资产价格泡沫行为固定窗宽滚动检验研究

张 力，江海峰

(安徽工业大学商学院，安徽马鞍山243032)

资产价格泡沫行为通常表现为价格序列出现异常递增现象，这在经济领域和金融市场中表现得尤为突出。最早经济泡沫现象源于荷兰“郁金香效应”，发生于1634—1637年，而1997年的东南亚金融危机则源于房地产市场的泡沫行为。资产价格泡沫行为对经济造成极大危害，已成为各国政府关注对象，因此检验资产价格是否存在泡沫行为成为理论研究的重要议题。早期Diba等[1]利用协整理论检验泡沫行为，但Evans[2]指出这种方法不能有效识别周期性泡沫行为。泡沫形成往往表现为序列存在激增行为，Phillips等[3-4]利用标准单位根检验方法，使用右检验代替左检验来识别泡沫行为，先后提出SADF(sup augmented Dickey Fuller)和GSADF(generalized sup augmented Dickey Fuller)检验量。国内外学者纷纷利用这两种检验量考察不同资产价格序列泡沫行为，其中以股票市场和房地产市场的泡沫行为检验研究最多。齐亚会[5]、葛爱梅[6]、孙洁[7]、Chang等[8]、Liu等[9]分别以中国沪、深股票市场为研究对象，采用GSADF检验量，均在不同时期检测到股票价格泡沫成份的存在。Liu[10]采用房价收入比、房价租金比两个指标研究中国35个大中型城市房地产市场运行状况，同样采用GSADF检验量检测到泡沫行为。胡毅[11]以中国4个一线城市2010年6月至2016年11月的房地产平均价格为研究对象，采用GSADF检验量，识别出两个泡沫周期。张凤兵等[12]基于SADF和GSADF检验发现中国房地产市场存在多重泡沫和泡沫层级扩散现象，表现为一、二线城市泡沫反弹、三线城市泡沫结束迹象。上述两种检验方法假设资产价格xt数据生成模型如式(1)。

其中：T 为样本容量；η ＞0.5；εt～iid(0,σ2)，这里iid 是独立同分布(independent and identical distribution)的缩写；d 为常数。估计模型为

图1 SADF滚动检验取样过程Fig.1 Sampling process for SADF rolling test

r1、r2分别表示估计模型时使用样本起止时间对应的样本比例，αr1,r2、ρr1,r2、φr1,r2分别为该样本比例对应的截距项、单位根项和差分项对应的参数。使用检验假设H0:ρr1,r2=0,H1:ρr1,r2＞0。记为r 与T 乘积的整数部分，使用对应样本的ADF 检验量设为，SADF 方法固定第一个观测为初始点，初始样本容量为，其中r0为初始窗宽，具体取值取决于样本容量T。以后估计每次递增一个样本点，即有r1+r0=r2，而r2∈[ ]r0,1，其样本选取过程如图1 所示，其中rw表示实际估计对应的窗宽。GSADF 方法则进一步允许初始样本比例r1也能发生变动，其取样过程如图2所示。

在上述两种取样下，分别得到两种上确界检验量SADF和GSADF如下：

图2 GSADF滚动检验取样过程Fig.2 Sampling process for GSADF rolling test

不难发现，SADF和GSADF检验方法有两个显著特征：第一，方法的窗宽始终变化，没有考察不变窗宽的检验模式；第二，两种方法检验过程只涉及到单位根项的检验，忽略了检验模型(2)中截距项αr1,r2=0 是否成立。笔者在研究文献时发现，所有应用研究无一例外都采用默认做法，即直接使用模型(2)检验单位根项。为丰富泡沫检验理论，本文首先引入固定窗宽滚动检验过程，虽然Chong等[13]也提到这种检验，但既没有从理论上研究该检验量的分布，也没有从模拟角度考察检验效果。其次，特征二可能会引起模型误设，这是由于两种检验方法均事先假设数据生成为包含截距项的单位根过程，但实证分析中必须要通过假设检验才能确定，如果截距项为零，则需要采用无截距项的回归模型，此时误用模型(2)，则会降低检验功效。综合这两点，本文一方面引入固定窗宽滚动检验模式，另一方面给出截距项是否为零的检验过程。

