利用三线合一 巧做辅助线

赵艳红

摘 要 初中数学中的几何问题經常需要添加辅助线。解析等腰三角形的三线合一问题时，当发现三线中具备两线时，巧做辅助线，构造等腰三角形，然后利用全等、相似或者中位线等去解决问题。

关键词 三线合一;三线中具备两线;构造等腰三角形

中图分类号：G632

文献标识码：A

文章编号：1002-7661（2019）26-0164-01

初中几何解题指导，要善于利用辅助线，总结解题规律，做到举一反三，收到触类旁通之效。

初中学生在解析数学中的几何题型时，经常出现绞尽脑汁、冥思苦想，却怎么也想不出一点思路的情形。其实，解几何题并不那么难，也是有规律可循的。许多看起来似乎极难、毫无思路的几何题型，有时只需巧做一条小小的辅助线，便会让处于山穷水尽地步的学生，解题思路出现柳暗花明，一下豁然开朗。下边就以几何题型三线中如果遇到两线为例，讲析一下如何巧做辅助线，如何让难题变难为易，迎刃而解，并总结一下解题思路与规律。

典例：点D是△ABC内一点，AD⊥CD于D，AD平分∠BAC，E是BC中点，连接DE，若AB=13，AC=7。求DE的长度。

分析：在这个问题中，AD具备了平分一个角，与CD垂直这两个条件，那么延长CD与AB相交于点F，根据等角的余角相等，很容易证出△AFC是等腰三角形，AF=AC=7，再利用三线合一，得出D是CF中点，DE就是△FCB的中位线，就可以得到DE=3。

变式一：△ABC中，AC=BC，∠C=90°点D是△ABC外一点，AD⊥BD于D，AD平分∠BAC交BC于点F，求证：BD=AF.

提示：AD依然是三线中具备了两线，延长BD与AC延长线交于点P，构造出等腰三角形，得到BD=BP，再利用全等证明AF=BP即可。

变式二：梯形ABCD，AD∥BC，BE⊥CD于E，BE平分∠ABC，DE是CE的一半，△BEC的面积是2，求四边形ABED的面积。

提示：根据做辅助线规律构造出等腰三角形，再利用相似知识求解。

变式三：平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠BCD的外角平分线CE⊥DE于E，BC=6，AB=4，求OE的长度。

提示：根据规律构造出等腰三角形，得到三角形的中位线求解。

总结：在一个三角形中，只要有两个条件存在就可以， 即（高线，中线，角平分线）中随意两个条件，那么这个三角形为等腰三角形。通过前面几个问题，我们想到等腰三角形三线合一的逆命题也是正确的：

（1）如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

（2）如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

（3）如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。因为课本中没有以定理出现，所以考试的证明题中如果遇到一定要证明一下，不可直接使用。

可以自己试着做一下以下两个题目：

1.已知：AD是△ABC斜边上的高，∠BAC=90°，∠ ABD的平分线交AD于点M，交AC于点P。∠CAD的平分线交BP于点Q.

求证：△QAD是等腰三角形。

2.△ABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，求证：MN∥BC。

题海无涯，特别是数学题千变万化，但万变不离其宗，不管题型如何变化，总蕴含一定的规律在其中。只要用心思考和学习，掌握了做题的技巧和规律，问题就会很容易被解决，既能享受到做出难题的乐趣，更会留下深刻印象。根据问题中的已知条件，做出合适的辅助线，为学生开拓了一个广阔的思维空间，做辅助线过程中也让学生认识到化归的思想，从而达到融会贯通的目的。