一道立体几何高考题的解题评析及教学反思

林瑞记 郑伊楠

[摘  要] 立体几何是高考考查的重要模块，它既能考查学生的数学知识水平，又能锻炼学生的数学素养. 文章依据高考阅卷场上学生作答的实际情况，评析了学生在解答立体几何问题的常见方法，并就切身阅卷的反馈做了教学反思.

[关键词] 立体几何;解题评析;教学反思

从近几年来看，立体几何主要考查空间中线线、线面和面面位置关系的证明，求解出线面角、二面角的正弦、余弦值，以及空间向量的应用. 2018年的高考理科数学全国Ⅱ卷第20题主要考查学生对空间立体几何图形的直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 立体几何题型的考查，不仅能检验学生的知识水平，而且也是检验学生思维品质的试金石. 本文通过对该题的深度解析，结合考生的实际答题情况，反思我们中学一线教师课堂教学中存在的问题. 笔者抛砖引玉，望与君共勉.

（2018年全国Ⅱ卷第20题）如图1，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC中点.

（1）证明：PO⊥平面ABC;

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.

立体几何解题的战略点拨

（1）证明直线与平面垂直时，通常是通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直，而直线与直线垂直的证明可利用勾股定理、等腰三角形的三线合一等知识点来完成. 首先，利用等腰三角形的性质可得PO⊥AC，再利用勾股定理证明PO⊥OB，最后结合线面垂直的判定定理可证得结果. （2）处理空间直线与平面所成角、二面角的问题，通常是利用空间向量来解决. 可根据（1）中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点M（含有参量）的坐标，再依据已知条件求得此参数，最后求解即可.

考生解立体几何题的方法评析

（1）证明：因为PA=PC=AC=4，所以△PAC是等边三角形. 又因为O为AC中点，所以PO⊥AC. 在△ABC中，有AB2+BC2=AC2，且AB=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，连接BO，则BO=2. 又易知PO=2 ，则在△POB中，PO2+OB2=PB2=16，所以PO⊥OB.

PO⊥ACPO⊥OBAC∩OB=O？圯PO⊥平面ABC.

立体几何的第一问被大多数高中老师看作是送分题，但是在实际的阅卷过程中，笔者发现大部分学生第一问没答出来，原因大都是在将线面垂直定理生搬硬套，而忘记了基本的勾股定理. 这应该引起高中数学教师在课堂教学中关于知识的系统性问题的反思.

（2）方法一：由（1）可知：AC⊥OB，PO⊥平面ABC，可建立如图2的空间直角坐标系.

显然，平面PAC的一个法向量为 =（2，0，0）. 依题意有

A=（0，-2，0），B=（2，0，0），C=（0，2，0），P=（0，0，2 ）， =（0，2，2 ）， =（0，2，-2 ），设点M=（a，2-a，0）（0

设平面PAM的一个法向量为n=（x，y，z）. 由 ·n=0， ·n=0，得2y+2 z=0，ax+（4-a）y=0. 令z=-a，得n=（ （a-4）， a，-a）. 由已知，cos〈 ，n〉= = ，解之得a=-4（舍），a= ，所以n=- ， ，- . 设PC与平面PAM所成角为θ，则sinθ=cos〈 ，n〉= = ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 .

方法二：建立与方法一相同的空间直角坐标系，设平面PAC的一个法向量为 =（2，0，0）. 依题意有：A=（0，-2，0），B=（2，0，0），C=（0，2，0），P=（0，0，2 ）， =（2，2，0）， =（-2，2，0）， =（0，2， 2 ）， =（0，2，-2 ）.

设 =λ =（-2λ，2λ，0）（0≤λ<1），则 = +λ =（2-2λ，2+2λ，0）.

设平面PAM的一个法向量为n=（x，y，z），由 ·n=0， ·n=0，得2y+2 z=0，（2-2λ）x+（2+2λ）y=0.令z=1，得n= ，- ，1. 由已知，cos〈 ，n〉= = ，解之得λ=3（舍），λ= . 所以n=（2 ，- ，1），

设PC与平面PAM所成角为θ，则sinθ=cos〈 ，n〉= ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 .

方法一与方法二被学生们尊称为解立体几何问题的“万能钥匙”，是绝大多数考生运用的方法，虽然它们看似所设的参量不同，但其本质殊途同归. 阅卷中出错的学生主要表现在计算能力弱、空间想象能力差和知识点错误. 在教授立体几何相关知识时，教师应该反思是否曾有的放矢地培养学生的直观想象、数学抽象等能力，让学生真正做到心有猛虎的同时依然细嗅蔷薇.

方法三：建立与方法一相同的空间直角坐标系，设AM与OB相交于点N=（λ，0，0）（0<λ≤2），具体如图3所示.

依题意有：A=（0，-2，0）， C=（0，2，0），P=（0，0，2 ），则 =（0，2，-2 ）， =（λ，2，0）， =（0，2，2 ），平面PAC的一个法向量为 =（2，0，0）.

设平面PAM的一个法向量为n=（x，y，z），由 ·n=0， ·n=0，

得2y+2 z=0，λx+2y=0. 令z=1，得n= ，- ，1.

