一道高考试题的多维视角探析

张伟志

高考命题从能力立意转向素养的考查，重点不再是常规的解题技巧，而是侧重于学生的探究能力、创新能力和迁移能力.2019年全国卷Ⅰ第17题看起来很常规，入口较易，事实上却超凡脱俗、丰富多彩，有较大的探究空间和教学价值，下面我们就结合此题的探究和拓展，谈一下核心素养导向下高三复习的一点点想法和建议.

2019年高考数学试题全国卷（Ⅰ）第17题为：

△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c.设（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

（Ⅰ）求A;

（Ⅱ）若2a+b=2c，求sinC.

在第（Ⅰ）问中，可以考虑特殊情况，当A=B=C=π3时，题设中的恒等式显然成立，不难猜出A=π3.具体解法如下：

利用正弦定理可将（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC化简为（b-c）2=a2-bc，整理可得：bc=b2+c2-a2.

由余弦定理知：cosA=b2+c2-a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3.

点评 第一问入口比较简单，大部分同学都会运用正弦定理，把已知条件转化成边的关系，然后结合余弦定理得出结果，此解法较为简洁流畅.当然也可以运用三角恒等变形直接得出结论，但相比上述方法计算较为繁琐，此处不再赘述.

（Ⅱ）视角1 代数法

代数法研究图形的几何运算和性质是解三角形的本质.由于已知条件纯粹是三角形的边角关系，因此，利用三角形内角和定理及常规的三角公式，并巧妙运用转化化归的思想，使问题迎刃而解.

方法1 转化的思想

由（Ⅰ）可知sinA=32，cosA=12.

2a+b=2c等价于：22sinA+12sinB=sinC，

即22sinA+cosAsinB=sin（A+B），整理得22sinA=sinAcosB，由于sinA>0，所以cosB=22，得B=π4.所以sinC=6+24.

点评 常规的思路是转化为关于sinC的一元二次方程，计算量较大，灵活运用三角形内角和定理和特殊角的三角函数值，转化化归，先求出B=π4，大大地减少了运算量，思路非常巧妙.

方法2 构造的思想

同方法一可得：22sinA+12sinB=sinC，转化为：

22×32+12sin（C+π3）=sin[（C+π3）-π3]，即22×32+12sin（C+π3）=12sin（C+π3）-32cos（C+π3），得cos（C+π3）=-22.

由0 所以sinC=6+24.

点评 构造特殊角C+π3，巧妙地绕开了关于非特殊角C的繁杂运算，使问题得以简化，收到了良好的效果.

方法3 向量的思想

由（Ⅰ）可知cosA=12.

令AB=c， BC=a，AC=b，而2 │a│=2│c│-│b│可化为：2（b-c）2=（2│c│-│b│）2，2│b││c│=2│c│2-│b│2.

将cosA=b2+c2-a22|b||c|=12，代入上式得2a2=3b2.可设|a|=3k，

|b|=2k，易得|c|=6+22k，由正弦定理得sinC=|c||a|sinA=6+24.

点评 向量是实现数与形完美结合的有效途径，是解决数学问题的一把利剑，在解三角形问题中巧妙地构造向量，往往可以达到一种 “曲径通幽”的效果.

视角2 几何法

本题的背景是几何三角形问题，自然可以采用平面几何知识进行求解.而学生往往会忽略三角形的几何本质，选择较为复杂的三角恒等变形知识来解决此题.

方法4 数形结合的思想（以形助数）

如图1，作CD⊥AB，垂足为D.

由题意：c=12b+22a，而AB=AD+DB，AD=b·cosA=12b，则DB=BC·cosB=22a，所以cosB=22，得B=π4，C=5π12，所以sinC=6+24.

点评 利用平面几何知识，构造直角三角形，数形结合，返璞归真，润物细无声地实现了初高中数学知识的衔接.

视角3 坐标法

由于利用三角恒等變形解决此问题时，牵扯的公式较多，部分学生可能出现因遗忘公式而思路受阻的现象，而坐标法可以避免这种状况的发生，学生会有一种柳暗花明又一村的感觉.

方法5 数形结合的思想（以数释形）

如图2，以C为原点，以CA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，令CB=1，∠BCA=θ，以点C为圆心作单位圆，作BD⊥CA，垂足为D，则B（cosθ，sinθ），BD=32c=sinθ，AD=12c，CD=cosθ，CD=AC-AD，即cosθ=b-12c.

将b=2c-2代入上式得：cosθ=32c-2.

在RT△BCD中， CD2=BC2-BD2，即cos2θ=1-32c2，可得32c-22=1-32c2，解得c=32±66，由于c=12b+22>22，所以c=32+66，所以 sinθ=32c=6+24，即 sinC=6+24.

点评 本题以C为原点建立直角坐标系，结合三角函数的定义，构造出关于c的一元二次方程，使问题得以解决，该做法很好得体现了坐标法在解决平面几何问题中的优越性.

新考纲区别于以前的主要表现在从数学思想方法、能力以及科学与人文素养三个方面提出要求，注重引导一线教师积极更新理念，削弱重知识轻能力给学生发展带来的负面影响.因此，在教学中引导学生发挥主观能动性，开创性地解决问题，尤为重要.