求几何最值，看转化策略

张照国

在全国各地近几年的中考中，平面几何最值问题经常受到命题者关注。几何中的最值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量发生变化，或几何元素的某些几何性质或位置关系发生变化，其中每个确定量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或者最小值。由于这类问题具有极强的探索性，且目标不一定明确。此类问题的频繁出现，让很多同学束手无策，望而生畏。其实解最值问题的关键是结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题转化或化归为相应的数学模型进行理解与分析，一般都能找到相关的解决办法。求几何最值常见的基本方法：1.特殊位置与极端位置法;2.几何定理（公理）法;3.数形结合法等。现结合近年中考试题特点进行剖析，希望能给大家一些启示与帮助。

4.用转化，化立体为平面

例4 圆锥底面半径为10cm，高为10 cm，

（1）求圆锥的表面积;

（2）若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离。

思路点拨：利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积;蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A到M的最短距离（即AM的长）。

注：对于立体图形中要计算圆锥曲面上两点之间的最短距离，一般把立体的圆锥的侧面展开成扇形，转化为平面图形借助线段公理计算。将立体图形转化为平面图形是初中阶段常用的基本方法与思想。

5.引参数，化几何为代数

例6 如图，在△ABC中∠B=90?，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动.当t为何值時， △PBQ的面积S最大，最大值是多少？

思路点拨：设时间为t，则PA=2x，BQ=4x，建立S，x的关系式，运用代数的方法求S的最大值.

注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素之间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解。常见的解题途径是：（1）利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值;（2）构造二次函数求几何最值。