通法求"(A/an)+(B/bn)"型结构的最小值

金霞 杜文发

一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题;能够促进学生思维的灵活性. 多题一解，能够加深学生的思维深度，分析问题时学会由表及里，抓住问题的本质，找出问题间内在的联系，能够检验学生思维的成熟性. 下面我们看一个问题的演绎：

若正数a、b满足a+b=1，求1a+2b的最小值.

师生能熟练的运用代数换元法、均值换元法、三角换元法、求导数法、柯西不等式、均值不等式（1的妙用）等解决.

下面就用均值不等式（1的妙用）统求“Aan+Bbn” 型结构的最小值.

知识点：

1.均值定理：n个正数的算术平均数不小于它的几何平均数.

2.二项式定理：（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn（n≥1，n∈N*，r=0，1，2，…n）.

基本问题 若正数a、b满足a+b=1，求1a+2b的最小值.

解 1a+2b=（1a+2b）（a+b）=3+ba+2ab≥3+22，当且仅当b=2a时等号成立. 所以1a+2b的最小值为3+22=（1+2）2，当且仅当b=2-2，a=2-1时取到.

结论 若正数a、b满足a+b=1，则Aa+Bb（A>0，B>0）的最小值为（A+B）2，当且仅当Ba2=Ab2时取到.

1 问题展开、归纳总结

例1 若正数a、b满足a+b=1，求1a2+2b2的最小值.

解 1a2+2b2=（1a2+2b2）（a+b）2=（1a2+2b2）（a2+2ab+b2）=3+2ba+b2a2+2a2b2+4ab=3+（b2a2+4ab）+（2ba+2a2b2）.

b2a2+4ab= b2a2+2ab+2ab≥334. 当且仅当b3=2a3时等号成立.

2ba+2a2b2=ba+ba+2a2b2≥332. 当且仅当b3=2a3时等号成立.

两式等号同时成立，所以1a2+2b2的最小值为3+334+332=（1+32）3 ，当且仅当b3=2a3时取到.

错误做法：1a2+2b2=（1a2+a+a）+（2b2+b+b）-2（a+b）=（1a2+a+a）+（2b2+b+b）-2.

1a2+a+a≥3，当且仅当a=1时等号成立.

2b2+b+b≥332，当且仅当b=32时等号成立.

所以1a2+2b2的最小值为6+332 ，当且仅当a=1，b=32时取到.

此解法的错误在于两个不等式成立的条件不满足题设a+b=1，也就是说两个不等式的等号不能同时成立.

结论 若正数a、b满足a+b=1，则Aa2+Bb2（A>0，B>0）的最小值为A+33A2B+33AB2+B=（3A+3B）3，当且仅当Ba3=Ab3时取到.

例2 若正数a、b满足a+b=1，求1a3+2b3的最小值.

解 1a3+2b3=（1a3+2b3）（a+b）3

=3+3ba+3b2a2+b3a3+2a3b3+6a2b2+6ab

=3+（b3a3+6ab）+（3b2a2+6a2b2）+（3ba+2a3b3）.

b3a3+6ab=b3a3+2ab+2ab+2ab≥448，当且仅当b4=2a4时等号成立.

3b2a2+6a2b2≥218=62，当且仅当b4=2a4时等号成立.

3ba+2a3b3=ba+ba+ba+2a3b3≥442，当且仅当b4=2a4时等号成立.

上述三式等號同时成立，所以1a3+2b3的最小值为3+448+442+62=（1+42）4 ，当且仅当b4=2a4时取到.

结论 若正数a、b满足a+b=1，则Aa3+Bb3（A>0，B>0）的最小值为A+44A3B+6AB+44AB3+B=（4A+4B）4，当且仅当Ba4=Ab4时取到.

是否有什么规律？请看例3的解法

例3 若正数a、b满足a+b=1，求1a4+2b4的最小值.

解 1a4+2b4=（1a4+2b4）（a+b）4=3+4ba+6b2a2+4b3a3+b4a4+2a4b4+8a3b3+12a2b2+8ab

=3+（b4a4+8ab）+（4b3a3+12a2b2）+（6b2a2+8a3b3）+（4ba+2a4b4）.

b4a4+8ab=b4a4+2ab+2ab+2ab+2ab≥5516，当且仅当b5=2a5时等号成立.

4b3a3+12a2b2=2b3a3+2b3a3+4a2b2+4a2b2+4a2b2≥

55256 当且仅当b5=2a5时等号成立.

6b2a2+8a3b3=2b2a2+2b2a2+2b2a2+4a3b3+4a3b3≥

55128，当且仅当b5=2a5时等号成立.

4ba+2a4b4=ba+ba+ba+ba+2a4b4≥552，当且仅当b5=2a5时等号成立.

上述四式等号同时成立，所以1a4+2b4的最小值为3+5516+55256+55128+552 =（1+52）5，当且仅当b5=2a5时取到.

