高考题怎样改编（三）——导数篇

苏 玖

一、真题展现

（2019全国Ⅰ卷理科第13题）曲线y=3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为________.

二、思维延伸

本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，切点处的导数值为切线的斜率，能求吗？

改编1 已知曲线y=（x2+ax+1）ex在点（0，f（0））处的切线y=kx+b过点（1，-1），则a+b的值为_______.

本题利用待定系数法求解a，b，k的值，但也有仅仅找出制约关系.如果曲线上两点处的两条切线存在某种位置关系的条件，也可以改编为取值范围问题.

改编2 已知a，b为常数，若函数f（x）=asinx+bcosx的图象上存在两点A，B，使得在A，B两点处的切线互相垂直，求a+b的取值范围.

本题关键就是通过两条切线互相垂直建立a2+b2=1，在此条件下研究含有a，b的函数式的取值范围或最值问题.当然也可以通过一条切线和一条法线与坐标轴相交产生新的目标函数，于是有：

改编3 已知函数f（x）=lnx的图象对应曲线C，过C上任意一点A作切线l，再过点A作与l垂直的直线m，设l，m与x轴的交点分别为M，N，求线段MN中点的横坐标的最大值.

本题通过切线与法线与x轴相交产生线段中点，又是利用导数求极值的方法研究中点横坐标的最小值，在求解过程中，要利用几何直观发现极值点.以上都是两条直线产生新的目标函数，但也可以由一条切线与两条直线相交，研究三角形的面积等.

改编4 已知函数f（x）=x+的图象为曲线C，在点T（x0，f（x0））处的切线l与y轴的交点为A，与直线y=x的交点为B，O为坐标原点，求△AOB的面积.

前面几道题都是过曲线上某一点处作切线，也可以过不是曲线上的点作切线.

改编5 已知函数f（x）= （x+1）ex的图象为曲线C，求过点（1，0）作曲线C的切线方程.

这道题就是通过切线过已知点，建立方程，求得两解，从而产生两条切线，有没有可能产生三条切线的呢？

改编6 已知b＞a＞0，函数f（x）=x3-3x对应曲线C，过点（a，b）作曲线C的切线l，试探求有三条切线的充要条件.

三、点拨解析

真题解析：因为y=3（x2+x）ex，所以y′=3ex（x2+3x+1），

因此，当x=0时，y′=3，于是y=3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k=3，所以，切线方程为y=3x.

改编1解析：因为f′（x）=（x2+（a+2）x+a+1）ex，f（0）=1，于是f′（0）=a+1，因此，切线方程为y-1=（a+1）x.又因为，切线过点（1，-1），于是，-1-1=a+1，即a=-3，即切线方程为y=-2x+1，因此，b=1，所以a+b=-2.

改编2解析：因此f（x）图象上任意一点的切线的斜率取值范围为.设A处的切线斜率为k1（k1≠0），因为两点处的切线互相垂直，因此，B处的切线斜率为于是有且所以,即a2+b2=1.利用基本不等式，得因此，所以，a+b的取值范围为

运算策略很多，如利用三角换元法求a+b的取值范围.设a=sinθ，则b=cosθ，于是，）因此，a+b的取值范围为还可以利用直线与圆的位置关系求解，设a+b=t，圆心O到直线a+b-t=0的距离为所以.当然还可以利用方程思想结合判别式求解等等.

改编3解析：设切点A（x0，lnx0），因此切线l的方程为y-lnx0，直线m的方程为y-lnx0=-x0（x-x0），令y=0，分别得xM=x0-设线段MN中点为T，即有令函数于是，），因此，当0＜x＜e，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞e，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以，当x=e时，g（x）有最大值故线段MN中点的横坐标的最大值为

改编4解析：因为于是，在T点处的切线方程为.令x=0，得；令y=x，得x=2x0，即因此，点B到y轴的距离为所以，

改编5解析：设切点为T（x0，y0），因为f′（x）=（x+2）ex，于是切线斜率为f′（x0）=因此切线方程为y-（x0+1）ex0=（x0+2）ex0（x-x0）.又因为，切线过点（1，0），因此有解之得，所以，切线方程为y=或

改编6解析：设切点为T（x0，x30-3x0），因为f′（x）=3x2-3，于是，在T点处的切线方程为y-x30+3x0=（3x20-3）（x-x0）.又因为过点（a，b），因此，2x30-3ax20+3a+b=0.因为切线有三条，于是切点有三个，即上述方程有三个解，令g（x）=2x3-3ax2+3a+b有三个不同零点.

g′（x）=6x2-6ax，令g′（x）=0，得x1=0，x2=a，列表讨论，g（x）的极大值为g（0），g（x）的极小值为g（a）.g（x）有三个零点的充要条件为g（0）＞0且g（a）＜0，即3a+b＞0且-a3+3a+b＜0，所以-3a＜b＜a3-3a，故充要条件为-3a＜b＜a3-3a.

