象应用拓展类的课堂，要根据情况创设合适的情境，将数学问题融入一个学生感兴趣或比较熟悉的场景中，然后发展学生的数学建模核心素养.在本案例的问题情境环节中，通过创设余额宝收益的情境，激发学生求知欲，启发学生思考，引导学生探究问题的数学本质.在整个高中的数学课程中，通过大量的实际问题，建立一些基本数学模型，包括线性模型、二次曲线模型、指数函数模型、三角函数模型、参变数模型等.通过建立数学模型解决实际生活问题，让学生有意识地用数学语言表达现实世界，让学生感受“数学来源于生活，应用于生活”，学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界.培养学生学习数学的兴趣，提升学生的实践与创新能力.

（二）启发引导，提高学生主动提出问题能力

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）.本节课从学生主动提出问题方面，笔者认为是比较成功的.在“创设情境，引入课题”环节，笔者让学生帮助解决存款问题的整个过程，都由学生自己完成.学生在不断提出问题、解决问题的过程中将问题解决.其实，这也是波利亚解题四步骤的体现与诠释.在一定意义下，提出问题比解决问题更重要，提出问题的前提往往是用数学的眼光观察事物.数学教学不仅要关注问题的分析、解决，更要关注问题的源头，即关注问题的发现和提出.要解决一个自己不会做的问题，或者比较陌生的问题时，实际上处于“老虎吃天从何下口”的困难境地.要解决面前的问题，首先要主动提出问题，弄清条件是什么，问题是什么，厘清问题后，利用相关的知识和方法，将已知与所求建立联系，分析并解决问题.培养学生提出问题的能力是一个长期的、循序渐进的过程，鼓励学生提出问题、分析问题和解决问题.长此以往，学生就会养成提出问题、思考问题的习惯，从而激发学生主动学习的自觉性.

高中数学课堂不能局限于一两道数学问题的解答，而要深入挖掘数学问题的育人价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的意识.在教学实践中，我们要不断探索和创新教学方式，引导学生会学数学、热爱数学，促进学生实践能力和创新意识的发展，感悟数学的科学价值与应用价值.