由cos〈 ，n〉= = ，解之得λ=-1（舍），λ=1. 所以n=（2 ，- ，1），设PC与平面PAM所成角为θ，则sinθ=cos〈 ，n〉= ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值為 .

同样是设参数求解问题，能运用方法三解决该问题的学生，体现了其较优的空间想象的思维品质. 当点N在坐标轴上时，较之与方法一或方法二，大大地减小了计算的难度，用巧妙的思考置换复杂的运算. 这就要求教师在平时的知识讲解中，应适时地点拨学生、引导学生举一反三并不断地锻炼思维能力，毕竟每一堂精彩的数学课，总能让学生深深地体会在山重水复之后依旧柳暗花明.

方法四：过点M作MN⊥AC于点N，作EN⊥PA于点E，作CD⊥PA于点D，

连接ME，并建立如图4所示的空间直角坐标系，有A=（0，-2，0），C=（0，2，0），

P=（0，0，2 ），则 =（0，2，2 ）.

由MN⊥ACPO⊥MNAC∩PO=O？圯MN⊥平面PAC，所以MN⊥PA.

同理有EM⊥PA，所以∠MEN是二面角M-PA-C的平面角，則∠MEN=30°. 设MN=a，有△ANE∽△ACD，则 = ，得 = ，所以EN= . 又因为 =tan30°= ，即EN= MN= a，所以有 a= ，解之得a= ，故M= ， ，0. 设平面PAM的法向量为m=（x，y，z）. 因为m· =0，m· =0，得2y+2 z=0，x+2y=0. 令z=1，得m=（2 ， - ，1），设PC与平面PAM所成角为θ，则sinθ=cos〈 ，m〉= ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 .

方法四的解法也就是所谓的综合法，因为综合法对空间几何图形中的点、线、面之间的关系理解程度、作图能力和空间想象能力要求较高，所以在考场上能运用综合法并且将题目做得全对的考生寥寥无几. 这也体现出高中数学教师对向量法的“趋之若鹜”，而对于综合法的教授“无人问津”的现象. 但是，综合法能很好地培养学生的空间想象能力，这应该成为以后的高中数学老师教学中应当有意识加强的模块.

方法五：设AM与OB交于点N，过点O作OD⊥PA并交PA于点D，连接DN，具体如图5所示.

因为ON⊥ACON⊥POAC∩PO=O？圯ON⊥平面PAC，从而ON⊥PA，DN⊥PA.

所以∠ODN是二面角M-PA-C的平面角，故∠ODN=30°.

在等边△PAC中，易求得OD= ，所以在Rt△ODN中，ON=1.

又因为 =cos30°，解之得S△PAN=4. 设点O到平面PAN的距离为d，则有 ·d·S△PAN= ·PO·S△AON，解之得d= . 取PA的中点为F，则OF∥PC，OF= PC=2. 设PC与平面PAM所成角为θ，所以PC与平面PAM所成角的正弦值为sinθ= = .

方法五是受到了方法三的启发，而另辟蹊径的一种解法. 这是一种相对讨巧的综合解法，它跳脱了向量法的计算和综合法的繁杂，能运用该方法解决问题的考生，体现了其思维的可贵之处. 阅卷后不难发现向量法备受学生的钟爱，这与高中数学老师的推崇密不可分，这也是高考应试的无奈之举. 但是，如果想要让学生能够做到欲穷千里目，为今后学生的长远发展做好铺垫，恐怕还得要求教师先帮助学生在数学的大厦里更上一层楼.

方法六：过点C作CD⊥PA并交PA于点D，具体如图6所示.

因为△PAC为等边三角形，易得CD=2 . 设点C到平面PAM的距离为d，由二面角M-PA-C为30°，

所以sin30°= = = ，解之得d= . 设PC与平面PAM所成角为θ，

所以PC与平面PAM所成角的正弦值为sinθ= = .

能用方法六解决该问的考生的确值得赞赏，能够将题目简明扼要、抽丝剥茧，这是在深刻地理解了二面角的定义基础上，实现思维上挣脱了常规的向量法和综合法的束缚，体现了考生可贵的直观想象素养和较强的逻辑推理能力，好似会当凌绝顶，回首一览众山小.

解立体几何题的教学反思

立体几何的考查方式主要是证明和计算，内容主要是垂直、平行关系和角度计算. 解决立体几何问题的方法主要有综合法和向量法，二者解决问题的思维路径如图7所示：

向量法解立体几何问题的难点主要在于求法向量，对空间想象、作图等能力要求不高，这也是备受考生青睐的主要原因. 向量法引入高中有助于学生感受数与形的联系，也是学生以后学习高等代数等学科的重要纽带. 综合法与向量法相比较解决问题要更复杂，但对于训练学生的直观想象、数学抽象素养的效果要更好. 笔者以为，向量法的教授应该在综合法之后，一方面，学习了几何的基础性知识对于学生学好向量法是有铺垫作用的;另一方面，学生在高一物理学科学习了有关“矢量”的概念之后，对于向量的学习会更具有代入感，也更容易接受.

有一句被很多教师信奉的格言：老师要想给学生一碗水，前提是自己至少得有一桶水. 笔者认为教师应与时俱进，现在也许一桶水已远远不够，学生需要的可能是一车水，抑或是教师秉持终身学习的教育理念，让自己成为不断产生活水的源泉.