一类含时间分数阶导数的热传导与膜振动问题的解

慕 文，李春源，葛志新

(安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243032)

现代物理中人们已经对非牛顿流体、软物质等相关事物[1]的性质进行广泛研究。由于这些物质具有遗传性或者说具有记忆效应，整数阶导数已经不足以描述其变化过程，分数阶导数已经以成熟的理论出现在人们面前，如文献[2]系统地阐述了分数阶导数的定义及其性质和应用。分数阶导数由于特殊内涵，含有函数的卷积，可以表达自变量的历史遗传性或累积效应，及记忆效应，因此自产生以来引起广泛兴趣。各领域原有的问题在新概念下会发生新变化，产生各种新的内在规律，如文献[3]比较了分数阶导数与其他导数的特点；文献[4]阐述了处理分数阶导数的一种方法；文献[5-6]讨论了分数阶导数对解的分叉影响；文献[7]阐述了在一类奇摄动微分方程中怎么处理分数阶导数。

薄片的热传导与膜振动问题在物理学上是两个不同的物理过程，描述它们的方程既有相同点又有不同点[8]。不同在于热传导问题中关于时间的导数是一阶的，在膜振动问题中关于时间的导数是二阶的。由于分数阶导数的出现，这两类可以统一成一类方程，只是关于分数阶导数的变化范围发生变化。因此两类问题有着内在的关系，研究它们的解的变化规律有重要意义。文献[9-10]阐述了小参数方程的的奇摄动理论和应用的基本知识，其中文献[9]阐述了波动方程边界发生正弦振动变化时，解的振幅关于小参数ε 的变化规律，问题与时间无关，并且不含分数阶导数。本文在文献[8-9]的启发下，研究含有时间分数阶导数的边界发生正弦波动时膜振动问题振动规律和热传导问题的传导规律，并进一步探讨方程(1)～(3)中时间分数阶导数对解的影响。

问题描述如下

1 渐近解

将ux(x,1+ε sinkωx,t)在y=1处展开，得

引入多重尺度x0=x,x1=εx，则

并将式(4)～(7)代入式(1)～(3)中,比较ε 的0次幂和1次幂的系数得

利用分离变量法,式(8)～(10)的解为u0(x0,x1,y,t)=X(x0)Y(y)Z(t)，由方程形式可以解出方程，其中

Z(t)由

2 侧面绝热的薄片热传导问题

其中Eα,α(λtα)是Mittag-Leffler函数。

为了产生有效的渐近解，对式(8)～(10)取两个任意模态解。设式(8)～(10)的通解为

避免产生共振引入解谐参数σ，设

将式(18)代入式(17)得

即

寻找形如下式的解

将式(20)代入式(16)、(19)得

因为方程(21)是自伴的，取伴随问题的解u=cosnπy。方程(21)两边均乘以u=cosnπy，并在[0,1]上积分，利用分部积分法，可以得到可解性条件

即

即

同理，由式(23)～(24)，当m ≠0 时，

设An=c1eiγ1x1,Am=c2eiγ2x1,γ1=γ2+σ 其中c1,c2,γ1,γ2均为复数，由式(25)～(26)得

由式(27)～(28)和γ1=γ2+σ 得

所以方程(1)～(3)的近似解为

其中γ1,γ2由式(29)～(30)确定。

特别地,若u(x0,x1,y,0)=b，α=1时,近似解是

3 没有外力的膜振动问题

此时

其中γ1,γ2由式(29)～(30)确定。特别地，当α=2 时，

4 结 论

当0 ＜α ≤1时，方程(1)～(3)是侧面绝热的薄片热传导问题，该近似解是

当1 ＜α ≤2 时，方程(1)～(3)是没有外力的膜振动问题，该近似解是

其中γ1,γ2由式(29)～(30)确定。