一致可逆性质与(ω)性质的判定

殷乐，曹小红

（陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119）

0 预备知识

文中,H表示复的无限维可分的Hilbert空间,B(H)为H上有界线性算子的全体。若T的值域R(T)闭且其零空间N(T)是有限维的,则称T∈B(H)为上半Fredholm算子；若T的值域R(T)的余维数是有限维的,则称T∈B(H)为下半Fredholm算子。若T既为上半Fredholm算子又为下半Fredholm算子,则称T∈B(H)为Fredholm算子。对Fredholm算子T∈B(H)而言,定义其零度为n(T)=dimN(T),亏数为d(T)=dim(H/R(T)),指标为ind(T)=n(T)-d(T)。正如文献[1-3]中定义的那样,令

σ(T)={λ∈ C:T-λI不为可逆算子},

σe(T)={λ∈ C:T-λI不为Fredholm算子}分别为算子T的谱和本质谱,并记ρ(T)=Cσ(T),ρe(T)=Cσe(T)。令={λ∈C:T-λI不为上半Fredholm算子},并记对T∈B(H),若R(T)闭且n(T)=0,则称T为下有界算子,令

σa(T)={λ∈ C:T-λI不为下有界算子}为算子T的逼近点谱,记ρa(T)=Cσa(T)。令算子T∈B(H)的升标asc(T)为满足N(Tn)=N(Tn+1)的最小正整数n,若这样的正整数不存在,则记asc(T)=∞；算子T∈B(H)的降标des(T)为满足R(Tn)=R(Tn+1)的最小正整数n,若这样的正整数不存在,则记des(T)=∞。若T是指标为零的Fredholm算子，则称T为Weyl算子；若T是有有限升降标的Fredholm算子,则称T为Browder算子。即零空间包含于超值域[6]。若T∈B(H)为Saphar算子且R(T)闭,则称T具有Kato性质。若isoσ(T)⊆σp(T),则称T为isoloid算子。

由Jacobson定理可知，算子乘积的谱满足:任给Hilbert空间上的2个有界线性算子T和S,TS和ST的谱集中非零元相同。若对于任意算子S∈B(H),有σ(TS)=σ(ST)，则称T为一致可逆算子(简称CI算子)。文献[7]给出了Hilbert空间有界线性算子具有一致可逆性质的充要条件,2003年，DJORDJEVIĆ[8]将范围扩大到Banach空间和Calkin代数。

1909年,WEYL[9]在检查Hermitian算子T的紧摄动谱时发现,λ属于T的所有紧摄动谱当且仅当λ属于T的谱集但非其孤立的有限重特征值。现称此发现为Weyl定理。20世纪90年代,许多学者对Weyl定理进行了变形与推广。HARTE等[10]和RAKOČEVIĆ[11-12]讨论了Weyl定理的另外几种变形,即Browder定理、a-Weyl定理和(ω)性质。由文献[11],若

σa(T)σea(T)= π00(T),

其中 π00(T)={λ∈ isoσ(T):0 ＜n(T-λI)＜ ∞}，则称算子T满足(ω)性质(简写为T∈(ω))。近年来,许多学者展开对算子和算子矩阵(ω)性质的讨论[13-15]。本文将一致可逆性质用于(ω)性质的判定,给出了(ω)性质新的判定方法。由文献[1]定理7.9.3可知,T为Browder算子等价于T为Fredholm算子且存在ε＞ 0,当0＜ |λ|＜ε时,T-λI可逆。对T∈B(H),令

分别表示算子T的Weyl谱、Browder谱、点谱和本质逼近点谱,并记相应的预解集为对应谱在C中的余集。由文献[4]推论4.4知，σea(T)⊆σw(T)⊆σb(T)。对集合G⊆ C,用isoG表示G中孤立点的全体,用accG表示G中聚点的全体。

文献[5]讨论了算子的Kato性质与摄动理论。T∈B(H)为Saphar算子是指算子T满足

1 主要结论及证明

由文献[7]知，算子T为CI算子当且仅当算子T符合下列3种情况之一:

