浅析圆的方程的应用

■胡 彬

圆的方程的应用是高考的常见考点。下面举例分析圆的方程的应用。

题型一：与圆的几何性质有关的最值问题

例1已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0。

(2)求y-x的最大值与最小值。

(3)求x2+y2的最大值与最小值。

解：(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,此方程表示以点(2,0)为圆心,3为半径的圆。设,即y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值和最小值。

(2)设y-x=b,即y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值。由,可得b=-2± 6,故y-x的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6。

(3)x2+y2表示圆上的点与原点的距离的平方。由平面几何知识可知,在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小 值。 因 为 圆 心 到 原 点 的 距 离 为=2,所以x2+y2的最大值是(2+ 3)2=7+4 3,x2+y2的最小值是(2- 3)2=7-4 3。

评析：与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:①形如的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。

题型二：利用圆的方程，建立函数关系求最值

例2已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m＞0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为_____。

解：由题意画出图形,如图1 所示,则圆心C的坐标为(3 ,4),半径r=1,且

图1

由∠APB=90°,可知=m,要求m的最大值,即求圆C上的点P到 原 点O的 最 大 距 离。 因 为=5,所以即m的最大值为6。

评析：解答本题的关键是根据题中条件,列出关于所求目标函数的关系式求最值。

题型三：与圆有关的对称问题

例3已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与 圆C1关 于 直 线x-y-1=0 对称,则圆C2的方程为____。

解：圆C1的圆心坐标为(-1,1),半径为1。设圆C2的圆心坐标为(a,b)。由题意可得解得所以圆C2的圆心坐标为(2,-2)。因为两圆的半径相等,故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1。

评析：圆的轴对称性,就是圆关于直径所在的直线对称。