基于Gauss伪谱法的火箭空间投送轨道设计*

魏鹏涛，龙霞

(火箭军指挥学院，湖北 武汉 430012)

0 引言

在现代战争中，防御方为了提升战场生存能力，大量采用隐身技术、修筑坚固掩体，给进攻方进攻作战带来了巨大的挑战，成为摆在其面前的一道难题。如何有效破解这一难题，各国竞相展开了相关研究，这些研究大部分集中在武器装备、情报侦察、战术战法等方面，对目标的攻击方式还仅局限于传统的陆地、海上及空中，因而战时对坚固掩体目标实施有效摧毁的可能性较低。为了显著提高打击效能，充分发挥空间优势，本文提出利用火箭将打击载荷或二次平台投送到太空，从太空实施自上而下的搜索和追踪的攻击方式[1]。如何实现火箭的快速投送，投送轨道的优化设计异常重要。对于火箭投送轨道的优化设计，目前有多种方法，其中伪谱法是一种行之有效的方法，其主要原理是基于插值多项式对优化轨道进行直接配点，能用较少的节点来获得较高的精度[2-7]，因而该方法既降低了计算的复杂性，同时又保证了算法的实时性。相比于其他伪谱法，Gauss伪谱法计算效率更高、准确性更好、鲁棒性更优[8-10]。因此，本文选用Gauss伪谱法对火箭投送轨道进行优化设计，本文方法可为火箭空间快速投送方式实际运用提供借鉴和参考。

1 Gauss伪谱法轨道优化原理

对于火箭空间轨道快速投送优化问题，其实质是进行火箭投送的最优控制，因此可将该问题最终归结为最优控制问题。而对于最优控制问题而言，状态变量和控制变量是其基本的2个要素，Gauss伪谱法是将这2个要素在一系列高斯点上进行离散处理，并在这些离散点上通过构造Lagrange插值多项式来逼近状态变量和控制变量这2个要素，紧接着对插值多项式进行求导用来近似状态变量求导，从而用一组代数约束替代与轨迹相关的微分方程约束[11]。

(1) 最优控制问题

对于火箭快速投送轨道优化问题，可以采取多种处理方式，其中最有效的处理方式是将其描述为最优控制问题。要解决最优控制问题，则需要搜索获得最优控制变量u(t)(u(t)∈Rm)，其需要满足的性能指标可表述为

(1)

在式(1)中，对于状态变量x(t)(x(t)∈Rn)而言，t0为火箭投送初始时间，tf为火箭投送终端时间，状态变量x(t)需要满足以下动力学微分方程约束：

(2)

其中:状态变量x(t)的边界条件约束为

φ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0,

(3)

状态变量x(t)的路径条件约束为

C(x(t),u(t),t)≤0.

(4)

(2) 多阶段不连续最优控制问题

从以上的处理方式可以得出：对于火箭快速投送轨道而言，其上升段优化问题可归结为多阶段不连续最优控制问题。对于该问题，在具体处理时可将不同飞行段之间的断点设置为连接点，同时将火箭投送飞行的时间区间进行分段，然后分别对每一段进行不同配点，最后再结合相应约束条件进行处置。假设所设置的某一断点τ1(τ1∈[τ0,τ2])不连续，则可以表述为

(5)

τ1点的约束条件为

φx(x-(τ1),x+(τ1))≤0，

(6)

当τ1点的值不确定时，还需要补充以下约束条件

τ1-τ2≤0.

(7)

(3) 边界控制变量计算

Gauss伪谱法是在LG点上所进行的离散处理，但该处理方式并不包括边界点的值。因此，对于Gauss伪谱法而言，其不能求得优化问题起始边界处控制变量的值。但是在火箭快速投送轨道优化问题的求解中，边界控制变量却显得尤为重要。目前，对于边界控制变量值的求取，基本的方法是由配点处的值进行外推来得到，但该方法求解得出的值很可能不是最优解，从而导致最优控制问题不能得到最终解决。因此，为了解决这一问题，本文采用以下方法进行求解：

对于Hamilton函数

H=g+λTf-μTC.