(1)T可逆；

(2)T值域R(T)不闭；(3)T值域R(T)闭且T不单也不满。在此基础上,定义一个新的谱集。令

ρ1(T)={λ∈ C:n(T-λI)＜ ∞,

且存在ε＞ 0，使得当0 ＜ |μ-λ|＜ε时,T-μI是CI算子且

令σ1(T)=Cρ1(T),显然σ1(T)⊆σb(T)。

下面由(ω)性质给出几类谱之间的关系。

定理1设T∈B(H),若T满足(ω)性质且为isoloid算子,则σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)。

证明先证σb(T)⊇σ1(T)∪ accσea(T)。

对任意的λ∉σb(T),T-λI为Browder算子，则存在ε＞ 0,当0 ＜ |μ-λ|＜ε时,T-μI可逆,因此λ∉σ1(T)∪ accσea(T),这样就证明了

σb(T)⊇σ1(T)∪ accσea(T)。

下证σb(T)⊆σ1(T)∪ accσea(T)。

对任意的λ∉σ1(T)∪ accσea(T),可得n(T-λI)＜ ∞,且存在ε＞ 0,使得当0 ＜ |μ-λ|＜ε时,T-μI是CI算子和上半Fredholm算子,T-μI具有Kato性质并且ind(T-μI)≤0。于是T-μI可逆或者不单不满。若存在μ0,当0＜ |μ0-λ|＜ε时,使得T-μ0I不单不满,则μ0∈σa(T)σea(T)=π00(T),进而μ0∈ρb(T)。又由T-μ0I具有Kato性质可知,μ0∈ρ(T),与T-μ0I不单不满矛盾,因此T-μI可逆,即有λ∈ isoσ(T)∪ρ(T)。若λ∈ρ(T),则λ∉σb(T)；若λ∈ isoσ(T),由T为isoloid算子得n(T-λI)＞0,则λ∈ π00(T)=σa(T)σea(T),因此λ∈ρb(T),即λ∉σb(T),故σb(T)⊆σ1(T)∪ accσea(T)得证。

综上,若T满足(ω)性质且为isoloid算子,则

σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)。

注解1(1)定理1中“T为isoloid算子”这一条件不能去掉。例如:设T∈B(ℓ2)，定义

则σa(T)=σea(T)=σb(T)=isoσ(T)={0},

π00(T)=σ1(T)=σp(T)=accσea(T)= ∅。

T满足(ω)性质但不是isoloid算子,且

σb(T)≠σ1(T)∪accσea(T)。

（2）反之定理1不成立。例如：设T1，T2∈B(ℓ2)，定义

令T=T1⊕T2,则

但T不满足(ω)性质。

（3）若T满足(ω)性质，则

σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)∪

{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}。

类似于定理1的证明，可知包含关系σb(T)⊇σ1(T)∪accσea(T)∪

{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}

成立。于是对任意的

λ∉σ1(T)∪ accσea(T)∪{λ∈σ(T):n(T-λI)=0},由定理1的证 明可知，λ∈ isoσ(T)∪ρ(T)。若λ∈ isoσ(T),由λ∉ {λ∈σ(T):n(T-λI)=0},得n(T-λI)＞ 0。又λ∈ρ1(T),则λ∈ π00(T)=σa(T)σea(T),故λ∈ρb(T),所以λ∉σb(T)；若λ∈ρ(T),显然λ∉σb(T),因此

σb(T)⊆σ1(T)∪ accσea(T)∪

{λ∈σ(T):n(T-λI)=0}。

综上所述,若T满足(ω)性质,则有

σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)∪ {λ∈σ(T):

n(T-λ I)=0}。

注解1中（3）反之不成立,例子同(2)中定义的算子T。

由定理1可知,由σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)不能推出T满足(ω)性质且为isoloid算子。下面补充条件后给出定理2。

定理2设T∈B(H),若σb(T)=σ1(T)∪accσea(T)且intσ1(T)= ∅,则T满足(ω)性质且为isoloid算子。

证 明对任意的λ∈σa(T)σea(T),有λ∉ accσea(T)。若λ∈σ1(T),结 合λ∈ρea(T),可知存在ε＞0,当0＜|μ-λ|＜ε时,μ∈ρa(T)∩σ(T),则μ∈σ1(T)。此时λ∈ intσ1(T),这与intσ1(T)=∅ 矛 盾。故λ∉σ1(T),因此λ∉σ1(T)∪accσea(T),即λ∉σb(T)。又0 ＜n(T-λI)＜ ∞,故λ∈ π00(T)。

