掀起“你”的盖头来

刘美良 林威

2019年浙江高考数学试卷依然保持了“起点低、坡度缓、层次多、区分好”的命题思路，秉承“简约，朴实、灵动”的命题风格，系统全面考查了高中数学的基础知识，多角度、多层次地考查了高中数学的基本技能、方法、思想，深度考查了数学运算等核心素养，反映了新课程的改革方向＼[1＼].各类题型载体简单、蕴含丰富，给人以自然、流畅，质朴、和谐的深刻印象.其中第21题抛物线问题，涉及变量多，运算量大，命题立意高、构思巧，具有较为丰富的背景知识，凸显了解析几何核心思想，考查学生推理能力、数学运算能力、既体现了数学本质，彰显了对数学核心素养的考查要求，又让人感受到了命题者的独具匠心.本文拟从多个维度，从解析入手，历经发现与推广，探究几何背景，从几何结构中发现数量关系的不变性.

1 考题解析

（2019浙江高考第21题）过焦点F（1，0）的直线与抛物线y2=2px交于A，B两点，C在抛物线上，△ABC的重心P在x轴上，AC交x轴于点Q（点Q在点P的右侧）.

（1）求抛物线方程及准线方程;

（2）记△AFP，△CQP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值及此时点P的坐标.

评析 试题表述简洁、背景新颖、一题带两问，有定量运算，也有变化的控制.考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式等基础知识，又充分体现转化与化归、函数与方程等数学思想在解题中的运用.因涉及多个点，多条线，使得多元变量相互纠缠，“化不了，消不掉”成为考生的最大困惑！所以，在明晰运算对象的基础上，探究运算方向、选择运算方法，有序推进运算是本题的一大亮点.

解析 （1）y2=4x，准线方程x=-1.

（2）方法1 设线

设AB的直线方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）.

y=k（x-1），

y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

所以x1+x2=2+4k2，x1x2=1，进一步y1+y2=k（x1+x2-2）=4k，y1y2=-4，所以y1-4y1=4k，k=4y1y21-4.不妨设C（x3，y3），xP=13（x1+x2+x3）=13（2+4k2+x3）.

因为yP=13（y1+y2+y3）=134k+y3=0，解得y3=-4k，则x3=14y23=4k2，所以xP=132+8k2，kAC=y1-y3x1-x3=4y1+y3，lAC：y-y3=4y1+y3（x-x3）.

令y=0，得xQ=x3-14（y23+y1y3）=-14y1y3>1.

S1=12FP·y1=12y1×138k2-1，

S2=12QP·y3=12y3·-14y1y3-83k2-23=2k·y1k-23-83k2，

S1S2=y18k2-1k43y1k-2-8k2=y1k8-k243y1k-2k2-8

=2y21y21-2y21-4y21+4=2-4（y21-8）y41-16=2-4（y21-8）+48y21-8+16≥2-4248+16=1+32.

当且仅当y21=11-2+34=42-3=4（2+3）时等号成立，解得：y1=2+6.

4k=y1-4y1=22，所以1k2=12，

即xP=132+8k2=2.

方法2 设线

（2）设A（y214，y1），B（y224，y2），C（y234，y3），由重心坐标公式得y3=-y1-y2，所以C（y1+y2）24，-y1-y2，P（y1+y2）2-y1y26，0.

根据对称性，下设y1>0，

直线AC方程：y-y1=4y1+y3（x-y214），

即y=4y1+y3x+y1y3y1+y3，

令y=0，则xQ=-y1y34=y21+y1y24.

设AB直线方程：x=my+1（m≠0，若m=0则y3=0不符合题意）.

由x=my+1，

y2=4x，y2-4my-4=0，

则y1+y2=4m，y1y2=-4，y1=2m+2m2+1.

下面重新改写相关点坐标：

P8m2+23，0，Qy214-1，0，y3=-4m，

由题知Q在P右侧，则8m2+23>1m2>18.

