关于数列问题转化策略的探讨与建议

严长进

[摘  要] 数列是数的重要研究内容，以其内容为基础命制的综合题也是高考的常考题目，用以考查学生对数列基础知识、关联知识的掌握情况，以及综合问题的转化分析能力. 而对于数列综合题有多种转化策略，文章结合实例深入探讨数列问题的四种转化策略，并提出相应的建议.

[关键词] 数列;转化;方程;函数;不等式;思想

数列是高中数学较为特殊的知识模块，融合了代数、函数、不等式等知识内容，因此高考对其考查常从知识的联系点切入命制综合题，对学生的解题要求较高，需要采用一定的技巧和方法，求解综合性数列问题最为有效的策略为数学转化，下面将基于不同的思想方法，讲解几种转化策略.

基于方程思想，构建代数方程

方程是求解代数问题十分常用的方法，在数列问题中使用时需要基于数列的通式，结合对应条件，构建相应的方程，严格按照方程求解的步骤、要求来完成. 一般常用于求解数列中的常见量，如首项、公差、公比等.

例1：若Sn表示等差数列{an}的前n项和，已知该数列的第4项和第5项之和为24，且S6=48，试求该数列的公差.

解析：题干表明{an}为等差数列，给出了相关项之和，则可以根据条件构建相应的代数方程，通过解方程的方式求解，具体如下：

对应转化：“第4项和第5项之和为24”→2a1+7d=24，“S6=48”→6a1+15d=48;

构建对应方程组：2a1+7d=24，6a1+15d=48，从而可解得d=4，即等差数列{an}的公差为4.

评析：在数列问题中构建方程，一般需要利用数列的相关通式，涉及基本式、前n项之和表达式等，如上述问题就是两者的综合，其构建的关键是设定关键参数为未知量，根据所求未知量的个数构建数列组.虽然该方程组与常规的方程组稍有不同，但其实质是不变的，因此在求解时只需要按照对应的步骤求解即可.

基于函数思想，利用函数性质

函数不仅是高中数学重要的知识，还是一种有效的求解方法，解题时可以利用函數的性质来分析，如利用函数的单调性、最值等来求解相关的极限问题.在数列中一般利用函数法来求数列相关的最值问题，解题突破时需要基于函数思想对数列进行合理变形，将数列转化为特定的函数，然后利用函数的性质分析.

例2：已知数列{xn}满足如下要求：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1） （n∈N+），试证明：当n∈N+时，2xn+1-xn≤ .

解析：分析可知xn>xn+1，可进一步得xn+1·xn=x +xn+1·ln（1+xn+1），则有xnxn+1-4xn+1+2xn=x -2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），根据上式构建函数：令f（x）=x2-2x+（x+2）ln（1+x） （x≥0），求其导函数f′（x）= +ln（1+x），分析可知f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，因此当x=0时f（x）可以取得最小值，即f（x）≥f（0）=0.

因此有x -2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）= f（xn+1）≥0，变形可得2xn+1-xn≤ ，证毕.

评析：上述解题过程就是利用函数的单调性、最值来证明数列不等式，其本质是数列与函数之间的关联性：数列可视为一种特殊的函数. 解题最关键的一步是对数列的转化变形，构造最合理的函数，这其中就需要关注数列关系式的特征，采用类比的方式构建新的函数，一般利用函数单调性时需要严格遵守对应原则，在合理的定义域内加以分析，确保结果的有效性和正确性.

基于构造思想，构建基本数列

构造思想是数列转化题最常用的思想方法之一，包括上述构造函数和方程.教材中将数列划分为一般数列和基本数列，其中等差、等比为最基本的数列，在分析规律时有着一定的便利性.因此求解数列综合题，对于一些特征不明显、较为抽象的一般数列，可以通过添加辅助数列或代数变形的方式将其转化为一般数列或一般数列的复合，从而降低分析难度.

例3：已知Sn表示数列{an}的前n项之和，已知2Sn=3n+3，试回答下列问题：

（1）试求数列{an}的通项公式;

（2）已知数列{bn}满足如下条件：anbn=log3an，试求{bn}的前n项之和.

解析：第（1）问根据an=Sn-Sn-1（n≥2）即可求得. 关键是求第（2）问一般数列{bn}的前n项之和，题干给出了相应的关系式，因此需要充分利用，适度变形. 根据第（1）问的结果，结合关系式可以求出b1= ;则当n≥2时，有bn=（n-1）31-n，设{bn}的前n项之和为Tn，则可将其细化为Tn= +[1×3-1+2×3-2+…+（n-1）×31-n]，则3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+（n-1）×32-n]，采用错位相减的方式可得：3Tn-Tn= +[30+3-1+3-2+…+32-n]-（n-1）×31-n，其中30+3-1+3-2+…+32-n显然是首项为30，公比为 的等比数列的前n-1项之和，因此2Tn= - ， Tn= - ，即{bn}的前n项之和为 - .