(8)

依据极小值原理，可以让最优控制变量u*(u*∈U，U为控制变量的可行域)满足以下条件

H(x*,u*,λ*,μ*)≤H(x*,u,λ*,μ*).

(9)

假设x*(τ)，λ*(τ)和μ*已知时，μ*(τ)的求取可以归结为一个有约束的优化问题。此时，可以采用Hamilton函数的另外一种表达形式(不含路径约束)

(10)

对于式(10)的表述方式，可将路径约束最终纳入控制变量组成的集合,则

U0=U∩C0，

(11)

式中:U为τ0时刻控制变量u*的所有可行解;C0为τ0时刻满足路径约束的控制变量u*的集合。因此，u*(τ0)的求解便转换为对下述问题的求解

(12)

2 火箭投送轨道Gauss伪谱法优化模型

2.1 火箭投送轨道上升段动力学模型

本文研究的火箭为三级固体火箭，该火箭采用三级固体发动机和液体末助推的串联式结构布局，其整个飞行过程可分为：一级、二级、三级动力飞行段以及末助推段。为了简化对问题的描述，此处假设地球为圆球体，选择地心赤道坐标系作为参考坐标系，在该坐标系下建立火箭空间投送的动力学方程为[12-14]

(13)

式中:μ=GM为地球引力常量；T为投送火箭的发动机推力；Isp为投送火箭的发动机比冲；r(t)=(rx,ry,rz)T为投送火箭的位置矢量；v(t)=(vx,vy,vz)T为投送火箭的速度矢量；u=(ux,uy,uz)T为投送火箭发动机的推力方向；气动阻力D=(Dx,Dy,Dz)T可表述为

(14)

式中:CD为阻力系数;Arel为投送火箭的参考面积;ρ为大气密度;vrel为相对运动速度。其中ρ的计算式为

ρ=ρ0e-h/h0,

(15)

式中:ρ0=1.225 kg/m3；h0=7 110 m。

(16)

2.2 约束条件

对于边界约束条件。对火箭直接上升投送轨道而言，火箭的初始位置已知，只是发射时刻未定，因此将终端约束定为xf，yf，zf，当优化时间tf，获得时，则可确定发射时刻。

对于路径约束条件。其中，火箭飞行的高度约束为

|r|≥Re.

(17)

火箭推力方向约束为

|u|=1.

(18)

火箭动压约束为

(19)

火箭视加速度约束为

(20)

对于连接点约束条件。火箭投送轨道的4个飞行段通过3个连接点连接，这3个连接点处的约束为

(21)

2.3 目标函数

本文研究的固体火箭在飞行过程中，前三级发动机均采用耗尽关机工作模式。因此，火箭投送轨道优化问题的目标函数可选取为末段助推消耗液体推进剂质量最小，即末助推级工作结束后的火箭剩余质量最大，目标函数具体可以表述为

J=-m(4)(tf).

(22)

2.4 轨迹快速优化策略

应用Gauss伪谱法求解过程中，离散点的选取对设计变量的影响非常大，当离散点数量过多时，计算量将大大增加，而且Gauss伪谱法计算效率高的优点不能充分体现，甚至由于选择初值不恰当而使优化问题收敛到不可行解，这样最优化问题无法得到解决，火箭快速投送最优化轨道便陷入死结。为了解决这一问题，经过多次探索实践，最终形成了比较好的解决方案，在此本文提出策略为：首先构造设计变量的初值生成器，随后在各飞行段通过采用较少的节点来计算近似的最优轨迹和控制变量，再以此作为下一步利用较多节点进行计算的初值。此策略不仅可以较好解决初值选择不恰当而得不到可行解的问题，而且可以有效发挥Gauss伪谱法计算效率高的特点。

