估算中的替换及其判断标准

【摘   要】估算和通常的计算，心理需求是有差异的。通常的计算主观意愿追求的是准确，在此基础上尽量简捷。而估算的主观意愿是达到情境中的目的。估算通常采用不等值替换的做法，并没有对错之分，只有“行不行”和“好不好”的差别，“行不行”的标准是看是否达成意愿，“好不好”的标准是看是否简捷。

【关键词】估算;海明威;小说;主观意愿

美国著名作家海明威（Ernest Miller Hemingway，1899—1961）在小说《一天的等待》（A Days Wait）中，讲述了一个父亲和儿子的故事。儿子生病发烧至华氏102度，曾经在法国生活学习的儿子误认为自己即将死亡，因此一天都郁郁寡欢，等待死亡的来临。根源就在于儿子所熟悉的摄氏温度度量（Centigrade），与美国通用的华氏温度度量（Fahrenheit）相混淆。而父亲并不知道这一点，想尽办法让儿子开心，但都不能如愿，所有故事情节因此而展开[1]。

摄氏温度度量是将冰点规定为0度，沸点规定为100度。而华氏温度是将冰点规定为32度，沸点规定为212度。如果父亲一开始就能让儿子知道二者之间的换算关系，“一天的等待”这个故事也就不会发生了。

为了研究摄氏温度与华氏温度的关系，用字母C和F分别表示摄氏温度和华氏温度，两者的关系可以用图1表示出来。

[C： 冰点 0-------------------                                                                                                                              100度沸点100F： 冰点32-------------------                                                                                                                              180度沸點212]

图1   温度度量示意图

从图1不难看出，摄氏100度相当于华氏180度，或者摄氏1度相当于华氏1.8度。如果已知华氏温度，可以用公式[C=（F-32）÷1.8]求出摄氏温度。比如故事中的华氏102度，代入公式可以计算出相应的摄氏温度约为38.89度。

[C=（102-32）÷1.8   =70÷1.8   ≈38.89（度）]

如果已知摄氏温度，可以用公式[F=C×1.8+32]求出华氏温度。比如正常体温为摄氏36.5度，代入公式可以计算出对应的华氏温度为97.7度。

[F=36.5×1.8+32   =97.7（度）]

现在的问题是，如何在“无纸、无笔”等任何计算工具的情况下，相对准确、快捷地估算出结果？

比如把华氏102度转换为摄氏温度，关键在于如何估算[70÷1.8]。容易想到的做法是将1.8替换为2，得到结果是摄氏35度。这个结果不能令人满意，发烧时摄氏温度通常应当大于37度。说明这样的替换不适用于此时的情境，没有达成转换的意愿。此情此景用2替换1.8进行估算是不可行的。

如果把1.8改变为分数形式，用[95]替换，这样[70÷1.8]就变为[70×59]。一种估算的做法是：

[    70×59=70×59=3509]

=[360-109]

=[40-109]

≈[40-1010]

=[40-1]

=[39]（度）

这个结果与38.89非常接近，仅相差0.11，也符合摄氏温度下发烧的情境，因此可以说达成了估算的意愿。其中出现了多次替换，最为重要的是将350替换为“360-10”，目的是凑出9的倍数360，进而可以得到整数40。另外就是用“[1010]”替换了“[109]”，使得计算简捷。得到的估算结果摄氏39度基本符合“无须准确、追求简捷、达成意愿”的估算要求[2]。另外一种估算做法可以是：

[    70×59=70×4.5+0.59=70×（12+0.59）=70×（12+118）≈70×（12+120）=35+3.5=38.5（度）]

这一结果也很接近实际结果的无限循环小数[38.8·]度。其中有两次替换至关重要，第一次是将5替换为“4.5+0.5”，目的是得到[12];另一次是将[118]用[120]替换。这样一方面误差很小，另一方面使得计算简捷，如果计算出70的[12]是35，那么70的[120]就是3.5。完全可以实现在没有纸笔等工具的情境下，心算出结果。真正实现“无须准确、追求简捷、达成意愿”的目的。

下面再来讨论从摄氏温度转换为华氏温度的做法。比如前面将摄氏温度36.5度转换为华氏温度，关键是如何简便计算[36.5×1.8]。

如果将1.8用“2-0.2”替换，那么[36.5×1.8]就成为[36.5×（2-0.2）]，计算过程为：

[    36.5×1.8+32=36.5×（2-0.2）+32=36.5×2-36.5×0.2+32=73-7.3+32=70-4.3+32=65.7+32=97.7（度）]

这个过程并不是估算，但想法和估算类似。为了便于心算，将1.8用（2-0.2）替换，其中36.5的2倍容易计算得73，由于0.2是2的[110]，从而立刻知道36.5的0.2倍是73的[110]，也就是7.3。

在计算73-7.3时，利用减法的差不变性质，也就是“被减数和减数同时增加或减少相同数，则差不变”。将被减数73和减数7.3同时减少3，那么73-7.3就变为70-4.3，二者的差相等，都是65.7。这样改变的好处是将被减数变为整十数，更容易心算出结果。

综上，估算和通常的计算，心理需求是不一样的。通常的计算主观意愿追求的是准确，在此基础上尽量简捷。而估算的主观意愿是达到情境中的目的，海明威小说《一天的等待》中，如果父亲一开始就能说出华氏102度大约等于摄氏38度多，不到摄氏39度，应当是对儿子最好的安慰，此时估算的目的是知道发烧的程度。

因此，估算做法并没有对错之分，只有“行不行”和“好不好”的差别，“行不行”的标准为是否达成意愿，“好不好”的标准为是否简捷。因此，估算教学不能脱离情境以及情境中人所需要达成的意愿，也就是说，估算教学仅关注做法是不够的，更要关注想法。

参考文献：

[1]厄内斯特·海明威. 一天的等待[EB/OL]. （2018-09-26）[2019-10-27].https：//wenku.baidu.com/view/7b7604d7ed3a87c24028915f804d2b160b4

e869f.html.

[2] 郜舒竹，劉莹，王智秋.“估算”在数学课程中的矛盾分析[J].课程·教材·教法，2013，33（01）：52-60.

（首都师范大学初等教育学院   100048）