评析：上述展示了利用数列错位相减法求一般数列前n项之和的步骤，实际上就是利用相减变形的方式来构建基本数列，如其中的等比数列，另外求解一般数列的前n项之和还可以采用倒序相加法、合并求和等方法. 需要注意的是对于一般数列的前n项之和表达式可以采用裂式的方式分析，即把其视为是多个代数式的组合，将其中具有一般规律的代数式归为一类，从而简化分析过程. 而对于一般数列还可以将其转化为几个基本数列的组合，从而采用分别求和的方式来完成解答.

基于不等关系，转化数列不等式

另外数列与不等式之间存在着一定的关联性，对于一些数列不等式问题同样可以采用不等式转化的策略，利用不等式常用的研究方法来求解，如不等式常用的放缩法、累加法等. 一般数列与不等式相结合的命题策略是以数列为背景，构建不等关系或求数列的极值. 在实际解题时需要充分研究数列的性质，细化为对应的代数式，然后基于不等式的性质和研究方法来加以分析.

例4：已知xn为曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标，若设n∈N+，试回答下列问题：

（1）求数列{xn}的通项公式;

（2）如果设Tn=x x …x ，试证明Tn≥ .

解析：第（1）问求{xn}的通项公式，只需要基于切线与坐标轴的交点求法即可完成，可求得xn= . 而第（2）问证明Tn≥ ，则需要基于题干给出的关系式，代入后将其转化为对应的代数不等式，利用不等式的性质来求解，具体如下：x =  ，当n=1时，T =x = ，而当n≥2时，有x =  > = ，所以T >  · · ·…· = .

综上可知，对于任意的n∈N+，总有Tn≥ .

评析：上述所展示的是数列不等式的不等关系转化分析策略，即从不等式角度出发，利用不等式的相关性质突破.其中不等式的放缩是最为常见也是十分有效的变形方法，可以实现代数式的重组和简化，但需要注意的是：在对不等式进行放缩的过程中需要充分考虑放缩的合理性，适当运用常见的不等关系式，提升解题效率.

思考与建议

上述展现了高中数列综合题的四种转化求解策略，也是常见考题最为有效的突破方法，实际上这些策略的构建是基于数列与关联知识之间的联系性，以其联系点进行的方法衍生，因此采用不同策略开展解题突破时需要遵循对应的解题要求和步骤，而在教学或学习中有如下几点建议.

1. 关注数列的本质内容

数列是高中数学较为特殊的内容，其特殊之处在于既具有代数共性，又具有一定的函数规律性，这在之前是学生所从未接触的，因此在学习时若不能把握其中的内涵，则学生会陷入学习的误区，造成很大的学习障碍，对于后续数列综合问题的分析也极为不利. 在教学中需要教师引导学生关注数列的概念，理解何为数列，掌握数列通式的基本求法.可以由基本数列入手，使学生掌握数列首项、公差、公比的具体含义，从而形成对数列的基本认识.

2. 关注数列的关联内容

数列是具有规律性特殊数的组合，同时具有代数、函数等知识特性，与不等式之间也具有很强的联系，这也是数列综合题的命题基础和解法基础. 如上述所展示的几道数列综合题的解题过程中利用了代数变形、函数性质、不等关系等知识. 从本质上来讲，数列也是一种数，必然具有数的所有特性，而学生在解题学习时就需要联合数的前后知识，基于不同的数学思想来对其加以研究. 教师在教学中也应该重视联系性的讲解，不单纯地以数列运算作为教学重点，适当地引入函数性质、代数变形法，拓展学生的视野，培养学生思维的宽度.

3. 关注数列的解题思想

上述展示了数列综合题的四种不同策略，需要指出的是每一种策略均是在对应思想下完成构建的，如基于方程思想构建数列的代数方程，利用函数思想构建函数分析数列问题的思路等，因此可以说数列综合题的解题本质就是利用不同的数学思想开展问题探究. 数学思想是一种较为抽象的东西，虽无法直接接触，但深入数学精髓，通过体会解题过程可以逐步感受，同时也是数学的精华所在. 因此开展数列问题的转化策略探究就应关注数列的解题思想，领会数学思想构建解题思路的意义所在. 实际教学中教师可以从数列知识的本质内涵入手，指导学生明晰其思想方法与数列的知识内容密不可分，然后通过特定的习题求解来强化思想方法解題的思路和技巧，充分提升学生的学科素养.