直线与圆的位置关系问题

■林 童

数学学习,效率为先,同学们必须跳出题海,研究方法,提升认知。对于直线与圆的位置关系问题,我们应该把握如下三点解题 “精髓”:①数形结合法,即善于观察图形,充分运用平面几何知识,寻找解题途径;②等价转化,如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题,把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题,把弦长问题转化为弦心距问题等;③待定系数法,即 “设而不求”,简化解题过程。欲知详情,让我们一起走进直线与圆的位置关系问题 “加油站”。

一、直线与圆位置关系的判断

例1直线l:mx-y+1-m=0 与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( )。

A.相交 B.相切

C.相离 D.不确定

分析：从 “数”的角度分析,考查由直线方程与圆的方程联立的方程组的解的情况;从“形”的角度分析,考查圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系,也可以考查直线是否过定点,且定点是否在圆内。

解法1：由消去y,整理可得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0。

因为Δ=16m2+20＞0 恒成立,所以直线l与圆相交。应选A。

解法2：由题意可知,圆心(0,1)到直线l的距离,故直线l与圆相交。应选A。

解法3：因为直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),且点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交。应选A。

判断直线与圆的位置关系常见的三种方法:几何法,即利用d与r的关系;代数法,即联立方程组,利用判别式判断;点与圆的位置关系法,如直线恒过定点且定点在圆内,这时直线与圆相交。

二、直线与圆的相切问题

例2将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位,所得直线l与圆C:x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为( )。

A.-3或7 B.-2或8

C.0或10 D.1或11

分析：本题考查平移公式,考查直线与圆的位置关系,正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件是解题的关键。

解法1：(几何法)由题意可知,直线2xy+λ=0沿x轴向左平移1个单位后所得直线l的方程为2(x+1)-y+λ=0,已知圆的圆心为C(-1,2),半径为5。

解法2：(代数法)设切点为P(x,y),则点P(x,y)满足2(x+1)-y+λ=0,即y=2(x+1)+λ,代入圆方程整理可得5x2+(2+4λ)x+λ2-4=0。由直线与圆相切可知此方程只有一个解,所以Δ=0,即λ2-4λ-21=0,解得λ=-3或λ=7。应选A。

解法1 是利用切线的几何特征,将原问题转化为点到直线的距离问题求解的;解法2 是利用切线的代数特征,将原问题转化为方程组有唯一解求解的。这两种方法都是同学们必须掌握的基本方法。

三、直线与圆的相交问题

例3已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0 相交于P,Q两点,O为坐标原点,且OP⊥OQ,求实数m的值。

分析：设P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 由kOP·kOQ= -1,可 得x1x2+y1y2=0,再利用一元二次方程的根与系数的关系求解。或者,利用过原点的直线的斜率为,由直线与圆的方程构造以为未知数的一元二次方程,根据根与系数的关系得出kOP·kOQ的值,可使问题得以解决。

解法1：设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)。

由OP⊥OQ,可得kOP·kOQ= -1,即,也即x1x2+y1y2=0 ①。

因为点(x1,y1),(x2,y2)是方程组的实数解,即x1,x2是方程5x+10x+4m-27=0 ②的两个根,所以x1+x2=-2,x1x2=③。

又因为P,Q在直线x+2y-3=0 上,所以,将③代入此式可得④。

将③④代入①,解得m=3。将m=3代入②可得x2+2x-3=0,此方程显然Δ＞0成立,故m=3。

解法2：由直线方程可得3=x+2y,代入圆的方程x2+y2+x-6y+m=0,可得=0,整理可得(12+m)x2+4(m-3)xy+(4m-27)y2=0。

由x≠0,可得(4m-27),所以kOP,kOQ是此方程的两个实数根,故kOP·kOQ= -1,由此可得,解得m=3。

经检验可知m=3即为所求。

解答本题时,要注意避开求P,Q两点坐标的具体数值。除此之外,还要对求出的m值进行必要的检验,这是因为在求解过程中并没有确保交点P,Q存在。解法1揭示了解这类问题的一种通法,解法2的关键在于依据直线方程构造出一个关于的二次齐次方程,虽有规律可循,但需要一定的变形技巧,同时也可以看出这种解法给人一种一气呵成之感。

1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )。

A.相切 B.相交

C.相离 D.不确定

提示：因为点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2＞1。

由圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离,可知直线与圆相交。应选B。

2.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0 的距离等于1 的点的个数为( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

提示：因为圆心(3,3)到已知直线的距离为,又圆的半径为3,所以直线与圆相交。

如图1所示,圆上到直线的距离为1 的点有3个。应选C。

图1