最值问题求解五法

甘肃省高台县第一中学 徐德军

最值问题，历来是教学中的重点，也是学生学习的难点，这类问题灵活多变，综合性极强.求解这类问题必须讲究方法与策略，否则往往会感到无从下手.因此，在教学中，教师应“授之以渔”，教会学生最值问题必须掌握的基本方法.结合教学实践，笔者归纳了最值问题求解的五个方法，以供参考.

一、判别式法

对于函数y=f（x），利用函数与方程思想将其变形为a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，把方程中的y看作参数，当a（y）≠0时，这个方程必有实数解，于是它的判别式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，由此，可求出y的取值范围，即原函数的值域.

例1 实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设s=x2+y2，则的值为______.

又x2+y2=s，所以x2，y2是方程的两个实根.

点评：判别式法是方程思想在最值问题中的应用，利用这种方法解题的关键是构造关于某个变量的二次方程.本题从韦达定理的逆向运用出发，构造了一个以t为主元，s为参数的二次方程，从而通过判别式大于等于零求得参数的最值，体现了数学思维的创新性.

二、函数的单调性法

利用函数的单调性，往往可以求出较为复杂的函数的值域.在某个区间上，如果可以判断函数单调，那么它的值域就是由两个端点处的函数值构成的区间，如果在某个区间上不单调，我们可以借助导数，先确定它的单调区间，再求每一个单调区间上函数的最值，通过最值大小的比较来确定函数在这个区间上的值域.

点评：利用函数的单调性研究函数最值的关键是确定函数的单调性，通常有两种方法，一是直接利用单调性定义，通过作差法判断；二是利用导数来确定函数的单调性，这个方法几乎适用于任何函数，但求解过程比较冗长.

三、基本不等式法

如果a1，a2是两个正数，那么必有当且仅当a1=a2时，等号才成立，这就是基本不等式.基本不等式虽然是求最值的有力工具，但必须满足三个必要条件，这三个条件就是“一正、二定、三等”，它们缺一不可.“正”是指各项均为正数，这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件.

例3 若n∈N，a，b∈R+，且满足a+b=2，那么的最小值是______.

当且仅当a=b=1时，上式才能取到等号.

点评：利用基本不等式求最值时，一定要注意等号能否取到，这一点往往被忽视.如果等号取不到，就应回到第二种方法，即研究函数的单调性，利用函数的单调性研究函数最值.

四、换元法

换元法，是数学解题最常见的方法之一，此法也可用在函数的值域问题中.对于某些函数式，我们可以把某一个部分看成一个整体，再用新元来替换，这样可以起到化繁为简、化生疏为熟悉的目的.最常见的换元方法有两种，即三角代换和代数代换，无论哪种换元，都体现了数学解题中的化归思想.

（2）实数x，y适合条件1≤x2+y2≤2，则函数s=2x2+3xy+2y2的值域是______.

（2）由已知可设，x=kcosθ，y=ksinθ，其中1≤k≤，则s=2x2+3xy+2y2=2k2cos2θ+3k2sinθcosθ+2k2sin2θ=2k2+k2sin2θ.

点评：换元的目的是为了利用熟悉的方法求最值.本例第（1）题的换元是为了利用基本不等式求最值，而本例第（2）题的换元是将问题转化为三角函数的最值问题.利用换元法求最值一定要对解题过程具有预见性，即需明确解题目标，否则，换元就会失去作用.

五、几何法

函数的表达式一般产生于实际问题，有时也产生于几何图形.对于某些二元函数，如果我们能挖掘它的几何意义，那么利用图形就能直观地找到解题思路.

图1

当P（x，y）在x2+y2=1（y≥0）上移动时，求A（-2，-1）与P（x，y）两点连线AP的斜率的最值（如图1）.从图中不难发现，当P与B（1，0）两点重合时，直线AP的斜率的值最小，这时kAB=当直线AP与x2+y2=1（y≥0）相切时，直线AP的斜率的值最大.

设kAP=k，则直线AP的方程为y+1=k（x+2）.

因为直线AP与上半个单位圆x2+y2=1（y≥0）相切，所以dOP=，解得k=0（舍去）或

点评：本题代数式的形式具有斜率公式的特征，于是将其转化为解析几何中的直线与圆的位置关系问题.以数思形，这种解法体现了数形结合思想在最值问题中的灵活应用.

所谓方法，其实就是前人解题经验的总结.在教学中，教师应该起到承前启后的作用，不仅要将最值问题的经典方法传授于学生，同时也要引导学生发现新的方法，只有这样才能后浪推前浪，青出于蓝而胜于蓝.W