活跃在2019高考中的“导数题”

导数思想丰富、内涵深刻、应用广泛，一直是近几年高考经久不衰的考查热点.无论是客观题还是解答题，试题的背景、结构、交汇更加丰富、更加活泼、更加新颖， 对学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学运算等核心素养进行了有效考查＼[1＼]. 下面介绍2019高考中丰富多彩的“导数题”，供参考.

1 考查函数图象的切线

例1 （新课标Ⅰ卷文理第13题） 曲线y=3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为

.

解析 因为y′=3（2x+1）ex+3（x2+x）ex=3（x2+3x+1）ex，

所以曲线在点（0，0）处的切线斜率k=3.故所求的切线方程为y-0=3（x-0），即y=3x.

评注 本题以超越函数为载体，主要考查函数的导数计算、导数的几何意义和曲线的切线方程，属于基础题.一般地，f′（x0）的几何意义是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率， 其切线方程可以表示为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），条件是（x0，f（x0））必须为曲线上的点.

2 考查函数的极值

例2 （江苏高考卷第19题）已知函数 f（x）= （x-a）（x-b）（x-c）， f′（x）为 f （x）的导函数. 若a≠b，b=c，函数 f （x）， f ′（x）的零点均在集合{-3，1，3}中，求 f （x）的极小值.

解析 当a≠b，b=c时，f（x）=（x-a）（x-b）2，

所以f′（x）=（x-b）2+2（x-a）（x-b）=（x-b）（3x-2a-b）=3（x-b）（x-2a+b3）.

当 b=-3，2a+b3=1，即a=3，b=-3时，f（x）=（x-3）（x+3）2，零点是-3，3，符合条件;

此时f′（x）=3（x+3）（x-1），f（x）的极小值是f（1）=-32.

当b=1，2a+b3=-3时，a=-5，不合题意;

当b=1，2a+b3=3时，a=4不合题意;

当b=3，2a+b3=1时，a=0，不合题意;

当b=-3，2a+b3=3时，a=6，不合题意;

当b=3，2a+b3=-3时，a=-6，不合题意.

故f （x）的极小值是-32.

评注 本题以三次函数为载体，主要考查三次函数的零点. 在已知函数零点取值范围的条件下，反过来确定函数解析式中的参数，再求函数的极值，要注意分类讨论，对照条件，逐一筛选. 像这种逆向设置的问题，在近几年的高考中常常出现，有一定的创新性＼[3＼].

3 考查参数的取值范围

例3（浙江高考卷第9题） 已知a，b∈R，函数f（x）=x，x<0，

13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0.若函数y=f（x）-ax-b恰有三个零点，则（）.

A.a<-1，b<0B. a<-1，b>0

C. a>-1，b>0D. a>-1，b<0

解析 函數y=f（x）-ax-b恰有三个零点，就是方程f（x）=ax+b有且仅有三个实数根，即曲线y=f（x）与直线g（x）=ax+b有且仅有三个交点.

图2f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-a）（x-1），f′（0）=a，f（0）=0.

当a<-1时，直线g（x）=ax+b的斜率小于-1，与曲线y=f（x）只有一个交点（如图1），排除A，B.

当a>-1时，如图2，可知在-10时，曲线y=f（x）与直线g（x）=ax+b不可能有三个交点，排除C，故选D.

评注 由于函数方程中涉及a，b两个参数，按“一元化”思路不少考生会一筹莫展. 可以运用“一分为二”思想，转化为两个函数f（x）和g（x）图象的交点个数问题.根据选择题的选择支提供的信息，结合分段函数的图象，迅速排除错误答案.注意特殊与一般的关系是一般寓于特殊之中.“命题在一般情况下为真，则在特殊情况下也为真”，“命题在特殊情况下为假，则在一般情况下也为假”.排除法、特殊化法是解某些非常规选择题的有效途径＼[2＼].

4 考查原函数零点的存在性

例4（新课标Ⅱ卷理科第20题） 已知函数f（x）=lnx-x+1x-1. 证明：f（x）有且仅有两个零点.

解析 因为 f（x）=lnx-x+1x-1=lnx-2x-1-1，x>0，且x≠1，所以f′（x）=1x+2（x-1）2=x2+1x（x-1）2>0.

因此f（x）在（0，1）和（1，+SymboleB@ ）内单增.

而f（e-2）=lne-2-2e-2-1-1=e2-31-e2<0，f（12）=ln12+4-1=3-ln2>0，所以f（x）在（0，1）内有且仅有一个零点.

又因为f（e2）=lne2-2e2-1-1=e2-3e2-1>0，f（2）=ln2-3<0，所以f（x）在（1，+SymboleB@ ）内有且仅有一个零点.

综上知，f（x）有且仅有两个零点.

评注 本题考查超越复合型函数的零点， 涉及到对数函数和分式函数的导数、导数处理函数的单调性与零点的特征等问题.零点存在定理告诉我们：若f（a）f（b）<0，则在（a，b）内至少有一个零点，但也可能有多个零点;若f（a）f（b）>0，则无法判断（a，b）内零点的个数.因此，解题中既要判定f（a）f（b）的符号，又要确定函数的单调性.

5 考查导函数零点的存在性

例5 （新课标Ⅰ卷文科第20题）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）是f（x）的导函数. 证明：f′（x）在区间（0，π）内存在唯一零点.

解析 因为f（x）=2sinx-xcosx-x，所以f′（x）=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1，f″（x）=

-sinx+sinx+xcosx=xcosx.