由于π00(T)∩[σ1(T)∪ accσea(T)]=∅,

即有π00(T)⊆ρb(T)⊆ρea(T),

故π00(T)⊆σa(T)σea(T)。

显然有

{λ∈ isoσ(T)：n(T-λI)=0}∩[σ1(T)∪ accσea(T)]=∅，

因此 {λ∈ isoσ(T):n(T-λI)=0}⊆ρb(T)。

故 {λ∈ isoσ(T):n(T-λI)=0}⊆ρ(T),矛盾。

因此 {λ∈ isoσ(T):n(T-λI)=0}=∅,

即T为isoloid算子。

注解2反之定理2不成立。例如：设T∈B(ℓ2),定义

T满足(ω)性质且为isoloid算子,σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)，但 intσ1(T)≠ ∅。

下面利用集合σ1(T)给出算子T满足(ω)性质的判定条件。

定理3设T∈B(H),则下列叙述等价:

(1)T满足(ω)性质且为isoloid算子；

(2)σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)且

[σa(T)σea(T)]∩acc[ρa(T)∩σ(T)]= ∅；

(3)σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)且[σa(T)σea(T)]∩intσ1(T)= ∅；

(4)σb(T)=[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)∪[ρa(T)∩σ(T)]；

(5)σb(T)∩σa(T)=[σ1(T)∩σea(T)]∪accσea(T)。

证明(1)⇒(2)。当T满足(ω)性质且为isoloid算子时,由定理1知，σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T)。

对任意的λ∈σa(T)σea(T),由T满 足 (ω)性质，可得λ∈ π00(T),则λ∈isoσ(T),故λ∉acc[ρa(T)∩σ(T)],即

[σa(T)σea(T)]∩ acc[ρa(T)∩σ(T)]= ∅。

(2)⇒(3)。对任意的λ∈ [σa(T)σea(T)]∩intσ1(T),存在ε＞ 0,当0＜ |μ-λ|＜ε时,μ∈ρa(T)∩σ(T),故λ∈ acc[ρa(T)∩σ(T)],这与(2)中[σa(T)σea(T)]∩acc[ρa(T)∩σ(T)]= ∅矛盾。因此不存在这样的λ,即

[σa(T)σea(T)]∩ intσ1(T)= ∅。

(3)⇒(1)。类似于定理2的证明。

(1)⇒(4)。由定理1的证明知

σb(T)⊇ [σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)。

下证ρa(T)∩σ(T)⊆σb(T)。

对任意的λ∈ρa(T)∩σ(T),由下有界算子的摄 动定理知，存在ε＞ 0,当0 ＜ |μ-λ|＜ε时,μ∈ρa(T)∩σ(T),则λ∈σb(T),因此

对任意的λ∉[σ1(T)∩σea(T)]∪accσea(T)∪[ρa(T)∩σ(T)],若λ∉σ1(T),由λ∉ accσea(T)知,存在ε＞ 0,当0＜ |μ-λ|＜ε时,有μ∈ρ(T)或μ∈σa(T)∩σ(T)。若存在μ0∈B(λ0),使得μ0∈σa(T)∩σ(T),则μ0∈σa(T)σea(T),由(ω)性质知,μ0∈ρb(T)。又T-μ0I具有Kato 性质,由文献[4]引理3.4可得

其中p为T-μ0I的升标,因此μ0∈ρ(T),这与μ0∈σa(T)∩σ(T)矛盾。故存在ε＞0,当0＜|μ-λ|＜ε时,有μ∈ρ(T),进而可得λ∈isoσ(T)∪ρ(T)。若λ∈ isoσ(T),由T为isoloid算子可知,λ∈σp(T),因此λ∈ π00(T)=σa(T)σea(T),λ∈ρb(T)；若λ∈ρ(T),显然有λ∉σb(T)。