2.5 仿真优化与结果分析

假设本文采用的用于空间投送的火箭发动机参数如表1所示，其中，液体末助推级干重为200 kg，推进剂质量为250 kg，比冲为300 s，推力为2 000 N。该型火箭空间投送的有效载荷为400 kg，投送火箭整流罩的质量为200 kg。

表1 投送火箭发动机性能参数Table 1 Performance parameters of rocket engines

假设火箭初始位置为r0=(2 196 550.3，-4 773 009.7,3 615 829.6)m，火箭投送终点位置为rf=(3 058 828.4,-3 883 092.5,4 532 124.3)m。选择地心直角坐标系为参考坐标系，在地心直角坐标系下，火箭初始和终点位置均为该坐标系下的坐标。

本文优化选择的仿真条件为：CPU为920/2.67 GHz，内存为4 G，操作系统为Windows 7，编译环境为Matlab 7.1[15]。轨迹快速优化策略采用Gauss伪谱法初值生成器优化策略。在生成计算初值时，将火箭投送多个飞行段LG点的数量设定为5，在进行精确计算时，将火箭投送多个飞行段LG点的数量设定为15。

假定2019-06-01T19：46：40为火箭投送空间目标终点位置时刻。根据火箭投送轨道运行的星下点轨迹，可将投送火箭发射点的天文经度设定为106.394°，可将投送火箭的发射点天文纬度设定为37.715°。通过发射点的天文经纬度坐标以及目标投送点位置坐标，因而可求得发射点的瞄准方位角为169.081°。通过仿真计算，火箭投送全程的飞行时间为280 s，因此，投送火箭发射时刻应设定为2019-06-01T19：42：00。具体仿真结果如图1～5所示。

图1 推力方向变化曲线Fig.1 Thrust direction change curve

图2 质量变化曲线Fig.2 Mass change curve

将通过Gauss伪谱法进行仿真计算得到的最优轨迹数值与通过数值仿真计算得到的轨迹数值进行对比分析，可以得到上述2种方法对于投送终端位置的计算误差分别为：Δx=1.563 m，Δy=0.273 m,Δz=0.421 m。从2种方法的计算误差可以看出，采用Gauss伪谱法进行火箭投送轨道优化计算具有较高的求解精度。其中，从仿真图1可以看出，控制变量对于投送火箭推力方向变化比较平缓，此结果表明在火箭各级分离点处，各飞行段前一阶段末端控制变量与后一阶段初始控制量之间的误差很小，从而证明了采用的边界控制变量值这一计算方法计算精度比较高。从整个仿真来看，火箭投送轨道优化所用总时间为113.4 s，其中，初值生成时间为65.1 s，精确计算时间为48.3 s。传统优化算法，用时约为420 s左右，相对于传统优化算法，Gauss伪谱法计算效率较高，优势明显。通过上述仿真计算结果可以看出，Gauss伪谱法可以用于火箭空间快速投送轨道优化，并且具有独特的优势。

图3 x轴位置变化曲线Fig.3 x-axis position change curve

图4 y轴位置变化曲线Fig.4 y-axis position change curve

图5 z轴位置变化曲线Fig.5 z-axis position change curve

3 结束语

利用火箭投送距离远、运动位势高的特点，将打击载荷或二次平台投送到空间，从太空发起进攻成为未来战争的一种重要作战方式。本文针对火箭空间快速投送轨道优化问题，利用Gauss伪谱法计算效率高、准确性好、鲁棒性优的特点，建立了优化模型并进行了仿真计算，结果表明该方法的可行性。本文的研究是将地球假设为圆球体，相应的模型建立与实际还有不小的差距，所得出的结果只是对方法的可行性进行了论证，下一步，将建立精确的地球轨道模型进行精确求解，从而为火箭空间快速投送实际应用提供理论借鉴和参考。