高中数学几何教学探析

马毅刚

（甘肃省通渭县第二中学，甘肃 通渭 743300）

几何是数学中强调视觉思维和空间思维的教学内容，几何的思维方式在数学教学中具有十分重要的地位。那么，如何有效地开展高中数学中几何模块的教学呢？笔者从以下几个方面进行初步探讨。

一、几何教学目标的认识

几何教学的重点和难点是如何有效地培养学生的空间想象能力。因此，几何作为贯穿于整个高中数学教学的主线之一，要通过空间想象能力的培养引导学生认识事物的数学本质，以便更好地认识和理解空间的存在意义，提高推理论证能力。空间想象力和推理论证能力对于促进学生思维的发展和对数学本质的理解是十分重要的。

高中数学几何教学通过数形结合，把数学逻辑思维和形象思维有机地统一起来，强调从空间想象能力、图形语言思考能力上培养学生的几何思想。空间想象能力不仅在几何学习和整个数学学习上有重要意义，而且在艺术创作中也是一种基本能力。几何图形作为一种直观、形象的数学模型，为学生的自主探索、创新活动提供了有利条件。教师要培养学生的空间想象能力，就要让学生对图形的结构有一个宏观的认识，进而提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、高中几何的研究对象

高中几何主要研究图形的位置关系和度量，最基本的几何图形是点、线、面的组合。准确理解平行、垂直、包含的关系是正确分析图形的基础，特别要注意柱、锥、台、球等几何体在不同摆放位置下的点、线、面的位置关系。几何图形的研究包括直线和平面图形、曲线和曲面图形两类。平面图形的位置关系主要有全等、相似等。图形的度量主要有夹角、长度等。

三、高中几何研究的主要方法

高中几何研究的方法主要有综合几何的方法、解析几何的方法、向量几何的方法等。

综合几何的方法是将复杂的图形转化为简单的图形，将立体图形转化为平面图形的方法。平移、对称、旋转等是研究综合几何的常用基本方法。综合几何的方法是一个对空间图形进行研究，建立几何模型的过程，这个过程能培养和发展学生的合情推理与演绎推理的能力。在“互联网+教育”的背景下，计算机信息技术的应用使综合几何的教学难点得到有效突破，教师通过软件的合成、图形动画演示等情景化的教学能使学生更加充满探究兴趣，课堂的实效性得到加强。

解析几何的方法是利用代数的方法研究几何图形的性质。基本步骤是：（1）建立适当的平面直角坐标系，将平面几何问题转化为代数问题；（2）通过代数运算，解决代数问题；（3）把代数运算的结果转化成几何问题的结论，常常需要通过代数的方法把表示几何图形的方程化成标准形式，从而更简洁地表达其几何性质。直线与圆锥曲线的位置关系问题是解析几何的重点内容，常常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积等，其解题主要涉及方程和韦达定理，在进行运算时，借助平面几何中的相关结论，可简化计算。解析几何的方法很好地诠释了数学中的数形结合思想。

向量几何的方法就是用向量及其运算来研究几何图形。向量几何的方法特点是程序化表述，可大大缩短思维过程，但其中的代数计算量不可小视。向量方法研究具有灵活、便捷的特点；利用向量的方法证明空间的平行或垂直，常常借助几何图形的垂直关系建系，并让尽可能多的顶点落于坐标轴上，以便简化运算过程。

四、高中几何内容的总体设计

几何课程的设计将空间想象能力作为指导思想，强调利用图形生动形象地描述数学问题，直观地揭示解决问题的途径，在几何课程本身的学习中具有不可替代的作用，并且贯穿于整个数学学习的始终。用图形讨论问题，发挥空间想象能力，是一种基本的数学素养。高中数学课程中的几何内容是分层设计的。必修课程的几何内容由立体几何初步、解析几何初步、平面向量组成。

