基于RBF 的替代模型在翼型稳健设计中的应用

蔡文杰，黄 俊，毕国堂，刘志勤，黎茂锋

（西南科技大学，绵阳，621000）

0 引 言

近年来，随着中国航空航天技术的大力发展以及民用大型客机研发需求的越发迫切，飞行器的稳健设计已经成为国防和民用科技发展关注的重点。机翼是飞行器整体设计中的重要一环，而翼型的选取又是机翼设计的重点。翼型的稳健设计能使飞行器在不断变化的环境中使其性能保持稳定，如使其阻力保证在一个较低的水平，实现飞行又稳又远的目标。

传统的翼型设计是在一个人为设定的环境下进行的。但现实中的环境却是时刻处于变化中，通过传统方式获得的翼型的性能可能会出现剧烈的波动。以马赫数下的飞行器阻力优化为例，Hicks 等[1]对翼型的研究证明了对单一点马赫数处的阻力进行优化的传统单点设计方法，将会引起其附近马赫数处的阻力变大，进而影响最终的翼型性能。而在更宽速度范围飞行器的设计中该问题更加突出。通过对翼型进行稳健优化设计[2]能够很好地解决此类问题，使飞行器翼型对环境变化不敏感。

1 翼型稳健设计简要概述

翼型稳健设计就是要使翼型对外界环境变化带来的噪声因素不敏感。因此在翼型设计之初就要考虑到可能存在的噪声因素，通过稳健设计最终寻找到一组可控因素的最佳水平组合，从而使噪声因素对翼型性能的影响降低。

飞行器翼型在非设计状态下的性能不稳定问题的解决方法通常就是进行翼型的稳健设计。翼型稳健设计就是要在一个给定的马赫数变化区间（Mamin≤Ma ≤Mamax）中，实现不但要减小翼型的阻力而且还要保证翼型的性能稳定的目的。即要实现同时减小阻力系数的均值和方差的目的，本文中所采用的稳健设计目标模型[3,4]如下：

式中D 为多维翼型的几何外形参数，即翼型外型设计变量；lC 为翼型设计中作为约束条件的升力系数；T为翼型的外型几何约束；Ma 为设计中所选取的马赫数；α为攻角；µ为期望；2σ 为方差。

在设计中，阻力系数和升力系数都是攻角、设计变量以及马赫数的函数。在求阻力系数的过程中，为保证升力系数不影响结果，将其作为设计过程中的一个约束条件，可通过对攻角的调节来达到升力系数的恒定。

式（1）中的阻力系数 Cd的均值µ和方差 σ2的定义如下：

式中P(Ma)为Ma 的概率密度函数。

本文所进行的翼型稳健设计其目的是在一段给定的马赫数变化范围内，通过设计来减小翼型阻力系数的均值以及方差，来获取稳健翼型。由于求解 Cd的计算量非常庞大，因而µ与 σ2的计算更加困难。因此本文采用通过建立 Cd关于翼型表面参数D 和马赫数Ma 的2 种RBF 替代模型（插值和拟合），来进行 Cd的预测，使用预测的结果得到 µ2+ σ2的近似值,即:

与传统直接通过CFD 计算阻力系数相比，替代模型的计算量明显减少，且能满足一定的设计精度要求。

2 翼型稳健设计流程

本文所采用的通过RBF 替代模型进行翼型稳健设计方法的流程图与步骤如下（如图1 所示）：

a）进行翼型外形的几何参数化表示；

b）选择试验设计方法，确定试验设计因素及其水平数，即生成样本点；

c）对样本点进行CFD 计算，获得样本点翼型在满足升力约束条件下的阻力系数dC ；

d）根据获得的样本结果数据建立RBF 替代模型；

e）通过遗传算法进行优化，获取最佳翼型外形的设计参数值；

f）计算最佳翼型阻力系数的均值与方差，与基准翼型进行对比验证。

图1 翼型稳健设计流程 Fig.1 Airfoil Robust Design Flow Chart

2.1 翼型外型参数化

本文采用Hicks-Henn[5]基函数线性叠加的方式来表示翼型外型，翼型形状由基准翼型（本文选择RAE2822 翼型）和基函数以及相关系数进行定义：

式中baseF 为基准翼型形状；iP 为型函数的相关系数，即外型参数设计变量；n 为设计变量的个数；if (x)为Hicks-Henne 基函数。其中Hick-Henne 基函数的具体形式如下：

式中xi为翼型前缘点和后缘点间的结点，0= x1＜ x2＜… xi＜ xn=1。本文中xi=，i=2,…,5。

2.2 试验设计方法

试验设计方法是用来进行样本点合理选择的方法。本文选用均匀设计法来进行样本点的选取。均匀设计法去除了正交设计中整齐可比的要求，其试验点具有更好的均匀性，能充分反映试验设计变量的信息。通过因素（变量）数及其水平数选择合适的均匀设计表，生成样本数据表。