因为x∈（0，π）， 所以当x∈（0，π2）时，f″（x）>0，f′（x）单增;当x∈（π2，π）时，f″（x）<0，f′（x）单减.f′（x）在区间（0，π）内的最大值是f′（π2）=π2-1>0，f′（π）=-2.

函数f′（x）在（0，π2）内没有零点，在（π2，π）内有且仅有一个零点.

故f′（x）在区间（0，π）内存在唯一零点.

评注 证明f′（x）的零点，必须考虑f″（x）的符号，从而确定f′（x）的单调性和图象特征，其中f″（x）=（f′（x））′，即f（x）的二阶导数.判定f′（x）的零点还需要利用零点存在定理.

6 考查导函数极值点的存在性

例6 （新课标Ⅰ卷第20题）已知函数f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）是f（x）的导函数.证明：f′（x）在区间（-1，π2）内存在唯一极大值点.

解析 因为f′（x）=cosx-11+x，x∈（-1，π2），所以f″（x）=-sinx+1（1+x）2.

由f″（x）=0得，sinx=1（1+x）2.

画出函数y=1（1+x）2和y=sinx的图象，可知在区间（-1，π2）内两函数的图象有唯一交点，其横坐标是x0.

显然，当x→x-0时，sinx<1（1+x）2，f″（x）>0;

当x→x+0时，sinx>1（1+x）2，f″（x）<0.因此x0是函数f′（x）=cosx-11+x的唯一极大值点.

评注 本题跳出了过去常见的指数函数、对数函数、整式函数、分式函数的复合形式，而以三角函数与分式函数的复合型函数形式出现，这在近几年高考中尚属首次，给人耳目一新之感.由于三角函数的导数仍然是三角函数，因此利用导数研究其极值点有一定的难度.显然，f′（x）=cosx-11+x，f″（x）=-sinx+1（1+x）2=0的实数根无法直接求出，这让我们联想到：将方程-sinx+1（1+x）2=0“一分为二”成两个函数，利用函数y=1（1+x）2和y=sinx的图象的交点个数来处理问题，解题过程果然简单快捷＼[2＼].

7 考查不等式的证明

例7 （天津高考卷理科第20题） 设函数f（x）=excosx，g（x）为f（x）的导函数.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间;

（Ⅱ）当x∈π4，π2时，证明：f（x）+g（x）（π2-x）≥0;

（Ⅲ）设xn为函数u（x）=f（x）-1在区间（2nπ+π4，2nπ+π2）内的零点，其中n∈N.证明：2nπ+π2-xn     解析 （Ⅰ）易得f（x）的单调递增区间是2kπ-3π4，2kπ+π4（k∈Z），f（x）的单调递减区间是2kπ+π4，2kπ+5π4（k∈Z）.

（Ⅱ）记h（x）=f（x）+g（x）（π2-x）.

依题意及（Ⅰ）有，g（x）=ex（cosx-sinx），从而g′（x）=-2exsinx. 当x∈（π4，π2）时，g′（x）<0.所以h′（x）=f′（x）+g′（x）（π2-x）+g（x）（-1）=g′（x）（π2-x）<0.

因此，h（x）在区间π4，π2上单调递减，进而h（x）≥h（π2）=f（π2）=0，

即当x∈π4，π2时，f（x）+g（x）（π2-x）≥0.

（Ⅲ）因为xn为函数u（x）=f（x）-1的零点，所以u（xn）=f（xn）-1=0，即exncosxn=1. 令yn=xn-2nπ，则yn∈（π4，π2），y0=x0，且f（yn）=eyncosyn=exn-2nπcos（xn-2nπ）=e-2nπ（n∈N），f（y0）=f（x0）=1.

由f（yn）≤f（y0）及（Ⅰ）可知，yn≥y0.

由（Ⅱ）知，当x∈（π4，π2）时，g′（x）<0，所以g（yn）≤g（y0）     因为yn∈（π4，π2），所以由（Ⅱ）得，f（yn）+g（yn）（π2-yn）>0，所以π2-yn<-f（yn）g（yn）=-e-2nπg（yn）≤-e-2nπg（y0）=e-2nπey0（siny0-cosy0）     评注 本题以指数函数与三角函数的复合形式为载体，主要考查导数的运算、运用导数研究函数的性质、函数零点的意义、不等式的证明和坐标代换法等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想、抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力， 难度较大.

以上从7个方面对2019年高考导数选择题、填空题和解答题的考向进行了透视，充分体现了导数在处理函数、不等式、方程和切线等问题中的基本思想和方法. 不难看出，2019年导数高考题一个显著特点就是：加大了推理论证的考查力度，出现了不少的存在性问题和证明性问题，凸显了对数学的灵魂“推理”的高度重视.这给我们的信号是：数学教学必须加强逻辑思维、推理论证、理性精神的培育，回归数学的本质＼[1＼].

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准＼[M＼]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2] 李昭平.定曲线与动直线 ＼[J＼].中学数学研究，2018（12）.

[3] 李昭平.透视导数法处理函数问題中的分类讨论＼[J＼]. 中学数学杂志（高中），2019（3）.

作者简介 李昭平（1963—），中学正高级教师， 安徽省数学特级教师， 现为安徽省太湖中学副校长. 2006年获安庆市市长奖，2012年获安庆市人民政府特殊津贴，2013年获安徽省人民政府特殊津贴，2013年当选安徽省第九届科学技术代表大会代表，2016年2月被评为安徽省首批中小学教师培训专家库专家. 迄今为止，在国家级、省级具有CN刊号的报刊杂志上发表教育教学论文500余篇，在省内外进行名师交流讲座120多场.