集合函数测试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.已知集合A={x|-2

2.“a>b”是“2a>2b”的    条件.（请在“充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要”中选择最为恰当的一个填在横线上）

3.函数f（x）=lnx+1x-1的定义域为    .

4.设命题p：“若x>2，则x2>4”，则其否命题为  命题.（请在横线上填“真”或“假”）

5.函数f（x）=12x2-lnx的极小值为    .

6.若幂函数f（x）=xa2-a-2在区间（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是    .

7.已知函数f（x）=x+sinx+1，若f（x0）=2，则f（-x0）=    .

8.已知实数x，y满足x≥0，

x-y+1≤0，

x+y-2≤0，则y-2x的最小值为    .

9.已知函数f（x）=4x-2x+1+3，x∈[1，2]，则其最大值与最小值的和为    .

10.若直线y=kx与三次函数f（x）=x3-x2+1的图象相切，则实数k的值为    .

11.若关于x的不等式ex-ax≥0（e为自然对数的底）对任意x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围为    .

12.已知x>1，且2x+y=xy+1，则x+2y的最小值为    .

13.已知函数f（x）=lnx+12ax2（a∈R），对于x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有f（x1）-f（x2）x1-x2>2，则a的取值范围是    .

14.已知函数f（x）=（1e）x，x≥4，

ef（x+1），x<4（e为自然对数的底），若函数g（x）=f（x）-kx有且仅有一个零点，则实数k的取值范围为    .

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15.（本小题满分14分）

设命题p：函数f（x）=13x3+a2x2+（a+1）x无极值，命题q：（x-m）（x-m-1）<0.

（1）若p为真命题，求实数a的取值范围;

（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

16.（本小题满分14分）

已知f（x）=x2-（m+1）x+m，m∈R.

（1）求不等式f（x）<0的解集;

（2）设函数g（x）=f（x）x2，x∈[12，2]，求函数y=g（x）的最小值.

17.（本小题满分14分）

设f（x）=x3-3ax+2，a∈R.

（1）若函数图象在x=2处切线方程为6x-y+m=0，求实数a，m的值;

（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值.

18.（本小题满分16分）

已知一圆柱形无色玻璃晶体饰品内嵌一个红色八面体，其中八面体的上下两个顶点O1，O2为圆柱的两底中心，另外四个顶点A，B，C，D在圆柱侧面上，且O1ABCD与O2ABCD是两个形状完全相同的正四棱锥.

（1）若圆柱底面圆半径r=2cm，高h=4cm，求内嵌八面体的体积;

（2）若圆柱的轴截面的周长为2a（a>0，a为常数），求内嵌八面体体积的最大值.

19.（本小题满分16分）

已知f（x）=ex-12ax2，a∈R，e为自然对数的底.

（1）若a=1，解不等式f（x）<1;

（2）试讨论函数g（x）=f（x）-1ex的单调性.

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）=lnx-ax2（a>0）.

（1）若a=1，求函数y=f（x）的极值;

（2）若f（x）+a≤0恒成立，求实数a的值;

（3）若存在1≤x1

参考答案

一、填空题

1.{1，2} 2.充分必要 3.（-∞，-1）∪（1，+∞） 4.假 5.12 6.（-1，2） 7.0 8.12 9.14 10.1

11.（-∞，e] 12.5+22 13.[1，+∞）

14.（0，+∞）∪{-e}

二、解答题

15.解：（1）f′（x）=x2+ax+a+1.

若p为真命题，则Δ=a2-4a-4≤0，

解得：2-22≤a≤2+22.

（2）命题q：m

若q是p的充分不必要條件，则m≥2-22

m+1≤2+22，

实数m的取值范围是[2-22，1+22].

16.解：（1）f（x）=（x-m）（x-1）<0.

1°当m=1时，不等式的解集为;

2°当m>1时，不等式的解集为（1，m）;

3°当m<1时，不等式的解集为（m，1）.

（2）g（x）=x2-（m+1）x+mx2

=m（1x）2-（m+1）1x+1，x∈[12，2]，

设t=1x∈[12，2]，则y=mt2-（m+1）t+1，t∈[12，2]，

1°当m=0时，y=-t+1，所以ymin=-2+1=-1，

2°当m<0时，因为二次函数的对称轴为t=12+12m<12，所以ymin=2m-1，

3°当m>0时，二次函数的对称轴为t=12+12m>12，

①当12+12m≤2时，即m≥13时，ymin=-（m-1）24m，

②当12+12m>2时，即0

综上所述：ymin=2m-1，m<13

-（m-1）24m，m≥13.

17.解：（1）f（2）=-6a+10，f′（2）=12-3a，

则函数图象在x=2处切线方程为y-10+6a=（12-3a）（x-2），

即（12-3a）x-y-14=0，

所以此方程与6x-y+m=0是同一直线方程，

所以12-3a=6

m=-14，解得a=2

m=-14.

