图形计算器在函数教学中的运用

李贤应

[摘  要] 高中数学函数教学中，借助图形计算器可以帮学生有效地构建函数知识，理解函数思想，同时也可以提升学生的思维品质. 图形计算器本质上是教学手段的使用，其是要服务于教师的教，并最终服务于学生的学的.

[關键词] 高中数学;图形计算器;函数教学

图形计算器是一种集数值计算、函数图像显示、编程、数据分析等功能于一身的掌上计算器. 作为一种新型的数学实验工具，它具备符号代数系统、几何操作系统、数据分析系统等，可以直观地绘制各种图形，并进行动态演示、轨迹跟踪.很显然，图形计算器可以成为辅助教学的重要手段，尤其是在高中数学中，当遇到一些复杂的数学知识的时候，借助于图形计算器来辅助教学，可以化解学生的学习难点，为学生的思维发展提供台阶. 众所周知，函数是中学数学极为重要的内容，同时也是最为复杂的知识点之一，函数几乎贯穿整个高中数学的始终，数、式、方程、不等式、数列、极限、导数与微分等内容与函数有密切的联系，同时还渗透到三角、立体几何、解析几何中，更有内容丰富的函数实际应用性问题，跨学科的综合应用是函数的鲜明特征，所以，学好函数知识是学好整个高中数学的关键. 而根据笔者多年教学的经验，以及从近年来的高考考查来看，函数知识的重要性更体现在学生对函数相关知识的深度理解与综合运用上，而这某种程度上恰恰对学生对函数知识的构建与应用提出了更高的要求. 从教学的角度看，利用图形计算器来降低学生的思维坡度，也是有效的选择之一.

基于图形计算器的基本功能帮学生构建函数知识

图形计算器的基本功能之一就是函数功能、图形功能，使用图形计算器能实现制作图形、动态演示、跟踪轨迹等功能. 利用这些基本功能，可以让学生在建构函数知识的时候跨越许多障碍.

例如，在学习指数函数、对数函数的时候，常常需要让学生作指数函数或对数函数的图像. 如学指数函数的时候，需要让学生作y=2x的图像，又或者作y=  的图像等. 由于这些函数与简单的函数不同，用描点法作图往往会出现描点、连线的困难，学生的注意力大多集中在如何作出图像上面，通过对这两个图像的比较去发现y=ax和y=  （a>0，且a≠1）的性质，而要化解这一矛盾，让学生将注意力集中到函数性质的探究上来，就可以借助图形计算器（可以是单机版，也可以是在线图形计算器）来生成图形，并在图像生成的过程中观察图像的形状，判断两个函数的关系（如图1），进而认识两个函数的性质.

很显然，根据图形计算器生成的图形，可以发现y=2x跟y=  是关于y轴对称的，而这个时候学生自然的猜想就是：y=ax和y=  （a>0，且a≠1）是不是也是关于y轴对称的. 此时学生可以自己通过对图形计算器的处理，同时生成y=ax和y=  （a>0，且a≠1）的图像，进而发现一般结论. 同时为了加深学生对指数函数的性质的理解，生成图像的过程中，还可以通过对a进行不同的赋值，从而去发现a值对指数函数的影响. 同理，在对数函数的学习中，也可以采用类似的思路.

这样的教学的最大价值在于，学生所获得的函数图像的信息是准确的，而用图形计算器来生成函数图像，实际上也是让学生建立基于更精确的图像分析得出函数性质的思路. 当然，考虑到高中学生对函数图像的认知，教师可以在用图形计算器呈现图形之前先让学生在方格纸上自己描点作图，然后将自己所作的图形与图形计算器生成的图形进行比较，从而让学生认识到图形计算器在生成函数图像方面独特的作用，进而可以让学生自己接纳这一图像生成方式，理解其准确性与合理性. 这可以保证学生在理解函数性质的时候有形可依，从而让学生对函数图像的表象比较准确，所建立起来的对函数性质的理解也就比较清晰.

