关于中心极限定理的理解

2019-12-12李华灿吴龙胜李群芳

科教导刊·电子版 2019年30期

关键词：正态分布

李华灿　吴龙胜　李群芳

摘要正态分布是现实生活中广泛存在的分布，其特点可概括为中间大两头小，文中具体论述如何从正态分布的应用背景掌握“2”个中心极限定理。

关键词极限定理单调不减正态分布中心极限定理

中图分类号：O172.2文献标识码：A

1关于正态分布的基本介绍

正态分布是现实生活中广泛存在的分布，其取值具有中间大两头小的特点，在概率论与数理统计课程中它严格的定义是：若随机变量X具有概率密度，则称X服从参数为的正态分布，记为，其中，，正态分布是概率论与数理统计课程的核心内容，在二维连续性随机变量、数字特征、中心极限定理、数理统计中的统计量分布以及区间估计等内容中反复涉及，关于正态分布我们要把握以下两点：一是一维正态分布的概率密度仅由两个参数决定，即，其分别为该正态分布的数学期望与方差;二是对于一般的标准正态分布，可以通过标准化转化为标准正态分布来研究。

2从正态分布的应用背景掌握“2”个中心极限定理

正态分布在概率论与数理统计中具有非常重要的作用和地位，现实世界中许多实例均可以视为服从正态分布的随机变量，如各种测量的误差、人的生理特征、工厂产品的尺寸、农作物的收获量、海洋波浪的高度、金属线的抗拉强度、热噪声电流强度、学生们的考试成绩等。一般而言，如果一随机变量可看成众多相互独立的随机因素的叠加时，即，则随机变量可看成服从正态分布的随机变量。结合正态分布和随机变量的数字特征的理论可知：，，因此可看成服从的正态分布，基于此就很容易得到两个中心极限定理：（1）设随机变量，，…，，…相互独立，且服从同一分布，具有有限的数学期望和方差，则由以上分析可知：当，可看成服从正态分布的随机变量。又

故，从而，则所对应的分布函数对任意的满足。上述内容就是同分布的中心极限定理，其中是标准正态分布的分布函数，当时其值有专门的表可查。（2）又设服从参数为的二项分布，则有，其中是标准正态分布的分布函数。事实上，若，那么可表示成n个相互独立的服0-1分布的随机变量的和，即，故当时，看成服从正态分布的随机变量。又，，故，从而，故，于是可得。上述内容即为德莫弗——拉普拉斯中心极限定理。

基金项目：江西省教改课题（JXJG-17-46-3）。

作者简介：李华灿（1985-），男，硕士，讲师。

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