大数据平台下多题归一思想的高三数学微专题复习*——试卷讲评课《圆锥曲线的离心率问题》教学设计

广西柳州市第二中学 简 璐

一、选题背景

2018年8月以来，我校高三年级数学组开始使用江西南昌教育风向标公司推出的知心慧学提分宝（以下简称“提分宝”）.在最初的使用阶段，学生每周进行一次周测，在大数据技术的支撑下提分宝针对每个学生的错题推送两个变式题，皆符合学生当前的能力层级，科学地实现分层，效果良好.使用中后期，也伴随高考备考复习进入二轮复习阶段，笔者在专题复习与精准教学的结合方面做了一些尝试，即笔者依据大数据平台的数据分析研究设计试卷讲评课，将微专题复习与试卷讲评有机结合.既明确试卷讲评课的任务，又优化微专题复习的效果；既留出足够的认知空间给学生“悟”，又体现了教师的主导作用；既在课堂上实现“一题多解”，又做到“多题归一”.笔者认为“试卷讲评+微专题复习”的模式符合高三二轮复习阶段的迫切需求，一方面，解决了学生普遍存在的问题，针对性强；另一方面，教师通过微专题复习，突出了教学的重难点，将教师对于考纲、考点、考题的研究转化为具体的试题，可操作性强；再通过多种解法的呈现，让学生通过对比、转化、归纳等方法领悟学科知识的本质，从而在今后遇到此类问题时，思维清晰，逻辑严密，提高答题正确率.

二、课前准备

上课前一天，学生自主用40分钟做了一份微专题作业：圆锥曲线的离心率问题专题小测.题量是6个选择题+4个填空题；分值为100分，每题10分；内容是椭圆与双曲线的离心率问题，考查两曲线的定义、几何性质、数形结合的思想、方程的思想、函数与不等式结合解决范围问题.教师全批全改.大数据平台提供的数据分析如下：（1）班级学生人数：55人，成绩是3个满分，5个90分；（2）具体列出大幅进步、大幅退步的5位学生；（3）各题错误率；（4）知识点掌握情况的列表.教师通过大数据分析，发现椭圆和双曲线的定义和几何性质掌握得较好；但问题涉及比较复杂的几何图形关系、多条曲线的关联等，正确率下降（这是本节试卷讲评课主要突破的内容）；数量关系涉及不等式关系或函数最值问题时，正确率最低，不作为当前的教学重点.

为提高试卷讲评课的课堂效率，突破重难点，制作了导学案.在PPT中预先展示了许多学生试卷上的答题过程，以备课堂讨论之用.

下面以试卷讲评课“圆锥曲线的离心率问题”的教学设计为例，探讨大数据平台下多题归一思想的高三微专题复习.

三、教学设计

（一）内容解读

《圆锥曲线的离心率问题》隶属高中数学八大板块中的“平面解析几何”板块，该板块学习了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线五种曲线，分别从曲线的定义、标准方程、曲线的几何性质方面系统研究，板块内的知识融合体现在：①直线与圆，直线与圆锥曲线的位置关系；②除直线外的两种曲线相交、相切的问题；③在复杂的曲线位置关系中特殊几何性质的考查.例如：渐近线、离心率.该板块是高中数学的集大成者，包含了数形结合、函数与方程、分类讨论、转化与化归四大数学思想，融通了函数、三角、向量、平面几何、平面解析几何的相关内容，试题具有很高的逻辑性、综合性、创新性.《圆锥曲线的离心率问题》是其中的一个核心考点，它有利于培养学生的直观想象、逻辑推理、数学运算素养，多出现在小题，具有基础性好、灵活性强、思维发散性广的特点.伴随高考改革，这部分试题的难度近年来有所下降，成为学生取得理想成绩的必备复习内容.