如上所说，函数知识是高中数学中比较复杂的知识，在这个过程中借助图形计算器不只是为了提高教学的效率，更是为了帮学生形成清晰的图像表象，及不同函数图像之间的关系（通常就是对称等）. 有了这样的认识，图像的性质的建立过程往往是顺利的，所认识到的性质往往也不会显得过于抽象，这是传统教学所不及的.

利用图形计算器的动态功能帮学生体会函数思想

图形计算器的另一个基本功能，就是可以给学生提供动态的画面，这对于让学生认识包括图像在内的函数的性质来说，具有其他教学手段所无法替代的作用. 利用这一功能，让学生理解函数思想及其应用，具有不俗的“功效”. 函数思想的应用，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数. 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，可以使问题获得顺利的解决.

比如说函数图像的变换，可以借助图形计算器，让学生看到同一类型不同参数的函数的图像之间的关系，并建立动态表象. 这样的教学可以遵循由易及难的思路来进行，比如说可以先给学生提供他们熟悉的简单函数的图像，如反比例函数f（x）= ，然后变换到f（x+2）与f（x-2）（如图2）. 然后再给学生提供更复杂的图像，如f（x）=2x以及f（x+2）与f（x-2）（如图3）.

这样的变换，对于学生来说，就是在眼前有一个清晰的一组图像可供加工，且图像的生成过程如果设置成动态的，那学生就可以在观察动态图像生成过程中，感悟到函数随着自变量的变化而变化的关系，从而理解某一具体函数的变化趋势. 然后在此基础上再生成不同参数的其他图像，则就可以顺利地在大脑中完成图像的变换，这种变换的过程，就是动态的图像形成的过程，也是学生对同一类型、不同参数的函数关系的更生动、形象的认识形成的过程.

在这个过程中，学生对函数的思想的理解是比较深刻且有效的. 尤其是其中的动态变化观念的形成，是其他教学手段难以起到作用的. 在实际教学中，利用图形计算器帮学生认识函数思想，还可以采用一个小的教学技巧，那就是在使用图形计算器之前，先让学生自己猜想、探究参数变化之后可能的图像是什么样的，猜想得越细致越好，既可以猜想图像的形状，也可以猜想参数变化之后与原图像的间隔大小等，然后再用图形计算器生成准确的图像，以让学生进行对比. 这个对比的过程，其实就是强化学生准确认知的过程，这些细节方面感觉越准，那学生对函数思想的理解也就越准确.

利用图形计算器的计算功能提升学生的学习品质

图形计算器的最大功能就是过程形象、结果直观. 从学生学习的角度来看，这样的特点是可以提升学生的学习品质的.

众所周知，高中数学的学习离不开良好的学习品质作为支撑，而学习品质的形成往往来自学生在数学学习过程中的思维加工过程. 也就是说，有什么样的思维加工过程，就有什么样的学习品质.利用图形计算器，学生在函数学习过程中，思维加工的对象更准确，思维空间也更大. 上面所举的例子中，学生不仅能够看到直观的函数图像，还能在这些函数图像生成之前、生成过程中、生成之后有充分的想象空间，而有了猜想的过程，学生就自然地会将自己的猜想结果与图形计算器生成的图像进行比较，然后进行自我评价. 不要小瞧这个自我评价过程，其是学生在学习过程中完善自身思维方式、提升思维品质与学习品质的重要环节. 只有学生有明显的自我评价意识并进行有效的自我评价，他们才能在不知不觉当中有完善自身学习品质的潜意识.

总的来说，高中数学教学中运用图形计算器，一个重要的思路就是要将图形计算器这一软件的使用视作教学手段的使用，而教学手段又是要服务于教师的教，进而服务于学生的学的. 而服务于学生的学的最后指向，其实就是学生的思维品质以及学生的学习品质. 我们认为，只有指向学习品质的数学教学，才是有效的数学教学，只有指向学习品质的提升，也才是包括图形计算器在内的一切教学手段使用的最终目标.从这个角度讲，图形计算器在函数教学中的最大价值，就在于让学生在明晰思维对象与思维过程中，明白了函数学习应当面向哪些客观具体的图像，明白了不同图像之间存在的区别与联系，进而将不同函数知识更好地组织在一起形成一个大的知识组块，强化了记忆，增强了理解，促进了认知，提升了品质.