多维变式 高维眼光*

广西师范大学数学与统计学院(541004)刘 芸 周 莹

我国《普通高中数学课程标准(2017 版)》提出:高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质[1].而实际教学中，许多老师和学生往往是就题论题，缺乏举一反三，融会贯通，发散思维的品质，导致实际教学效果不如人意.究其原因是教师和学生没有把握数学问题的本质，缺乏思维的广阔性和变通性.数学变式是把握数学本质的有效途径.变式就是变更展示感性材料的形式，即从事物的不同角度，对其不同情况加以说明，使事物的本质属性全面地显示出来[2].”最常用的变式为一题多解和一题多变[3]，一题多解侧重训练思维的广阔性，知识应用的灵活性;一题多变侧重训练思维的递进性，解决问题的变通性.

教师不仅要从多个维度视角剖析问题，更要从高等数学知识的维度来认识下位知识，避免思维在低水平层次之间重复.用高等数学和现代数学的知识、思想和方法来分析、解决中学数学的问题称为高观点.中学数学教学应关注数学思想的传承，不能认为它只是大学数学教育的任务.高观点是良好的思维素材，正如斯托利亚尔所说:“把教学建立在现代数学的思想基础上，是中学数学课程的风格和语言接近于现代数学的风格和语言，是学生的思维向现代数学思维发展”.以高等数学的知识为工具来解决初等数学问题，突出体现知识水平的高度跨越，强调深化、简化和统一，使问题解决呈现一种高屋建瓴的态度.因此，本文从一题多解和一题多变对一道数学问题进行剖析，站在高观点的视角探讨教师如何从“多维变式、高维眼光”来把握数学本质，改善教学的效果，提高学生逻辑推理能力.

一、一题多解悟本质

中国课程发展从知识本位到能力本位，再到现在的素养本位.逻辑推理是数学核心素养之一，如何提高学生逻辑推理能力，培养学生的核心素养，成为了数学教育工作者思考的问题.借七年级(人教版)的几何教学中出现的一道趣题加以剖析:

问题1在同一平面内条直线最多有多少个交点?

在七年级(人教版)的几何教学中，大多数学生能解决这样的问题:在同一平面内4 条直线最多有多少个交点? 但当平面内的直线增至n条时，很多学生往往无从下手.究其原因，主要是学生的逻辑推理能力存在问题，不能有效地从特殊向一般转化.

这个问题有多种可能的解答方式，是一道开放题.本文将从逻辑推理、元素组合以及高观点的视角来剖析这个问题.

1.1 逻辑推理——以简驭繁

这个问题对于一个初中学生来说，略有难度，为了解决这个问题，我们先观察简单的、具体的数:

当n= 1，1 条直线最多可以有0 个交点;当n= 2，2 条直线最多可以有0+1 个交点;当n= 3，3 条直线最多可以有0+1+2 个交点;当n= 4，4 条直线最多可以有0+1+2+3 个交点;当n=5，5 条直线最多可以有0+1+2+3+4 个交点.

从观察具体的数入手，我们得到一般性的结论:为了保证直线的交点最多，则要保证第n条直线必须和前面的n-1条直线都相交，则在原来的基础上多n-1 交点，设n条直线最多的交点个数为:

这种解法从特殊情况入手，通过数量关系与空间形式的抽象，运用归纳和类比，得出一般规律，并运用数学语言予以表征，达到以简驭繁，对培养学生的逻辑推理能力大有裨益.

1.2 元素组合——化繁为简

逻辑推理从特殊的几何问题入手，转化为代数问题，并运用从特殊到一般的逻辑推理得出答案.事物是普遍联系的，在一定条件下可以相互转化.当学生到了高中以后，学习了组合问题，我们也可以将几何问题转化为组合问题.

为了使同一平面内n条直线的交点最多，则每一条直线都要和其它直线相交，即直线必须两两相交，且交点都不同.又因为lm与ln相交和ln与lm相交重复，所以这个问题是组合问题，而不是排列问题.所以从n条直线中任意选出两条，它们都是相交的.所以n条直线交点的个数最多为

这种解法看似比第一种方法简单，但是初中的学生很难理解.只有把握“平面内n条直线在什么情况下，才能使交点的个数最多”这一问题的本质，才能将这个几何问题从复杂情境中抽象为组合问题，达到化繁为简.

1.3 高观点——高屋建瓴

从高观点视角出发，我们可以用关系矩阵来表示直线与直线的关系.关系矩阵的表示方法:做一个矩阵的表，它的首列标志A的元素，它的首行标志B的元素，根据A中的元素a是否与据B中的元素b有关系，在表中的相应位置上填上1 或0，这个表就称为该关系的矩阵[4].

