走向“主动”的图形变换试题赏析及教学建议

江苏省无锡市锡山高级中学匡村实验学校(214514)周荣伟

一、问题提出

“图形的变化”是初中阶段数学教学的重要内容，也是历次中考的重要关注点，通过对2019年全国各地中考试题的梳理，我们发现对“图形的变化”的考查依然占有较大的比重.这些试题既注重考查学生对相关基础知识和基本技能的理解和掌握，同时突出考查学生对知识交汇点的综合处理能力，更突出考查学生的动手能力、创新意识，以及在中学数学学习过程中积累的数学活动经验.尤其是在考查学生“主动”运用图形变化解决问题的意识与能力方面，出现了新的动向和导向，需要引起一线教师在教学中的足够重视.下面对2019年全国部分省、市中考试题中有关“图形的变化”(由于篇幅关系，本文仅限图形的平移、旋转、轴对称三种变换)的试题进行比较和剖析，并在此基础上，提出对数学教学的建议.

二、试题赏析

案例1 (2019·江苏无锡)已知一次函数y=kx+b的图像如图1所示，则关于x的不等式3kx-b ＞0的解集为_____.

图1

解法1因为图像过(-6,0)，则0 =-6k+b.于是b= 6k，故3kx - b= 3kx -6k ＞0.因为k ＜0，所以x-2＜0，解得:x ＜2.

解法2将直线m:y=kx+b向上平移个单位可得直线由直线n与x轴的交点横坐标为2可知，不等式的解集为x ＜2.故答案为:x ＜2.

评析此题解法1 属于常规方法，而解法2 主要考查了数学中的平移应用，根据已知条件能主动利用直线平移构造新的函数，并利用图像观察出相应不等式的解集是本解法的关键，此种属于“主动”的平移变换.

案例2 (2019· 四川巴中)如图2，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP=6,BP= 8,CP= 10.则S△ABP+S△BP C=_____.

图2

解将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP′B，连接PP′.根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′= ∠CAB=60°,BP=BP′，所以△BPP′为等边三角形，所以BP′=BP= 8 =PP′.由旋转的性质可知，AP′=PC= 10，在△APP′中，PP′= 8,AP= 6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，所以S△ABP+S△BP C=SAP BP=S△BP′P+S△AP′P=故答案为:

评析本题通过将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP′B，把分散的条件进行集中和整合，属于“主动”的旋转变换.

案例3(2019·安徽)如图3，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC= 12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF= 9 的点P的个数是( )

图3

A.0 B.4 C.6 D.8

解作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H.因为点E，F将对角线AC三等分，且AC= 12，所以EC= 8, FC= 4 =AE.因为点M与点F关于BC对称，所以CF=CM=4,∠ACB= ∠BCM= 45°，所以∠ACM= 90°，所以则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=12，所以点P在CH上时，在点H左侧，当点P与点B重合时，因为AB=BC,CF=AE,∠BAE= ∠BCF，所以△ABE∽=△CBF(SAS).所以所以所以点P在BH上时，所以在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF= 9.即共有8 个点P满足PE+PF=9，故选:D.

评析本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键，属于“主动”的轴对称变换.

图4

案例4(2019· 江苏无锡模拟)如图4，抛物线bx+c的顶点为M，对称轴是直线x= 1，与x轴的交点为A(-3,0)和B.将抛物线绕点B逆时针方向旋转90°，点M1,A1为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点.设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大.如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积;如果不存在，请说明理由.

解存在点P使四边形PM1MD的面积最大.由题意得B(5,0)，抛物线的解析式为因为SM1MD是定值，所以要使四边形PM1MD的面积最大，只要SM1P D最大.将△M1PD绕点B顺时针旋转90°，则点M1与点M重合，点P与点Q重合，点D与点F重合.因为点Q、F都在抛物线上，所以点F(-5,5).设直线MF的解析式为y=px+q，则有则直线MF的解析式为过点Q作QR//y轴交FM于点R，设点Q的坐标为则点R的坐标为所以当m=-2 时，S△MpP D=S△P QM最大此时，点故点因为M(1,-4),M1(9,-4)，所以SM1MD=×6×8=24.所以四边形PM1MD的面积最大值为

评析此题的一个难点是将抛物线绕点B逆时针方向旋转90°后，初中学生还不能求出所得到的新抛物线的解析式，所以将△M1PD绕点B 再转回去是关键，属于“逆向主动”的旋转变换.

案例5(2019· 江苏常州模拟)在平面直角坐标系xOy中，如图5，已知Rt△DOE，∠DOE= 90°,OD= 3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC= 5.∠ACB+∠ODE= 180°,∠ABC=∠OED, BC=DE.求OE的长.

图5

解将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN，将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′，使得B′C′与△OMN的边NM重合.设OE=x，则ON=x，作MF ⊥A′B′于点F.由作图可知:B′C′平分∠A′B′O，且C′O ⊥OB′.所以B′F=B′O=OE=x,FC′=OC′=OD= 3.又因为A′C′=AC= 5，所以4.所以A′B′=x+4,A′O= 5+3 = 8.在Rt△A′OB′中，A′O2+B′O2=A′B′2，所以x2+82= (4+x)2.解得:x=6.所以OE的长为6.

评析本题解答的关键是由条件∠ACB+∠ODE=180°及BC=DE，主动联想到将△ODE旋转以及将△ABC平移，使得分散的两个三角形集中化; 同时由条件∠ABC= ∠OED(角平分线)主动联想轴对称，是一个难得的“自主主动”的图形变换好题.

三、教学建议

《义务教育数学课程标准(2011 版)》课程内容中明确提出:“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.”应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题;另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决.

对于“图形的变化”而言，在教学中要强化运动变换的研究方，从而提高学生“用数学”、“做数学”的意识.初中阶段的“图形的变化”涉及的内容除图形的平移、翻折(轴对称)、旋转外，还包括图形的相似、锐角三角函数以及视图与投影.通过图形的运动、变化，往往能获得对图形性质的猜测，图形的运动、变化也是探究几何问题、寻找几何问题方法的重要途径.因此，在数学教学中，一方面，要关注学生对图形基本性质的理解及运用水平;另一方面，提高学生“主动”运用图形变换研究几何问题的能力.

事实上，在初中阶段的数学教学中，培养学生主动“用数学”的素材还是非常丰富的.比如:“数与代数”部分中的主动用字母表示数(未知元)及模型思想;“图形与几何”部分中的主动构建平面直角坐标系及其应用;“统计与概率”部分中的主动运用数据说话(统计、分析、决策)的意识;“综合与实践”部分中学生主动经历探究、思考、抽象、预测、推理、反思等过程的能力.

正如旅美学者马立平博士在其名著《数学的掌握与教学》中指出:“数学知识的深刻理解是指理解基础数学领域的深度、宽度和完整度.”图形变换的深度理解在于以下方面:图形变换是一种知识，图形变换是一种方法，图形变换是一种思想，图形变换是一种经验.借鉴到整个数学教学中，牢固树立“以学生为本”的思想是必要条件，以正确把握师生关系为核心，设计实质性的数学活动，让学生主动参与教学过程，促进学生的数学思维深度，在活动中培养学生“用数学”及“做数学”的意识及能力，将核心素养落地的“最后一公里”做细、做实.