若λ∉σea(T),当λ∉ρa(T)时,λ∈σa(T)σea(T)= π00(T),故λ∉σb(T)；当λ∉σ(T)时,λ∉σb(T)。因此，当λ∉[σ1(T)∩σea(T)]∪accσea(T)∪[ρa(T)∩σ(T)]时,λ∉σb(T)。

综上,若T为isoloid算子且满足(ω)性质,则σb(T)=[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)∪

[ρa(T)∩σ(T)]。

(4)⇒(5)。由σea(T)⊆σa(T)，可得σ1(T)∩σea(T)⊆σa(T)。对任意的λ∉σa(T),由下有界算子摄动定理知，当μ∈B(λ0)时,有μ∈ρa(T)⊆ρea(T),故λ∉accσea(T),即accσea(T)⊆σa(T),由此可得σa(T)⊇[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)。

由(4)知，

[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)。

(5)⇒(1)。对任意的λ∈σa(T)σea(T),有λ∉[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T),则有λ∉σb(T)∩σa(T),故λ∉σb(T)。并且0＜n(T-λI)＜ ∞,因此λ∈ π00(T)。

对任意的λ∈ π00(T),有λ∈ isoσ(T)且0＜n(T-λI)＜ ∞,因此λ∈σa(T),且λ∉[σ1(T)∩σea(T)]∪accσea(T),即λ∉σb(T)∩σa(T),故λ∉σb(T),λ∈ρb(T)⊆ρea(T),即λ∈σa(T)σea(T)。

对任意的λ∈ isoσ(T),若n(T-λI)=0,则λ∉ [σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T),即λ∉σb(T)∩σa(T)。若R(T-λI)闭,则λ∈ρa(T),由下有界算子的摄动定理知，d(T-λI)=0,则λ∈ρ(T),这与λ∈isoσ(T)矛 盾。因此R(T-λI)不闭,λ∈σa(T),故λ∉σb(T),矛盾。因此n(T-λI)＞0,即isoσ(T)⊆σp(T)。

下面利用∂σ1(T)给出(ω)性质的判定条件。

推论1设T∈B(H),若

σb(T)=∂σ1(T)∪ accσea(T),则

(1)T满足(ω)性质且为isoloid算子；

(2)intσ1(T)∩ isoσea(T)= ∅。

证明(1)先证 ∂σ1(T)∩ρ1(T)⊆ accσea(T)。

对任意的λ∈ ∂σ1(T)∩ρ1(T),若λ∉accσea(T),则λ∈ isoσea(T)∪ρea(T),此时λ∈intρ1(T),矛盾。故λ∈ accσea(T),即

∂σ1(T)∩ρ1(T)⊆ accσea(T)。

再证 ∂σ1(T)∩σ1(T)⊆σea(T)。

对任意的λ∉σea(T),即λ∈intρ1(T)∪intσ1(T),故λ∉∂σ1(T)∩σ1(T),即∂σ1(T)∩σ1(T)⊆σea(T)。

由已知条件可得,

因此,

由定理3可得,T满足(ω)性质且为isoloid算子。

（2）由条件及定理1，有σb(T)=∂σ1(T)∪accσea(T)=σ1(T)∪accσea(T),则有intσ1(T)⊆accσea(T)。因此intσ1(T)∩ isoσea(T)=∅。

推 论2设T∈B(H),则σb(T)∩σa(T)⊆∂σ1(T)∪accσea(T)⇔T满 足 (ω)性 质且为isoloid算子,intσ1(T)∩ isoσea(T)= ∅。

证明必要性。由定理3和推论1的证明及条件可得,σb(T)∩σa(T)⊆ ∂σ1(T)∪ accσea(T)⊆[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)⊆σb(T)∩σa(T),故