（二）教学目标

1.知识与技能

了解离心率（椭圆、双曲线）问题的基本解法是找到椭圆、双曲线标准方程中a，b，c的等量关系或不等关系，并联合a，b，c自身的勾股性质，得到a，b，c三个元中两个元的齐次式（或齐次不等式），从而得到离心率e的方程（或不等式）.

2.过程与方法

（1）通过直观想象，利用三角形中的边角关系、平面几何相关的性质定理等，在寻求等量关系时可以减少计算量，体现高考“多一点想，少一点算”的考查原则.

（2）通过一题多解，体会代数法、几何法的特点和优势，领悟通性通法在解题中的重要作用.

（3）通过多题归一，归纳总结此类问题的解题流程，体会高三微专题复习的要领和学习方法，落实数学素养的培养过程.

3.情感态度与价值观

通过学生与学生的交流、多种方法思维的碰撞、教师的适度引导，认识圆锥曲线离心率问题的本质，培养高层次数学思维，通过转化与化归，领悟各变量间的相互关系，抓住解决问题的本质，实现多题归一.

（三）教学重点和难点

重点：用通性通法（方程思想、数形结合思想）求解椭圆或双曲线的离心率，在问题有多种解决方案时，选择简便的途径，并且归纳出此类问题的解题流程.

难点：求解椭圆或双曲线的离心率的范围、最值问题.

（四）教学过程设计

1.考试情况反馈

通过大数据统计，展示几组数据：

（1）表扬班级的前5名，大幅进步的5名同学.

（2）各题错误率（表1），根据“最近发展区”原理（错误率40%～70%），确定试卷讲评课讲3个题，即第3，5，6题.

（3）展示知识点掌握情况，分析发现：当离心率问题涉及比较复杂的几何图形关系或多条曲线关联时，问题解决的错误率升高了.因此，明确本节课的主要任务.

（4）展示两份优秀试卷.优秀的依据是正确率高，规范，试卷上有解题的思路和部分过程，易于纠错.

2.综述知识与例题探究

问题1：通过课前专题小测，你能体会老师编写微专题的意图吗？

设计意图：高三数学微专题复习发生在一轮各章节知识点系统复习之后，其目的是针对学生目前存在的主要错误，纠正认知偏差，夯实基础，明晰概念本质，强化通性通法.因此，首先引导学生总结现有知识网络，即学生须明白，哪些内容是已经掌握的.

课堂反馈：学生体会解决圆锥曲线的离心率问题，方程思想很重要.由圆锥曲线的定义和几何性质等，得到关于a，c的关系，从而得到e的方程或不等式，求解e的值或范围.显然，基本数学思想和通性通法已经明确.

问题2：（前测3）F1，F2是双曲线0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）.

设计意图：当问题涉及的“量”增加时，学生将面临三个困难：①正确画图，将数学语言转化为图形语言，准确地翻译题目；②在众多变量的相互关系中寻求稳定不变的关系；③将关系用尽量少的变量来表示.这三个困难只要有一个环节出错，都将导致解题错误.试题很好地体现了直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查，同时也体现了数形结合、转化与化归数学思想的应用.这也是学生差异产生的源头所在.

课堂反馈：

（1）前测3学生A讲解他的解答过程（在电子白板展示其试卷）

解：依题意设｜BF2｜=m，则｜AB｜=m，｜AF1｜=｜BF1｜-｜AB｜=m+2a-m=2a，知｜AF1｜=2a，则｜AF2｜=4a，｜F1F2｜=2c.所 以所以

故选项C正确.

（2）前测5学生B讲解他的解答过程（在电子白板展示其试卷）

解：依题意，由｜OE｜=2｜ON｜，可设N（0，1），E（0，-2），所以由A（-a，0）的方程为由B（a，0），N（0，1）的方程为两直线交于点M，得x=-3a.因为点M在直线PF上，所以-3a=-c⇒e=3.

前测5学生C讲解他的解答过程（在电子白板展示其试卷）

故选项A正确.