S2=12|QP|·|y3|=12y214-1-8m2+23·4|m|=4|m|·mm2+1-m2+13

S1S2=（8m2-1）（m+m2+1）4|m|·|3mm2+1-（m2+1）|

=（8m2-1）（m+m2+1）4|m|m2+1·|3m-m2+1|

=（8m2-1）（4m2+1+4mm2+1）4|m|m2+1·（8m2-1）

4m2+14|m|m2+1+1=4m2+1433m2（m2+1）+1

≥4m2+1433m2+（m2+1）2+1=32+1.

当且仅当3m2=m2+1，即m2=12时取等号，此时P（2，0），S1S2的最小值为32+1.

评析 解析几何常见方法是设点设线，很多同学总是舉棋不定，实则两者本相通，重要的是理清变量之间的关系，具有过硬的运算功底，不畏艰难的精神.不难看出，将多变元转化为单个变量，不仅仅是一种解题意识，更是一过硬的能力！需要具备的扎实的运算功底方能彻解.

方法3 设点

因为y2=4x，设A（t2，2t），由焦点弦性质得：xAxB=1，所以B1t2，-2t，C2t-2t2，2t-2t，

此时P2t2+2t2-23，0，|PF|=2t2+2t2-53.

利用A，Q，C三点共线，得2t-2t-2tt2-1t-t2=2t-0t2-xQ.

解得Qt2-1，0，所以|PQ|=t2-1-2t2+2t2-23

=t2-2t2-13.

S1S2=PFPQ·yAyC=2t2+2t2-5t2-1-2t2·2t21t-t

=2t4-5t2+2t2t4-t2-2t2-1.

令fx=2x2-5x+2xx2-x-2x-1

=x-22x-1xx-2x+1x-1=2-x-2x2-1.

=2-1x-2+3x-2+4≥2-123+4

=2-2-32=1+32.

当且仅当x-22=3，解得x=3+2，

即t2=3+2.

代入得：2t2+2t2-23=2，所以P2，0.

方法4 设点

设A（a2，2a），B（b2，2b），C（c2，2c），Q（t，0）.

由A，F，B三点共线：2a-2ba2-b2=2aa2-1ab=-1.

因为P为△ABC的重心，

yP=2a+2b+2c3=0a+b+c=0.

由A，Q，C三点共线：

2a-2ca2-c2=2aa2-tt=-ac，所以Q-ac，0.

xP=a2+b2+c23<-aca2>2b2-aba2>21a2+1a2>2.

因为S△ABP=S△APC，且S△AFPS△ABP=AFAB，S△CPQS△ACP=CQCA.所以S1S2=AFAB·CACQ=2a2a-2b·2a-2c2c=a2-acac-bc=a2+aa+ba+ba-b=2a2-1a2-1a2.所以S1S2=2a4-a2a4-1=2-a2-2a4-1.

令a2-2=m>0，则有S1S2=fm=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-123+4=1+32，当且仅当m=3时取等号.

故S1S2的最小值为1+32，此时a2=2+3，b2=2-3，c2=2，点P的坐标（2，0）.

方法5 设点

设Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，易得：y1y2=-4，y1y3=-4xQ，y1+y2+y3=0.

所以xQ=y1-4-y1+4y1>1，所以y21>8.

则S△AFPS△ABP=AFAB=y1y1-y2，S△CQPS△ACP=CQCA=-y3y1-y3.所以S△AFPS△CQP=y3-y1y1y1-y2y3=2+4y21-816-y41.

令t=y21-8，所以S1S2=2-4t+48t+16≥2-4248+16=1+32.

故当t=43时，S1S2取到最小值为1+32.

评析 设点的方式不同，但本质是相同的.通过三点共线，得到共线点之间的坐标关系，并将三角形的面积比转化为坐标关系，再依据抛物线y2=2pxp>0中过定点a，0的弦AB，则有xAxB=a2，yAyB=-2pa性质，实现坐标之间的转换.