（2）f′（x）=3（x2-a），

因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4].

1°当a≤1时，f′（x）≥0，所以函数y=f（x）在区间[1，2]单调递增，

所以f（x）min=f（1）=3-3a.

2°当a≥4时，f′（x）≤0，所以函数y=f（x）在区间[1，2]单调递减，

所以f（x）min=f（2）=10-6a.

3°当10，

所以函数y=f（x）在区间[1，a）上单调递减，在区间（a，2]上单调递增，

所以f（x）min=f（a）=-2aa+2.

综上所述：f（x）min=3-3a，a≤1

-2aa+2，1

10-6a，a≥4.

18.解：（1）因为O1，O2为圆柱的两底中心，A，B，C，D在圆柱侧面上，且O1ABCD与O2ABCD是两个形状完全相同的正四棱锥，

所以平面ABCD平行于圆柱的底面，ABCD为正方形，且顶点O1到平面ABCD的距离为圆柱高的12，

因为r=2，所以2AB2=16，解得：AB2=8，

所以内嵌八面体的体积V=2×13×AB2×2=323cm3.

答：内嵌八面体的体积为323cm3.

（2）设AC的长度为x，圆柱的高为h，内嵌八面体体积为y，

则2AB2=x2，2x+2h=2a，

y=2×13×AB2×h2=13×AC22×h

=-16x3+16ax2，x∈（0，a）

设f（x）=-16x3+16ax2，x∈（0，a）

令f′（x）=-12x2+13ax=0，得：x=23a

所以f（x）max=f（23a）=281a3.

答：内嵌八面体的体积的最大值为281a3.

19.解：（1）f（x）=ex-12x2，

设Q（x）=f′（x）=ex-x，令Q′（x）=ex-1=0得：x=0，

所以y=Q（x）在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，

所以f′（x）min=Q（0）=1>0，所以y=f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增，

因为f（0）=1，所以不等式f（x）<1的解集为（-∞，0）.

（2）g（x）=ex-12ax2-1ex，

g′（x）=（ex-ax）ex-ex（ex-12ax2-1）（ex）2

=ax2-2ax+22ex，

设h（x）=ax2-2ax+2，x∈R.

1°当a=0时，h（x）=2>0，所以y=g′（x）>0，

所以函数g（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增;

2°当a<0时，函数g（x）在区间（a+a2-2aa，a-a2-2aa）上单调递增，

在区间（-∞，a+a2-2aa），（a-a2-2aa，+∞）上单调递减;

3°当a>0时，①当Δ=4a2-8a≤0时，即0

函数g（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增.

②当a>2时，函数g（x）在区间（a-a2-2aa，a+a2-2aa）上单调递减，

在区间（-∞，a-a2-2aa），（a+a2-2aa，+∞）上单调递增.

综上：1°当0≤a≤2时，函数g（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增，

2°当a<0时，函数g（x）在区间（a+a2-2aa，a-a2-2aa）上单调递增，在区间（-∞，a+a2-2aa），（a-a2-2aa，+∞）上单调递减，

3°当a>2时，函数g（x）在区间（a-a2-2aa，a+a2-2aa）上单调递减，在区间（-∞，a-a2-2aa），（a+a2-2aa，+∞）上单调递增.

20.解：（1）若a=1，则f（x）=lnx-x2，x∈（0，+∞），

令f′（x）=1x-2x=0，解得：x=22

所以函数y=f（x）的极大值为-12ln2-12.

（2）设F（x）=f（x）+a=lnx-ax2+a，x∈（0，+∞），

令F′（x）=1x-2ax=1-2ax2x=0，解得：x=12a，

函数F（x）在区间（0，12a）上单调递增，在区间（12a，+∞）上单调递减，

所以F（x）max=F（12a）=-12ln2a+a-12≤0，

设h（a）=-12ln2a+a-12，h′（a）=-12×1a+1=2a-12a，

所以h（a）在区间（0，12）单调递减，在区间（12，+∞）上单调递增，且h（12）=0，

所以a=12.

（3）由f（x1）=f（x2）得：a=lnx2-lnx1x22-x21，

因为x2-x1=1，

所以a=ln（x1+1）-lnx1（x1+1）2-x21=ln（x1+1）-lnx12x1+1，

因为1≤x1

所以x2=x1+1≤3，所以1≤x1≤2，

设h（x）=ln（x+1）-lnx2x+1，x∈[1，2]，

h′（x）=（1x+1-1x）（2x+1）-2[ln（x+1）-lnx]（2x+1）2=-2x+1x（x+1）-2lnx+1x（2x+1）2，

因为x∈[1，2]，所以x+1x>1，

所以lnx+1x>0，2x+1x（x+1）>0，所以h′（x）<0，

所以函數h（x）在区间[1，2]单调递减，

所以15ln32≤h（x）≤13ln2，

所以实数a的取值范围为[15ln32，13ln2].