“立体几何初步”主要通过直观图、三视图，从空间几何体柱、锥、球、台等的整体观察入手，认识空间几何体及其直观图的画法；空间几何体的结构特征是证明空间线面位置关系的基础，也是正确识别几何体三视图的基础；再以长方体为载体，认识点、线、面的基本关系和基本性质，空间中平行与垂直关系的判断与证明，是立体几何的核心内容。这些知识可帮助学生建立空间想象思维，灵活运用文字语言、符号语言、图形语言进行表达和思考，并且能熟练地对三种语言进行转化。

“解析几何初步”的重点是帮助学生建立解析几何的基本思想——数形结合思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，以直线与圆为载体，逐步使学生建立“曲线的方程，方程的曲线”思想。圆锥曲线是体现解析几何思想的最好载体，高中数学的圆锥曲线部分主要介绍了椭圆、双曲线、抛物线三类圆锥曲线的标准方程，强调从几何性质到建立方程的过程。圆锥曲线中最值与范围问题是解析几何中的核心内容，是考试重点之一。

向量是研究几何的一项基本内容，是研究几何问题的基本工具。向量可以描述几何中的基本研究对象——点、线、面；判断线线、线面、面面的平行与垂直关系；还可以表示空间中的曲线与曲面；并且可用来度量几何体中线与面的长度、角度，计算其表面积、体积等。在教学中，应注重将向量的代数运算与其几何意义联系起来，这样才能运用向量代数性质更好地刻画几何对象，从而体会代数与几何的联系。

五、把握高考中的几何问题

立体几何是研究空间几何体的基础和必备内容，是历年高考的热点。其主要从两个方面考查：一是空间几何体的三视图与其表面积、体积的求解综合，多以选择题或填空题的形式命题，试题难度不大。三视图的识别与判断的关键在于准确把握基本几何体如棱锥、圆锥等的结构特征，特别要注意几何体三视图中的实线和虚线的不同含义。由三视图确定几何体时，首先要利用俯视图确定底面的特征，再根据侧视图和正视图确定几何体的其他特征，要注意侧视图是从几何体的左侧向右侧的投影，切忌看错方向，最后依据三视图中的实虚线进行调整，复原几何体。二是空间平行与垂直关系的证明与探索性问题，属于中等难度的问题。准确理解空间中的线线、线面、面面位置关系的分类是正确分析空间中线面关系的基础，尤其要运用好正方体模型。正确把握空间中的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明空间平行与垂直的关键，在教学中教师尤其要提醒学生掌握此类定理中的符号语言和图形语言，理解条件和结论的关系；同时要准确分析几何体中各个平面和截面的性质，采取化整为零的手段，运用好立体图形平面化的数学思想。空间向量的引入使解决立体几何问题的程序化加强，思维过程简化了，但最后的运算量较大，转化过程也要细心谨慎。教师要告诫学生在选择传统几何法和向量法时要合理取舍，切莫一味追求向量法。

圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，是每年必考的题目之一，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围等探索性问题为主。高考题中圆锥曲线问题的一个显著特点是“问题一”的起点较低，但在“问题二”或“问题三”中有较为复杂的运算，对学生解决问题的能力要求较高。圆锥曲线的定义是推导其标准方程和几何性质的基础，在解决问题时要灵活运用圆锥曲线的定义解题，准确把握几种圆锥曲线的标准方程的形式。一般情况下，涉及圆锥曲线的焦点问题时，要优先考虑定义解题。离心率问题是高考的重点，要根据试题中的条件，建立a、b、c 三个量之间的关系，然后转化为a、c 之间的关系求解。面对“问题二”或“问题三”中较为复杂的运算时，要有简化运算的意识，有目的地进行运算。

总之，在数学教学中，教师要明确几何教学目标，准确把握几何的研究对象和研究方法，对高中几何模块的课程结构有宏观的掌握。利用信息技术等现代化的教学手段，不断探索，不断创新，改变传统的教学模式。还要留心观察学生的状态，因材施教，合理取舍，有效开展初高中教学的衔接，从而有效突破高中几何教学的难点。