对一个几何结论的深入研究

■(指导教师：褚人统)

课堂上很多老师会有意无意地留下一些问题，让同学们自己去深挖、探究。其实，这倒是同学们去探究知识从而获得科研能力的好机会。本文就是笔者一次认真的探究过程，与读者共享。

一、老师留下了一个问题

在坐标几何中，如何求点关于一条直线的对称点的话题是个很重要的话题。笔者的数学老师在课堂教学中对这一问题只针对一般情况下的求法做了详细的解答。

已知点P(m，n)，它关于直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称的点P′(x0，y0)。为求P′(x0，y0)，可以通过直线PP′与直线l垂直、及线段PP′的中点在直线l上这两个关系列出方程组；即当A≠0时，方程组就是且+C=0，解出x0、y0就可以了；当A=0时，直线l是平行于x轴的直线，对称点比较显然，是容易求的。

不过，老师又留下了一个使我们如坠云雾里的问题：当对称轴直线l比较特殊时候，即直线倾斜角是时，求对称点就不用上面的一般方法进行大量计算了，只需画一下图像看一看就能找出来的。老师还说：在重要的考试中，尤其在高考中，如果出现需要求对称点的，那么，相应的对称轴(肯定地认为)一定是属于上述四类直线的。

二、问题的深刻分析

真的吗?老师轻描淡写的话，我却已经记在心里了，这是一个怎么样的“看一看就能找出来”的呢?

当直线l的倾斜角是0或时，直线l与x轴平行或垂直，对称点一目了然，问题不大；当直线l的倾斜角是时，怎么能轻松地从图中看出来呢?

在一次自习时间，我拖住了老师想问个究竟。老师只给了下面的具体做法，还说这样做可以是“公式化”了。我问：为什么这样?老师却说是经验使然(可能不想说)。

点P(m，n)关于直线l：y=x+b对称的点是P′(n-b，m+b)；同理，点P(m，n)关于直线l：y=-x+b对称的点是P′(-n+b，-m+b)。

我很愕然!老师还说了这结论其实很容易理解的，理解了自然就记忆了!亲爱的读者，您理解了吗?记忆了吗?

三、恍然大悟

这结论怎么来的呢?在同学们通力合作下，问题得以解决了。先看点P(m，n)，它关于直线l：y=x+b对称的点为何是P′(nb，m+b)? 如图1：过P点作x轴的垂线、平行线分别交直线l于Q1、Q2，再 过Q1、Q2作x轴的平行线、垂线，交点为P′。得Q1、Q2的坐标分别为Q1(m，m+b)、Q2(nb，n)，推得P′(n-b，m+b)。由于直线l的倾斜角是，从而，矩形PQ1P′Q2是正方形，这样对角线PP′与Q1Q2互相垂直，从而，P′(n-b，m+b)就是P(m，n)关于直线l：y=x+b的对称点。

图1

同理可以证得另一个结论，上述过程也揭示了：当直线的倾斜角不是时，这样作图得到的矩形不是正方形，那么，就无法用上面的几何方法去求对称点了，如果要求的话，只能按照本文开头的一般方法去求了。