新手巧对分段函数

王筠

摘 要：函数贯穿整个高中数学，并在高考中占据重要地位，所以高一新生对于函数的掌握至关重要。而分段函数作为一类重要的函数，能有效的考察函数的概念以及性质，同时体现了分类讨论的数学思想。本文旨在整理分段函数中不同题型的解题方法，以期更好的提升学生的数学素养。

关键词：分段函数;求值;不等式;单调性;奇偶性

一、分段函数求值问题

解题方法：确定变量在哪个范围内，代入相应解析式求解。

例1 设函数        ，若f（f（a））=2，则a=

分析：已知函数值为2，所以先求出分段函数的值域，确定f（a）和a所在的范围。

当x≤0时，f（x）=（x+1）2+1在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增

二、分段函数中不等式的求解

解题方法：分段求解。注意在各段求解中求交集，最后求解集时求各段解集的并集。

例2 设函数      ，求满足

三、分段函数的单调性问题

解题方法：要确定分段函数的单调性，应首先确定每段函数的单调性，其次求解分段点处的函数值大小，最后确定分段函数再整个定义域上的单调性.

例3 设函数        ，若对任意x1、x2∈R，且x1≠x2，有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））<0成立，则实数a的值是（  ）

A. 2     B.    C.     D.1

分析：由（x1-x2）（f（x1）-f（x2））<0可以确定函数f（x）在定义域R上为减函数，∴f（x）在每一段上均为减函数，且在分段点处满足右侧图像在左侧图像的下方.

解：由题意 可得

四、分段函数的奇偶性问题

解题方法：先求分段函数的定义域，再分段判断.若每一段都满足f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数;若每一段都满足f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数.

例4.判断          的奇偶性.

解：當x>0时，-x<0，∴f（-x）=（-x）+1=f（x）

当x<0时，-x>0，∴f（-x）=-（-x）+1=x+1=f（x）

∴f（x）为偶函数.

分段函数中还有一些常见的题型，比如分段函数与函数的零点问题时巧妙的运用数形结合的方法来解决这类问题，“以形助数”，通过“数”与“形”的相互转化来解决问题。希望本文能给大家带来一点启示。