2.3 网格生成与CFD 计算

在进行CFD 计算前，需要先对生成的均匀设计表中的每一个翼型样例生成其对应的二维网格，该步骤通过网格生成软件Gridgen 完成，网格采用C 型结构，网格生成结果如图2 所示。后续气动系数的计算可采用广泛使用的CFD 软件Fluent 完成，湍流模型选用Spalart-Allmaras，翼型壁面设置为Temperature。CFD的相关内容可参考文献[6]，Fluent 的相关设置可参考文献[7]。

生成网格后，本文使用Ma =0.73，α=o3.19 ，Re=6.5×106时RAE2822 翼型的fluent 表面压力分析结果对网格和气动分析结果进行检验见图3，由图3 可知，CFD 计算结果与试验报告[8]中的试验结果基本吻合，验证了网格和气动分析的正确性。

图2 RAE2822 翼型的C 型网格 Fig.2 C-Grid for the RAE2822 Airfoil

图3 RAE2822 翼型表面压力分布CFD 结果与试验结果对比 Fig.3 Comparison of CFD Results of RAE2822 Airfoil Surface Pressure Distribution and Experimental Results

2.4 RBF 替代模型

本文采用与RBF 径向基函数相关的2 种方法进行替代模型的建立，分别是：RBF 插值法和RBF 神经网络拟合法。2 种方法的定义如下：

2.4.1 RBF 插值替代模型原理

RBF 插值是通过一系列的径向基函数的线性组合来建立替代模型。其定义如下：

式中 φ(||x-ix ||)为径向基函数，通常可采用高斯函数或多二次函数等，本文中后续RBF 插值替代模型采用高斯径向基函数。

2.4.2 RBF 神经网络拟合替代模型原理

RBF 神经网络是在BP 神经网络基础上改进而来的一种神经网络模型，是一种由输入层、隐含层、输出层构成的3 层结构的前馈型神经网络，如图4 所示。

图4 RBF 神经网络[9] Fig.4 Radial Basis Function Neural Network[9]

RFB 神经网络基于核函数的思想，通过隐含层将输入向量由低维度P 映射到高维度h，从而在高纬度中实现线性可分。其网络的权重W 可通过线性方程求解，加快了学习速度且避免了局部最小问题。RBF 神经网络求解分为正向传播计算误差部分和反向传播调整参数2 个部分。当正向传播误差达到所需精度或计算次数达到规定次数时完成计算。正向传播计算公式如下：

式中R ( xp-ci） 为RBF 高斯激活函数； yˆ 为网络的输出；c 为中心点；σ为中心点宽度参数；L 为损失函数。

反向传播使用梯度下降法来进行迭代求取参数误差，进而调整参数，详细求解推导可参考文献[9]，其计算公式如下：

式中α为梯度下降的学习率，学习率可根据损失函数结果和迭代次数进行调整。

2.5 替代模型效果检验

在完成替代模型建立后，需要对模型正确性及其效果进行检验。本文使用Fluent 软件和2 种RBF 替代模型及参考文献[10～12]中使用的KRIGING 插值模型分别求取RAE2822 翼型在Ma ∈[0.7,0.8]的阻力系数，并进行对比。对比结果如图5 所示，可以发现2 种RBF替代模型的效果优于KRIGING 的插值效果。

图5 替代模型效果检验 Fig.5 Alternative Model Validation

2.6 遗传算法优化求解

本文中设计因素的分布和维数以及因素彼此间的关系都未强制进行限定，因此采用马赫数按等差数列生成，其它设计因素随机生成来模拟遗传算法，进行稳健翼型的优化求解。

遗传算法[13,14]是模拟自然环境中生物种群遗传和变异进化过程的一种自适应全局优化搜索方法，具有很好的全局寻优能力。

式（1）的优化目标可近似表示为

式中MaN 为模拟时选择的马赫数的个数；iMa 为规定范围内按等差数列产生的一个马赫数。

通过替代模型和遗传算法结合运算，最终获得一个稳健翼型的表面参数设计变量的值，再进行翼型参数化，即可获得最终稳健翼型的外型。本文中的多变量遗传算法使用二进制形式进行编码，罚函数采用翼型的几何约束即翼型的最大相对厚度的最小值和最大值，通过罚函数来淘汰掉不符合外形约束的翼型个体。