方法6 设向量

设AF=λAB，AQ=μAC，因为AP=13AB+13AC=13λAF+13μAQ.

因为F，P，Q三点共线，所以13λ+13μ=1，所以1λ+1μ=3.因为λ，μ∈0，1，所以μ=λ3λ-1∈0，1，所以12<λ<1，所以S1S2=S△AFPS△CPQ=λS△APB1-μS△APC=λ1-μ=λ1-λ3λ-1=λ3λ-12λ-1.

令t=2λ-1∈0，1.所以S1S2=λ3λ-12λ-1=143t+1t+1≥1+32.

当且仅当λ=12+36时取到等号.

2 引申推广

方法6是从向量共线的性质，将S1S2表示为λ的函数关系，从中可以发现，抛物线方程及其焦点这一条件，只是一种“背影”，没有“背景”！

为此，可以将问题作第一次推广：

推广1 过焦点F的直线与抛物线y2=2px交于A，B两点，C在抛物线上，△ABC的重心P在x轴上，AC交x轴于点Q（点Q在点P的右侧），记△AFP，△CQP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

推广2 已知点A，B，C是抛物线y2=2px（p>0）相异的三点，△ABC的重心P在x轴上，AB，AC分别交x轴于点F，Q（点Q在点P的右侧），记△AFP，△CQP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

上述问题的解决思路如出一辙，即S1S2的值和点A，B，C所依托的曲线没有关系，其本质是曲线的内接三角形的几何结构决定数量关系的不变性.

为此，提出如下两个问题：

问题1 如图3，P是△ABC的重心，F，Q分别在边AB，AC上，且F，P，Q三点共线，记△AFP，△CQP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

图4问题2 如图4，在△ABC中，M是BC边上的任一点，P是AM上的任一点，过P任作一条直线交边AB，AC于F，Q，若AF=λAB，AQ=μAC，AP=zAM，BM=tMC.则①1λ+tμ=t+1z;②S△AFPSCPQ=λt1-μ.

推论1 当点M为AB的中点时，即当t=1时，则有1λ+1μ=2z.

推论2 当点P为△ABC的重心时，即当t=1，z=23时，则有1λ+1μ=3，S△AFPSCPQ=λ1-μ.

因此，2019年的高考试题正是推论2的具体呈现，撩开了这道试题的神秘面纱，有一种掀起盖头的欣喜！因此，可从A，B，C所依托的曲线设置不同的问题，但“貌离神合”，“形散而神不散”！这正是今年高考试题隐去的几何背景.

为此，可以将问题作第二次推广：

推广3 已知点A，B，C是抛物线y2=2px（p>0）上相异的三点，△ABC的重心P在x轴上，AB，AC分别交x轴于点F，Q（点Q在点P的右侧），记△AFP，△CQP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

推广4 已知点A，B，C是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上相异的三点，△ABC的重心P在x轴上，AB，AC分别交x轴于点F，Q（点Q在点P的右侧），记△AFP，△CQP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

推广5 已知点A，B，C是双曲线x2a2-y2b2=1（a>b>0）上相异的三点，△ABC的重心P在x轴上，AB，AC分别交x轴于点F，Q（点Q在点P的右侧），记△AFP，△CQP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值.（答案：1+32）

3 尝试编题

根据几何结构的不变性，可以编制如下问题：

問题3 过抛物线C：y=x2上的一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点Q在抛物线上，点E，F分别在线段AQ，BQ上，且满足AE=λEQ，BF=μFQ，线段QD与EF交于点P.

（Ⅰ）当点P在抛物线C上，且λ=μ=12，求直线EF的方程;（Ⅱ）当λ+μ=1，求S△PAB∶S△QAB的值.

答案：（Ⅰ）y=2x-4+36或y=2x-4-36

（Ⅱ）1∶3.

参考文献

[1] 沈新权，江战明 .2019浙江高考命题思路及试题评析[N].教育之江，2019-06-10.