一题多变之与圆有关的最值问题

■徐春生

题目已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3,则的最大值是_____,最小值是_____。

图1

由平面几何知识可知,只有在原点和圆心连线上,与圆的两个交点处才取得最大值和最小值。圆心到原点的距离为=2,所以的最大值是最小值是2- 3。

评析：形如的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题。可看作点(x,y)与点(a,b)之间的距离。

变式1：已知实数x,y满足方程y=,则的最大值是_____,最小值是_____。

提示：由,可得(x-2)2+y2=3(y≥0),此方程表示以(2,0)为圆心,3为半径的半圆(y≥0的部分)。的几何意义是半圆上一点与原点连线的斜率,设=k,即y=kx,如图2所示。

图2

当直线y=kx与圆(x-2)2+y2=3相切时,斜率k取得最大值或最小值,此时,解得k= 3(x= - 3 不 合 题 意,舍 去)。显然,由此圆为半圆,可知斜率k的最小值为0。

变式2：已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3,则的最大值是_____,最小值是_____。

提示：原方程表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆。

变式3：已知圆C的方程为(x-2)2+y2=3,则点Μ(2,3)与圆C上的点的距离的最大值是_____,最小值是____。

提示：圆C的圆心为(2,0),半径为3。因为(2-2)2+32＞3,所以点Μ在圆C外。