3 样例及模型结果对比分析

通过对基准翼型进行稳健设计来对本文采用的RBF 替代模型方法效果进行验证。本文以RAE2822 为基准翼型，在马赫数Ma ∈[0.7,0.8]，雷诺数Re=6.5×106,翼型升力系数lC =0.8，翼型最大相对厚度0.1≤ d≤ 0.12的条件下，进行翼型的稳健设计，并将最终获得的两种RBF 稳健设计翼型性能与基准翼型和参考文献中所采用的KRIGING 模型获得的稳健翼型性能进行对比。

对翼型选用10 个参数变量进行表示（上下翼面各取5 个参数变量，1d ～5d 用于表示上翼面，6d ～10d 用于表示下翼面）。Hicks-Henne 中参数变量的取值范围为：d1=[-0.006,0.006]，d2=[-0.01,0.006]，d3=[-0.006,0.008]，d4=[-0.005,0.005]，d5=[-0.005,0.01]，d6=[-0.008,0.006]，d7=[-0.001,0.01]，d8=[-0.005,0.01]，d9=[-0.005,0.005]，d10=[-0.005,0.015]。马赫数是设计中的另一个变量，因此采用U11_165 的均匀设计表，生成165 个样本点，每个样本点即为一个翼型在一个马赫数下的样本，通过Fluent 计算出这些样本点的阻力系数，用于RBF 替代模型建立，部分数据（未归一化前）如表1 所示。

表1 未归一化的部分样本点数据 Tab.1 Unnormalized Partial Sample Point Data

在RBF 模型建立过程中需要注意的是，需要先对样本点进行归一化处理，以便提高模型的精度和稳健性。归一化即将样本点的各设计变量和目标值的取值转化到一个统一的区间（如[0,1]）上，可通过如下min-max 方法进行归一化：

式中i=1,2,3…,n；j = 1,2…,m； xj,min为第j 个设计因素在所有样本点中的最小值；xj,max为第j 个设计因素在所有样本点中的最大值； xij为第j 个设计因素在第i 个样本点上的值。

使用RBF插值和RBF神经网络拟合进行替代模型Cˆd=C ˆd(D,Ma)的建立。RBF 神经网络中隐含层节点个数设置为100。在使用遗传算法寻优时，种群中的每一个个体都代表一个翼型，取NMa=1000，即在Ma∈[ 0 .7,0.8]范围内，按公差为0.0001 生成1000 个马赫数，代入式（15）求得翼型对应的目标值。在遗传算法中选择种群规模 M=100,种群最大进化代数 K=200，交叉概率Pc=0.8，变异概率为 Pm=0.1。

最终的优化结果如表2 所示。

由表2 可知，2 种RBF 建模方法获得的稳健翼型在Ma ∈[0.7,0.8]时，二者的阻力系数的均值与方差都小于基准翼型 RAE2822，且优于使用参考文献中的KRIGING 模型方法获得的同样条件下的稳健翼型。从阻力系数的均值与方差的最终结果来看，使用RBF 神经网络建模方法获得的稳健翼型最佳。图6 为2 种稳健翼型与RAE2822 翼型和KRIGING 模型获得的稳健翼型的外形比较，可发现RBF 的2 种稳健翼型的厚度都有所减小，上表面更加平坦，且下表面后缘出现了一个非常明显的上凹区域，表明通过RBF 替代模型获得的两种稳健翼型具有了明显的超临界翼型的特性。在图7 翼型性能比较图中，可明显发现两种稳健翼型在升力系数固定且Ma 在设定范围条件下，其阻力系数Cd都明显减小，均小于基准的RAE2822 翼型，优与KRIGING 模型获得的稳健翼型。从2 种RBF 稳健翼型的最终效果来看，2 种稳健翼型都达到了本文翼型稳健设计的目标。从阻力系数的总体大小及其变化趋势来看，通过RBF 神经网络拟合建模方法得到的稳健翼型的效果更优。

图6 稳健翼型外形与RAE2822 对比 Fig.6 Robust Airfoil Shapes Contrasts with RAE2822

图7 稳健翼型与RAE2822 性能对比 Fig.7 Performance Comparison between Robust Airfoils and RAE2822

4 结 论

本文使用RBF插值和RBF神经网络拟合两种替代模型方法来解决翼型设计中在环境发生变化时出现性能恶化的问题。本文以马赫数的变化导致翼型阻力系数发散引起飞行器性能恶化为研究背景，通过建立RBF 的2 种替代模型，来进行稳健翼型的设计。结果表明，本文采用的2 种RBF 替代模型的方法，均达到了本文翼型稳健设计的目的，改善了在非设计状态下干扰因素带来的翼型性能的恶化现象。

在后续的研究中，可将RBF 替代模型方法用于三维机翼的稳健设计中。二维翼型的稳健设计结果为后续三维机翼稳健设计以及飞行器整机的稳健设计打下了一个坚实的基础。替代模型方法在飞行器稳健设计上的应用有着重要的意义，值得进一步深入研究。