直线与直线我们分为两种关系，相交且只有一个交点记为1，平行和重合记为0.设n条直线组成的集合为A={l1,l2,l3,···ln}，则笛卡儿积A×A给出了这n条直线所有可能的配对.从而得到这n条直线的关系矩阵:

因为lm与ln相交和ln与lm相交重复，所以关系矩阵M的上三角1 的个数，就代表交点的个数，关系矩阵M的上三角第一行有n-1 个1，第二行有n-2 个1，第三行有n-3个1，第n-1 行有1 个1，第n行有0 个1，所以关系矩阵M的上三角1 的个数An= 0+1+2+3+4+···(n-1)=

运用高等数学知识将抽象的n条直线的交点问题转化为关系矩阵来讨论，使问题简化、直观和统一.用高观点看中学数学问题，不仅有利于改善传统高等数学与中学数学脱节的弊端，建立两者间的有机联系，而且使教师站在更高的思维层次引领学生探索数学的本质，改善教学效果.

二、一题多变巧升华

2.1 以线带面——举一反三

问题1 的三种解法分别运用了初中、高中以及大学的知识，在一题多解中发现问题的本质，从而达到发散学生思维的作用.为了进一步启发学生，我们将问题1 进一步升华，不断提高学生的逻辑推理能力.

问题2n条直线最多把一个平面分割成多少块区域?

先看n= 1 时，平面被分为F2(2)= 2 区域;n= 2 时，平面被分为F2(2)= 4 区域;n= 3 时，平面被分为F3(2)= 7区域;n= 4 时，平面被分为F4(2)= 11 区域，通过前面具体的例子，我们发现为了使分成的区域最多，第n条直线要与前面的n-1 条直线都相交，从而第n条直线最多可以将该平面多分出n部分.我们假设平面被n条直线分割成显然

在问题1 的基础上，将直线升华到平面，在特殊具体的变化过程中，把握问题的本质，运用逻辑推理，得到一般性结论，从而培养学生的逻辑思维.

2.2 以面化全——求索不止

问题2 讨论了平面的切割问题，使我们感受到数学逻辑推理的魅力，我们进一步将问题进行升华.

问题3n个平面最多把三维空间分成几部分?

中学有这样的趣味题:四刀最多可以将一块蛋糕切为多少块? 当大多数学生看到这道题时，都会努力的画图得到答案.但是很少有人会思考如果切五或者六刀呢? 或者更多刀呢? 这里我们就可以通过进一步提升把这类问题概括为:n个平面最多把三维空间分成几部份?

在问题2 的基础之上，我们再来看三维欧氏空间，第n个平面最多可以和前面n-1 个平面都相交，它们与第n个平面最多有n-1 条交线，从而可以将这个三维空间多切割块(任意三个平面都不交于一条直线).

假设三维空间被n个平面分割成F(3)n块，则r(3)n=从而推出

问题1 是一维空间问题，分别从初中、高中、大学的三个维度视角讨论了平面内n条直线的交点个数，在一题多解中发现问题的本质，在高观点下感受到大学知识与中学知识的联系.在问题1 的基础上进行一题多变，运用逻辑推理进一步讨论平面和三维空间的分割情况，体会到思维的上升和逻辑推理的乐趣.从问题1 到问题3，层层递进，不仅从纵向获得对数学知识的深刻理解，也从横向拓广数学视野，使教师站在更高的思维层次来理解数学，把握问题的本质.

三、思考与建议

3.1 以变生质，引领数学教学

变式教学是提高课堂效率的有效途径，作为教师，在变式教学之前，自己也要学会变式思考.这样才能够从多个维度视角剖析问题，把握住数学的本质.教师只有真正的把握住数学的本质，才能带领学生在“山重水复疑无路”之时，把握正确的方向，使学生“柳暗花明又一村”.

3.2 以变引思，迈向高阶思考

数学的魅力在于变，在变中思考，在变中提高思维水平层次.但是许多老师的“变”都是在低水平层次之间重复，都在“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的局部视角中徘徊，无法看到整座山的全貌.教师只有站在更高的视角，用高等数学的知识俯视整个数学知识体系，使自己站在更高的思维层次水平中，这样才有足够的高度引领学生探索数学的本质，提高学生的思维层次水平.

3.3 以简拓深，提高核心素养

从特殊到一般的推理是解决问题的有效方法，它是逻辑推理其中的一类，逻辑推理作为数学核心素养的一个主要构成要素，在对学生的数学思维能力培养具有重要作用和影响.但许多老师课堂教学是围绕着具体的知识点展开，而不是围绕着思维类别和思维水平开展的，从而导致学生缺乏经历数学化活动而习得的数学思维方式.因此，教师要具有素养本位的观念，教学时要围绕培养学生的数学思维水平而展开，教会学生用数学的思维思考世界，提高学生的数学核心素养.