课堂评价：三个同学的共同优点是图形美观，解题步骤简洁清楚，数学表述重点突出、逻辑性强.解题中灵活应用了定值模型、三角形的余弦定理、直线的方程、平面几何的相似关系，体现了综合应用知识的能力.学生A运用双曲线的定义巧妙选择变量；学生B运用特殊值，结合曲线的方程（解析几何通法），用代数方法解决几何问题；学生C运用直观想象发现相似的特性，用比值解决问题，计算量大大减少.

3.梳理总结

笔者请同学们由本节课的几个题总结出关于圆锥曲线的离心率问题的解题流程.学生能画出简单的思维导图，解题流程如下：

审题，作图，直观想象→有无常见的背景或模型→寻找几何特征与性质，实现转化→设点设线，用解析法解决问题.

从数学素养养成的角度，上述流程分别对应着：直观想象，数学建模，逻辑推理，数学运算.

四、教学反思

（一）多题归一思想的微专题复习创造试卷讲评课的高效模式

高三复习备考阶段，学生和教师都要面临大量的题目，有许多同类型的题.有知识点不同，但思想方法一样的题；有所属知识板块不同，但考查的核心素养一致的题……为了提高学生的复习效果，增强复习的信心，教师一头扎进题海，摸索一番之后，多题归一思想的微专题复习最终将许多的题揉成一条线，线头一触动，一串题全解决，而线头就是学科知识的本质.它造就了大数据平台下的新型试卷讲评课，笔者将它命名为“微专题复习+试卷讲评模式”.

这样的试卷讲评课避免了就题讲题，目标不清晰，任务不明确，重复低效的状况，同时在大数据平台数据分析的引导下，它是高效、针对性强、目标清晰的一堂课，学生通过“课前、课中、课后”的一条龙引领启发，优化复习方法，感悟学科精髓，最终学会学习，学会借数学思想解决问题，学会用数学的眼光看待世界.

（二）多题归一思想的微专题复习创造学生大放光彩的课堂

学生是学习的主体，学生的“悟”是学习的最高境界.试卷讲评课的前提是学生对大部分题目都有自己的解法，而数学题大多可以一题多解，特别是到了二轮复习阶段更是如此，所以讲评课堂留出大块的时间让学生讲、讨论、表述、反复推演、梳理、总结.这样的课堂极大地培养了学生的自信心、思辨能力、表达能力.许多学生为了能在课上说自己的解题方法，课下加倍做功课，例如：反复推理解题的严谨性；慎重思考运算的合理性；积极寻求其他方法的巧妙性，这难道不是学好数学的催化剂吗？更进一步，学生还学会自己总结一些小专题，与同学老师分享.多题归一思想的微专题复习教会学生寻找规律，寻同，求异，学会变通转化，既开拓思路又汇聚要领.它是学生数学核心素养培育的肥沃土壤.

当然，这样的课堂对教师的要求很高.看似一堂课，考验十年功.教师的课前选题，课堂拓展，课后强化要做到“高效+精准+全面”，需要教师学上一桶，方能舀出一勺.

（三）大数据精准教学系统实现学生的个性化学习，关注每一个学生

考试后，大数据平台给学生推送“提分宝”试题.教学中，笔者给学生留出专门的时间完成，并经常检查，开展个别辅导.一定不要让针对性很强的作业被其他形式的作业掩盖，导致不理解的知识点还是吃不透，某一些计算还是同样出错，思维需要完备的环节始终不完整……这些都是导致丢分的直接原因.大数据平台对学生所处层级科学定位，准确推题，教师引领，真正改变当前落后的教育状况：学生毫无选择，身心疲惫，进展缓慢；老师疲于奔命，抱怨生源下降，教多少遍都会不了.当然，数学题的知识点多，结合点多，方法灵活多变，所以学生应该对学习中的困难有充分的准备，踏实学习；教师应该以教研引领研究考纲考题，更新观念学习新技术，立足知识本源，揭示学科本质，在新兴科技创造无限可能性的今天，让学习事半功倍，关注学生的持续发展.