1 固定窗宽滚动检验量

1.1 固定窗宽滚动检验取样

设固定窗宽滚动检验量为FSADF，窗宽rw=r0，其取样过程如图3。第一次估计使用第一个观测至第个观测，第二次估计使用第二个观测至第+1 个观测，以此类推，直到终止样本点为T。在此过程中始终有r0=r2-r1，确保在整个估计过程中始终使用个观测，从而有r1∈[0,1-r0]成立。

图3 FSADF滚动检验取样过程Fig.3 Sampling process for FSADF rolling test

1.2 固定窗宽滚动检验量分布

若数据生成为

由于ADF 模式和DF 模式的t 检验量分布完全相同，为方便起见，本文以DF 模式来推导有关检验量分析，估计模型分别为：

分别估计上述模型，构建假设为：H01:ρ1=1,H11:ρ1＞1;H02:ρ2=1,H12:ρ2＞1;H03:α=0,H13:α ≠0。记分别表示使用个样本回归时，模型(4)和模型(5)中3个假设检验构建的t 检验量，即有

其中se(.)表示估计量的标准误差。根据张晓峒等[14]的结论，在原假设成立时有：

其中W(s)为标准维纳过程，因此上述检验量在大样本下都收敛到维纳过程的泛函。记固定窗宽滚动回归检验量分别为则有：

这里使用了条件r1+r0=r2。需要说明的是，由于假设H03:α=0 是双边检验，而经典资产价格泡沫检验方法都是右检验，因此必须要将检验量取平方处理，然后再对平方后的检验量取上确界函数sup。由上确界的性质和连续映射定理可知，上述检验量分布在大样本下是成立的。

1.3 固定窗宽滚动检验泡沫起止期识别

检验出泡沫之后，还需进一步确定泡沫发生的起止时期。以模型(4)为例，假设在某个终点时刻对应的ADF 检验值为，记蒙特卡洛模拟得到该时刻点的临界值为，其中βT表示特定的显著性水平，Phillips等[3-4]指出，有限样本的实证分析通常取βT=0.95，显然，该临界值也取决于样本容量T。当，首次超过模拟的临界值时，表示泡沫起点出现，记为首次小于模拟的临界值时，表示泡沫结束，记为。因此，泡沫的起始和终止节点表示为：

为防止泡沫行为误判的发生，一般假设泡沫应该持续一定的时间。在式(7)中，泡沫持续的最小周期用τ log(T)/T 表示，τ 表示与频率相关的参数，对于月度数据取5。

2 蒙特卡洛模拟

由于上述检验量具有非标准的分布，且与估计窗宽参数r0有关，不能直接用于实证分析，为此通过蒙特卡洛模拟得到特定参数的临界值。本文借鉴Phillips等[4]的参数设定方法，考察样本容量T 分别为100、200、400，r0分别为0.1、0.2和0.4，选取5种参数组合进行模拟。设定模拟次数为10 000次，扰动项εt～iin(0,1)，其中iin表示独立正态同分布。对右检验，分别考察90%、95%和99%显著性水平的临界值；对双边检验，考察1%、2.5%、5%、10%、90%、95%、97.5%和99%显著性水平的临界值。表1至表3分别给出了三个检验量临界值模拟结果。表1显示，当样本容量固定时，模拟临界值随着参数r0的减小而增大，以95%显著性水平临界值为例，固定样本为400，当r0分别为0.4、0.2 和0.1 时，临界值分别为2.516、2.937 和3.625。当固定参数r0时，临界值随着样本增大而增大，仍以95%显著性水平临界值为例，固定参数r0为0.4，当样本分别为100、200和400时，临界值分别为2.466、2.482和2.516。类似地，上述规律对其它两个临界值也同样成立，由表2，3可得同样结论。对比表1和表2可以看出，当样本容量和参数r0相同时，在各个临界值下都有大于。

表1 不同样本容量和窗宽参数组合下的临界值Tab.1 Critical values of with different combinations of sample size and window width

表1 不同样本容量和窗宽参数组合下的临界值Tab.1 Critical values of with different combinations of sample size and window width

显著性水平/%90 95 99 T=100,r0=0.4 2.121 2.466 3.122 T=200,r0=0.4 2.126 2.482 3.127 T=400,r0=0.4 2.157 2.516 3.175 T=400,r0=0.2 2.595 2.937 3.535 T=400,r0=0.1 2.956 3.625 3.872