结论 若正数a、b满足a+b=1，则Aa4+Bb4（A>0，B>0）的最小值为A+55A4B+105A3B2+105A2B3+55AB4+B=（5A+5B）5，当且仅当Ba5=Ab5时取到.

说明 要注意例2与例3在构造基本不等式时的不同之处，构造规律十分明确. 例3不能如下分组构造：

1a4+2b4=（1a4+2b4）（a+b）4=3+4ba+6b2a2+4b3a3+b4a4+2a4b4+8a3b3+12a2b2+8ab

=3+（b4a4+8ab）+（4b3a3+8a3b3）+（6b2a2+12a2b2）+（4ba+2a4b4）.

如果如此構造，四个基本不等式“等号”成立的条件就不完全相同了.

2 再看一例

例4 若正数a、b满足a+b=1，求1a5+2b5的最小值.

解 1a5+2b5=（1a5+2b5）（a+b）5=（1a5+2b5）（a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5）

=3+5ba+10b2a2+10b3a3+5b4a4+b5a5+2a5b5+10a4b4+20a3b3+20a2b2+10ab

=3+（b5a5+10ab）+（5b4a4+20a2b2）+（10b3a3+20a3b3）+（10b2a2+10a4b4）+（5ba+2a5b5）.

b5a5+10ab =b5a5+2ab+2ab+2ab+2ab+2ab≥

6632，当且仅当b6=2a6时等号成立.

5b4a4+20a2b2 =5（b4a4+2a2b2+2a2b2）≥1534，当且仅当b6=2a6时等号成立.

10b3a3+20a3b3≥202，当且仅当b6=2a6时等号成立.

10b2a2+10a4b4=5b2a2+5b2a2+10a4b4≥1532，当且仅当b6=2a6时等号成立.

5ba+2a5b5=ba+ba+ba+ba+ba+2a5b5≥662，当且仅当b6=2a6时等号成立.

上述五式等号同时成立，所以1a5+2b5的最小值为3+6632+1534+202+1532+662=（1+62）6 ，当且仅当b6=2a6时取到.

现在可以看出分组的规律了.

结论 若正数a、b满足a+b=1，则Aa5+Bb5（A>0，B>0）的最小值为A+66A5B+156A4B2+206A3B3+155A2B4+66AB5+B=（6A+6B）6，当且仅当Ba6=Ab6时取到.

到此，得到优美的结论：

若正数a、b满足a+b=1，则Aan+Bbn（A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值为（n+1A+n+1B）n+1，当且仅当Ban+1=Abn+1时取到.

证明Aan+Bbn=（Aan+Bbn）（a+b）n

=（Aan+Bbn）（C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…Cr-1nan-r+1br-1+Crnan-rbr+…+Cnnbn）

=A（C0n+C1nba+C2nb2a2+…+Cr-1nbr-1ar-1+Crnbrar+…+Cnnbnan）+B（C0nanbn+C1nan-1bn-1+…+Cr-1nan-r+1bn-r+1+Crnan-rbn-r+…+Cn-1nab+Cnn）

=AC0n+（C1nAba+C0nBanbn）+（C2nAb2a2+C1nBan-1bn-1）+…+（CrnAbrar+Cr-1nBan-r+1bn-r+1）+…+（CnnAbnan+Cn-1nBab）+BCnn.

又CrnAbrar+Cr-1nBan-r+1bn-r+1=Cr-1nr（（n-r+1）Abrar+rBan-r+1bn-r+1）=Cr-1nr（Abrar+Abrar+Abrar+…+Abrarn-r+1项+Ban-r+1bn-r+1+Ban-r+1bn-r+1+…+Ban-r+1bn-r+1r项）≥Cr-1nr（n+1）n+1An-r+1Br=Crn+1n+1An-r+1n+1Br.

当且仅当Abn+1=Ban+1时等号成立（其中n≥1，n∈N*，r=，1，2，…n）.

所以Aan+Bbn≥A+∑nr=1Crn+1n+1An-r+1n+1Br+B=（n+1A+n+1B）n+1，当且仅当Abn+1=Ban+1时等号成立.

所以Aan+Bbn的最小值为（n+1A+n+1B）n+1，当且仅当Ban+1=Abn+1时取到.

此类型题结构更一般形式为：

若正数a、b满足pa+qb=d，则Aan+Bbn（p>0，q>0，d>0，A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值为1dn（pn+1A+qn+1B）n+1，当且仅当Bpan+1=Aqbn+1时取到.

问题深入研究：

若正数a、b满足Aa+Bb=d，则pan+qbn（A>0，B>0，p>0，q>0，d>0，n≥1，n∈N*）的最小值为何？

通过多题一解，化静为动，提高学生分析问题、解决问题的能力，渗透类比思想、转化思想. 多题一解，更好地践行了划归与转化、类比思想，是学好数学的一个重要手段. 与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇. 对于学生而言，他们应该更倾向于“多题一解”.