σb(T)∩σa(T)=[σ1(T)∩σea(T)]∪ accσea(T)。由定理3可得,T满足(ω)性质且为isoloid算子。

充分性。由定理3及intσ1(T)∩ isoσea(T)=∅,有

下面讨论谱集σ1(·)的谱映射定理。

定理4设T∈B(H)。若ρ1(T)∩accσea(T)=∅,且对任意多项式p(·),均有p(σ1(T))⊆σ1(p(T)),则

（1）对任意的λ，μ∈ρe(T)有

ind(T-λI)·ind(T-μI)≥ 0。

（2）任给多项式p(·)，p(T)均满足(ω)性质且为isoloid算子当且仅当

(i)T满足(ω)性质且为isoloid算子；

(ii)σa(T)=σea(T)或σa(T)=σ(T)。

证明(1)假设存在λ0,μ0∈ρe(T)使ind(T-λ0I)·ind(T-μ0I)＜ 0,不妨设ind(T-λ0I)=m,ind(T-μ0I)=-n,其中m,n均为正整数。取多项式p(λ)=(λ-λ0)n(λ-μ0)m,则p(T)=(T-λ0I)n(T-μ0I)m是Weyl算子,于是0∉p(σ1(T))。由条件可知λ0,μ0∉σ1(T),即λ0,μ0∈ρ1(T)。由于ρ1(T)∩ accσea(T)= ∅,于是λ0,μ0∉ accσea(T)。

由Fredholm算子的摄动定理知，存在ε＞0,当0 ＜ |λ-λ0|＜ε时,T-λI是一致可逆的Fredholm算子且ind(T-λI)=ind(T-λ0I)=m,故λ∈σea(T)。于是λ0∈ accσea(T),与λ0,μ0∉accσea(T)矛盾。

(2)必要性。(i)取p(λ)=λ,此时显然成立。

(ii)若σa(T)=σea(T),则结论成立。若不然,即当σa(T)≠σea(T)时,σa(T)=σ(T)成立。显然σa(T)⊆σ(T),只 需 证 明σa(T)⊇σ(T)。由σa(T)≠σea(T)知，存在λ0∈σa(T)σea(T),由T满足 (ω)性质知，λ0∈ρb(T)。设λ1∉σa(T),取多项 式p(λ)=(λ-λ0)(λ-λ1),则p(T)=(T-λ0I)(T-λ1I)。进而可得0∈σa(p(T))σea(p(T)),由p(T)满足(ω)性质知，0 ∈ρb(p(T)),因此λ1∈ρb(T),进而λ1∈ρ(T),即λ1∉σ(T),故σa(T)⊇σ(T)。

充分性。由定理1知,当T满足(ω)性质且为isoloid算子时,有σb(T)=σ1(T)∪ accσea(T),又ρ1(T)∩ accσea(T)= ∅,可得σb(T)=σ1(T)。根据σb(T)的谱映射定理[1],有

p(σ1(T))=p(σb(T))=σb(p(T))⊇σ1(p(T)),从而σ1(p(T))=p(σ1(T))=σb(p(T))。

由定理3,下 证σb(p(T))∩σa(p(T))=[σ1(p(T))∩σea(p(T))]∪ accσea(p(T)),即证

σb(p(T))∩σa(p(T))=σea(p(T))。

显然有σb(p(T))∩σa(p(T))⊇σea(p(T))。对任意的μ∉σea(p(T)),设p(T)-μI=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λtI)nt,则T-λiI为上 半Fredholm算子。

由σ1(p(T))=σb(p(T)),类似文献[16]中定理1.10的证明,易得对任意的λ,μ∈ρSF+(T)，(1)亦成立,故ind(T-λiI)≤0,因此λi∈ρea(T)(1 ≤i≤t)。

当σa(T)=σea(T)时,有λi∈ρa(T)(1 ≤i≤t),因此μ∈ρa(p(T))。

当σa(T)=σ(T)时,不妨 设T-λ1I,T-λ2I,…,T-λjI为下有界算子,T-λj+1I,T-λj+2I,…,T-λtI不为下有界算子。则T-λ1I,T-λ2I,…,T-λjI可逆,且由T满足 (ω)性质可得，T-λj+1I,T-λj+2I,…,T-λtI为Browder算子,因此μ∈ρb(p(T))。由此σb(p(T))∩σa(p(T))⊆σea(p(T))得证。

综上,由定理3可知,任给多项式p(·),p(T)均满足(ω)性质且为isoloid算子。