表2 不同样本容量和窗宽参数组合下的临界值Tab.2 Critical values of with different combinations of sample size and window width

表2 不同样本容量和窗宽参数组合下的临界值Tab.2 Critical values of with different combinations of sample size and window width

显著性水平/%90 95 99 T=100,r0=0.4 0.958 1.279 1.876 T=200,r0=0.4 0.992 1.297 1.897 T=400,r0=0.4 1.037 1.355 1.910 T=400,r0=0.2 1.384 1.629 2.159 T=400,r0=0.1 1.658 1.901 2.418

表3 不同样本容量和窗宽参数组合下tf(r0)的临界值Tab.3 Critical values of tf(r0) with different combinations of sample size and window width

3 实证分析

为和已有方法进行对比，也为确定检验模型中是否含有截距项，接下利用调整后的纳斯达克指数进行实证分析，采用Phillips等[4]的研究数据，起止时间段为1973年1月至2013年8月共488个数据，设定显著性水平为0.05，窗宽参数r0分别为0.4、0.2、0.1，检验过程如表4所示。由于样本容量为488，因此需要重新模拟计算临界值，结果如表4第五行至第七行所示，其中tf(r0)取2.5%和97.5%两个临界值作为95%的置信区间。表4显示，利用模型(5)进行检验，在三种窗宽参数下，有计算值均大于各自对应的临界值，因此拒绝原假设，表示存在泡沫行为。进一步检验发现，三种窗宽参数下截距项检验量tf(r0)值都落在2.5%至97.5%置信水平的临界值区间内，表明模型(5)中的截距项与零没有显著差异，故剔除截距项，再次利用模型(4)进行检验，此时在三种窗宽参数下的计算值都大于各自对应的临界值，因此也拒绝原假设，在0.05的显著性水平下存在泡沫行为。表4还给出了SADF检验模式下检验结果，由于SADF没有提供截距项是否为零的检验量，因此这里只给出截距项为零的检验模式。表4中ts(r0)对应在三种窗宽参数下的检验量值均约为7.582，而在0.95显著性水平下的临界值分别为2.894、2.589和2.340，均有检验量值大于临界值成立，因此SADF检验模式也表明存在泡沫行为。

表4 纳斯达克指数固定窗宽泡沫检验结果Tab.4 Bubble test for NASDAQ index with fixed window width

依据r0=0.01+1.8/ T，可知r0取值约为0.09，本文取0.1，作为对比，本文同时给出FSADF和SADF两种检验模式下的泡沫识别结果，起止时期识别如图4，5。图4，5中，最上面的曲线表示纳斯达克股指序列，中间较为平缓的曲线表示识别泡沫起止期的临界值，最下面的曲线表示FSADF和SADF检验量值。图4显示，在整个样本期内，检验量值多次越过临界值，但依据τ log(T)/T 得到泡沫持续最小周期为13个月，据此判断得到一个完整的泡沫周期为1999年1月至2000年9月，这与本世纪初发生的美国互联网泡沫相吻合。进一步地，图5的SADF检验也显示存在一个显著的泡沫周期，且泡沫周期起止点和FSADF检验识别结果非常相近，说明固定窗宽滚动检验方法在识别数据生成过程的同时，也能够检验泡沫行为。

图4 FSADF泡沫周期识别Fig.4 Bubble period identification based on FSADF

图5 SADF泡沫周期识别Fig.5 Bubble period identification based on SADF

4 结 论

本文通过引入固定窗宽滚动检验模式，导出两种检验模式下泡沫行为检验量在大样本下的分布，以及检验截距项是否为零检验量的分布，结果显示检验量在大样本下都收敛到维纳过程的泛函，但与经典单位根对应检验量分布不同，需要重新利用蒙特卡洛模拟方法获得特定参数组合下的临界值。当利用调整的纳斯达克指数收盘价序列进行实证研究时，三组窗宽参数检验结果都表明不可以使用含截距项的检验模型。泡沫起止期识别结果与实际情况高度吻合，且与SADF检验模式结果相近。因此，在进行泡沫行为识别时，也可以使用固定窗宽滚动检验模式，同时应该对检验模型的形式进行选择。本文一方面丰富了泡沫检验理论，也为实证检验泡沫行为提供参考。