本题是研究过某一点作函数图象的切线条数，问题转化为求新函数的零点个数，即利用导数求出极大值M和极小值m.三个零点的充要条件为M与m异号；两个零点的充要条件为M与m之积为零；一个零点的充要条件为M小于零或m大于零.

四、回顾悟道

本组高考改编题是从一道简单的求切线方程出发，进行不断的改编：

一是变更题干，在函数解析式和切线方程中设置参数，利用待定系数法求解；

二是变换函数图象上两条切线的位置关系，如平行、垂直、倾斜角互补等，寻找解析式中的参数等式关系，然后再变更待求目标，如二元函数式的取值范围、最值等问题；

三是要区分在曲线上某一点处的切线和过某一点的切线，探求过某一点作曲线的切线条数；

四是研究由曲线上切线所形成的相关图形的面积等最值问题，通过曲线上某一点处切线与法线（与切线垂直的直线）所产生新的问题.

五、小试牛刀

（2019年全国Ⅱ卷文科第10题）曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为（ ）

A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0

C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0

（改编1）_______

（改编2）______

（改编3）_________

（改编4）________

改编意图：可以改编函数的解析式，如正（或余）弦函数与x一次函数的线性组合、对数函数的复合形式、指数函数的复合形式等等，也可以由已知切线方程求解析式中的待定系数，还可以求两条曲线的公切线方程，还可以研究曲线的一条切线与过切点的法线与x（或y）轴交点的中点问题等等.

（改编1）曲线y=2cosx-x在点（0，2）处的切线方程为______.

（改编2）已知曲线y=aex-2xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=-x+b，则（ ）

A.a=e，b=-2 B.a=e，b=2 C.a=e-1，b=-2 D.a=e-1，b=2

（改编3）已知函数f（x）=ex的图象对应曲线C，过C上任意一点A作切线l，再过点A作与l垂直的直线m，设l，m与y轴的交点分别为M，N，求线段MN中点的纵坐标的最大值.

（改编4）求曲线C1：y=lnx和曲线C2：y=xlnx的公切线方程.

解析

原题解析：求出原函数的导函数，得到函数在x=π时的导数，再由直线方程点斜式得答案.

由y=2sinx+cosx，得y′=2cosx-sinx，因此y′|x=π=2cosπ-sinπ=-2，所以曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为y+1=-2（x-π），即2x+y-2π+1=0.

故选C.

改编1：由题意，可知：y′=-2sinx-1，因为y′|x=0=-2×0-1=-1.

曲线y=2cosx-x在点（0，2）处的切线方程：y-2=-x，

整理，得：x+y-2=0.故答案为：x+y-2=0.

改编2：y=aex-2xlnx的导数为y′=aex-2lnx-2，则在（1，ae）处的切线方程为y=（ae-2）x+2，由在点（1，ae）处的切线方程为y=-x+b，可得ae-2=-1，b=2，解得a=e-1.

故选D.

改编3：设A（x0，ex0），f′（x）=ex，于是切线l的方程为y=ex0x+ex0-ex0x0，直线m的方程为令x=0，依次得因此，线段MN的中点T的纵坐标为.令其导数为列表讨论知，当x=1时，h（x）有最大值为），所以，线段MN中点的纵坐标的最大值为

改编4：设C1上切点为A（x1，lnx1），C2上切点为B（x2，x2lnx2）.对于C1，因为因此在A点处的切线方程为对于C2，因为y′=1+lnx，因此在B点处的切线方程为lB：y=（1+lnx2）x-x2.两条曲线的公切线实质就是lA与lB重合，其充要条件为且lnx1-1=-x2，消去得，，即ex2-1-lnx2-1=0.令h（x）=ex-1-lnx-1（x＞0），则再令则，因此k（x）在 （0，+∞）上单调递增.由于k（1）=0，因此，当0＜x＜1时，k（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，k（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在 （1，+∞）上单调递增，所以，当x=1时，h（x）有最小值0，即y=h（x）有唯一零点x=1，即x2=1，所以，x1=1.故公切线方程为y=x-1.

解题回顾求曲线上某点处的切线方程，先求函数导数，利用某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后代入直线的点斜式方程，即可得到切线方程.