非恰当微分方程的解法

郑治波 赵文燕

【摘要】本文查阅文献资料，系统归纳和总结求非恰当微分方程积分因子的方法，同时应用具体实例分析非恰当微分方程的解题方法与思路，为今后的教学加深对微分方程积分因子的理解。

【关键词】非恰当微分方程  积分因子  解法

【基金项目】云南省地方本科高校基础研究联合专项青年项目（项目编号：2017FH001-106）;保山学院2018年校级科研项目（项目编号：BYZX201811）;保山学院首批校级应用型人才培养示范院校建设项目（项目编号：ZHP201810）。

【中图分类号】O175 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）48-0244-02

引言

常微分方程是现代数学的一个重要分支，也是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法[1]。因此，对微分方程相关理论的研究尤为重要，故本文查阅相关文献资料，系统的归纳和总结求非恰当微分方程积分因子的方法。

1.恰当微分方程与积分因子

定义1[1]  一阶方程

M（x，y）dx+N（x，y）dy=0                          （1-1）

其中，M（x，y），N（x，y）在某矩形区域内关于x，y的连续函数且有连续的一阶偏导数。

若方程（1-1）的左端恰好是某个二元函数u（x，y）的全微分，即

M（x，y）dx+N（x，y）dy=du（x，y）                      （1-2）

則称（1-1）为恰当微分方程（全微分方程）。方程（1-1）的通解为u（x，y）=c，其中c是任意常数。

若存在连续可微的函数？滋=？滋（x，y）≠0，使得

？滋（x，y）M（x，y）dx+？滋（x，y）N（x，y）dy=0            （1-3）

为一恰当微分方程，即存在函数？自，使？滋Mdx+？滋Ndy=d？自，则称？滋（x，y）为方程（1-1）的积分因子。

定理1[1] 设函数M（x，y）dx和N（x，y）dy在一个矩形区域R中连续且有连续的一阶偏导数，则称（1-1）为恰当微分方程的充要条件是

由（1-3）可知，求解非恰当方程的关键是寻找合适的积分因子将其转化为恰当微分方程。

2.求非恰当微分方程的积分因子

（1）观察法

ydx+xdy=d（xy）

观察法是对非恰当微分方程做适当的变形，利用熟悉的二元函数的全微分公式（2-1）求非恰当微分方程的积分因子。

（2）公式法

定理2[1] 设M=M（x，y），N=N（x，y）和？渍=？渍（x，y）在某区域内都是连续可微的，则方程（1-1）有形如？滋=？滋（？渍（x，y））的积分因子的充要条件是：函数

是？渍（x，y）的函数，若设（2-2）仅是？渍（x，y）的函数为f=f（？渍（x，y）），有G（u）u）du，则函数？滋=eG（？渍（x，y））就是方程（1-1）的积分因子。

证明  因为如果方程（1-1）有积分因子？滋=？滋（？渍），则由（1-4）得

即

-3x2y+x）dx+（x2y-x3）dy=0，从而可得到隐

u≡x4：把原方程改写为如下两组和的形式：

（y2dx+xydx）+（2x2ydx+x3dy）=0

？滋=x3y2

从而求得其通解为：

4.结论

寻找非恰当微分方程的积分因子尤为重要，本文查阅文献资料，系统归纳和总结了利用观察法、公式法和分组组合法求非恰当微分方程的积分因子，同时应用具体实例分析非恰当微分方程的解题思路。

参考文献：

[1]王高雄，朱思铭，周之铭，王寿松.常微分方程第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者简介：

郑治波（1985-），女，云南腾冲人，保山学院数学学院讲师，硕士，研究方向：应用数学。