非线性离散广义系统观测器的设计与存在性判据

孙延修， 潘 斌

(1.沈阳工学院基础课部，辽宁 抚顺 113122；2.辽宁石油化工大学理学院，辽宁 抚顺 113001)

0 引言

观测器理论源于 20 世纪六七十年代对线性系统所设计的卡尔曼滤波器[1]和Luenberger 观测器[2]。观测器设计问题实质上是利用原系统中可直接测量的信息(如输入或输出)作为新系统的输入信号，重新构造一个系统，使其输出在一定的形式下能度量出原系统的状态[3]。近几十年，针对系统观测器的研究已经取得了许多重要成果，比如反馈控制、系统监控、故障检测等。文献[4]～文献[8]分别从基于观测器的状态反馈控制、观测器存在的条件及基于观测器的故障诊断等方面进行了研究。

广义系统在机械、电气、经济、电路等领域得到了广泛的应用，本文在文献[5]的基础上，针对非线性离散广义系统进行了研究。考虑非线性项的特点给出了观测器的两个存在性判据，避免了观测器设计中增益矩阵求解的盲目性。

1 系统描述

考虑如下非线性离散广义系统：

(1)

式中：E∈Rn×n为奇异矩阵且满足rank(E)=q

系统(1)可等价转换为：

Ny(k+1)

(2)

相对正常系统，广义系统是一种更具广泛形式的系统，许多正常系统的结论已经相继被推广到广义系统中[9]。本文通过等价变换，将广义系统转换为正常系统的形式进行状态观测器的设计。

本文的目的是针对系统(1)设计状态观测器，并得到状态观测器的存在性判据，以获得观测器的增益矩阵。下面给出文中用到的两个引理[10-11]。

引理1 设x、y是具有相同维数的实数向量，则对于任意正数ε>0，有下面不等式成立：

2 观测器的设计

考虑系统(2)，设计如下状态观测器：

Ny(k+1)

(3)

(4)

为保证式(3)是系统(1)的状态观测器，需状态误差系统渐进稳定且状态收敛于0。

3 观测器存在性判据

(5)

则误差系统(4)渐近稳定。

由式(5)可知，ΔV<0，误差渐近稳定，证明完毕。

若系统(1)中的非线性部分φ[x(k)]满足Lipschitz条件，即φ[x(k)]满足：

则有：

定理2 考虑系统(2)和系统(3)，若存在正定矩阵P和增益L满足不等式:

(6)

证明 由于φ(x)为Lipschitz非线性项，即满足：

则有：

根据式(4)则有：

根据Schur补引理2，M<0等价于不等式(6)，这时ΔV<0误差状态系统渐进稳定，证明完毕。

定理2 考虑到系统非线性部分φ[x(k)]满足Lipschitz条件，通过选取李亚普诺夫函数，以线性矩阵不等式的形式给出了误差渐进稳定的充分条件，便于利用MATLAB的LMI工具箱对状态观测器中增益矩阵进行求解。

4 数值算例

考虑非线性离散广义系统(1)的参数如下：

①利用MATLAB计算，可得误差方程中非线性部分允许的界限：

②根据系统①可观测，可以得到如下矩阵：

系统中的非线性项φ[x(k)]满足Lipschitz条件并取α=0.5时，利用MATLAB求解线性矩阵不等式(6)，可得:

增益矩阵L=(XP-1)T为：

5 结束语

观测器的设计在控制理论中具有广泛的应用，本文提出了非线性离散广义系统观测器的设计方法，并通过讨论系统中的非线性项，给出了观测器的两个存在性判据。定理1以范数形式给出了观测误差渐进稳定的充分条件，并得出了观测器误差方程中非线性部分允许的界限；定理2以线性矩阵不等式的形式给出了当系统中的非线性部分满足Lipschitz条件时观测器存在性的充分条件。最后，通过一个数值算例，验证了非线性广义离散系统观测器存在性判据的有效性。