胡塞尔论形式算术的算法

李义民12

(1. 莆田学院 马克思主义学院，福建 莆田 351100； 2. 九江学院 社会系统学研究中心，江西 九江 332005)

胡塞尔在1891年出版的《算术哲学》第一卷(PhilosophiederArithmetik，以下简称“PA”)中提出了两个关于数学基础的哲学方案：即分析作为数的科学(即数论)和分析作为一种形式工艺论(或形式逻辑的分支)。从总体上看，这本著作试图运用描述心理学的方法，通过分析心理行为来澄清数学及其演绎方法的终极起源和根本意义。

受著名数学家魏尔斯特拉斯的影响，胡塞尔最初认为，全部数学的本源和根本意义就是基数概念。由于人类心理能力的局限性和数学概念系统的复杂性，胡塞尔发现数学演绎的基底(Substrat)不是概念而是符号，基数概念不能为普遍算术(arithmeticauniversalis)(1)胡塞尔早期交替使用的arithmetica universalis和allgemeinen Arithmetik都可以译为普遍算术，后者也可以译为一般算术。二者都是指以微积分为核心的全部数学的整体，主要包括数学分析、函数论等。按胡塞尔的第一种方案，一般算术的基础和本质就是基数概念；而按照第二方案，一般算术的实质是逻辑规则支配的符号技术或算法，胡塞尔进而把符号算法设想为一种更高阶的逻辑结构。胡塞尔也曾提及“形式数学”这个术语，它的基本含义在于其符号的纯形式特征，这些符号可以被解释为具体的数学概念或量。首先，在胡塞尔那里，通常的初级算术已经是形式算术或形式数学，它的基础就是本文阐述的第一种算法；胡塞尔认为第二种算法是更高级的形式数学，并在1901年最终把它描述为自莱布尼茨以来的普遍数学的理想。奠基。胡塞尔由此认为，数学是基于符号及其规则的系统性构造，所以一般算术不是科学(Wissenschaft)，而是算法性的逻辑技术。这样，胡塞尔在PA中经历了从研究基数概念的心理起源向研究符号数学的逻辑起源的重大转向。

一、符号数学的基本根据

胡塞尔的第一个方案是：通过描述心理学先彻底澄清基数概念，然后逐步澄清其他各个层级的概念，使整个数学大厦作为概念系统和相应的命题系统稳固地建立在基数概念的基础上。在这个方案中，布伦塔诺关于本真表象(eigentliche Vorstellung)和非本真表象(uneigentliche Vorstellung)的区分具有决定性地位。本真表象可以把握到数本身，即某数包含的单位以及这些单位的多少。魏拉德最早明确指出，胡塞尔早期说的“数的表象”就是“数的概念”和数自身。[1]30-36如果不能本真地把握数概念，就只能是符号性的把握。非本真表象也称符号表象，符号表象是对无歧义地描述对象的符号的表象，例如数的图形因素(figuralen Momente)如“堆”“群”等，所以符号表象不能把握具体的“多少”。对基数而言，非本真表象的局限性是非常致命的。但受布伦塔诺的影响，胡塞尔最初认为数的本真表象和非本真表象在逻辑上是等价的，即尽管表象方式不同，但数(如7)所包含的单位的“多少”作为逻辑等价物是确定的。由此似乎可以克服数的符号表象的局限性。

随着研究的深入，胡塞尔发现第一方案是不可能的。他在1890年2月给施通普夫的信中说，“在考虑教职论文中仍然指导我的观点——基数概念构成一般算术的基础——很快被证明是错的，对基数的分析已经使我清楚了这一点。无论用什么巧妙的方法，无论什么非本真的表象，都不能从基数概念中得出负数、有理数、无理数和各种复数。序数概念、量的概念等同样如此。”[2]245这里明确指出了基数基础方案的双重失败，一是在分析基数概念时，二是分析其他概念。

研究者们长期以来只注意到第二个失败，即不能以任何可能的表象从基数概念得到其他概念。这个原因的实质是不能实现概念间的内涵过渡，过渡的中介是表象。胡塞尔始终坚定地认为数概念的根本含义是基数，即一个量或集合的“多少”。由于数的基数意义不可动摇，所以分数、无理数、负数等概念只能是毫无意义的悖谬，都是“不可能的”概念，它们都不可能过渡到基数概念。胡塞尔由此认为，全部数学完全没有共同的概念基础，基数、序数等任何概念都不能为普遍数学奠基。随后的问题是，“思维运用矛盾概念的运算怎么可能得到正确的定理”？这促使胡塞尔考虑形式算术和符号学，并且认为普遍数学“不是概念可能或不可能的问题”，而是“符号及其规则的成就”。形式数学的优势表现为，仅仅“通过计算本身及其(如为那些虚构数所规定的)规则”使概念的不可能性消失，并使真正的等式保留下来。[2]247-248

但第一个失败对胡塞尔的转向更具实质影响，由于它在PA中表现晦涩，直到最近才由霍普金斯在《符号数学的逻辑起源》[3]中被细致阐明。

人类的表象能力高度有限，这不仅是一个实验心理学的事实，也是一个重大的现象学事实，它使得任何整体总是只能作为必要且潜在的背景影响着认识的方式和效能。就数学而言，“如果我们拥有所有数的本真表象，……就会没有算术，因为它会是完全多余的”。[4]191胡塞尔最初认为由本真表象获得的本真数不超过3，后来认为不超过12，对此他未作过多讨论。但本真数肯定是非常有限的，现试以12为其上限，在本真数之外，通过观念化可以获得任何其他基数的符号概念并最终获得无穷观念。按照观念化方法，完全可以想象12加1，并且它必定会产生一个新数即13，它是13个单位的综合统一；同样地，还可以逐次获得14、15等其他的数。由于人类有限的心理能力在一个行为之中至多只能综合12个单位，所以观念化方法产生的数都是数的符号概念，即非本真的数概念。由于数的本真表象和符号表象逻辑等价，所以胡塞尔最初认为算术运算是在操作概念，并试图以基数概念为数学奠基。但在他研究符号表象时，很快发现这是不可能的。以7+6=13为例，这个运算所操作的不是概念而是符号。因为数必须是且只能是若干单位组成的多，但13这个多恰恰不能作为本真概念被给予，所以决定“7+6”这个结果的，不可能是概念，只能是符号和符号逻辑。显而易见，对于47+19=66这样的运算更是如此。

基于以上原因，胡塞尔放弃了普遍算术的概念基础，转而诉诸其符号逻辑基础。胡塞尔由此认为，数学家们认为算术是在运作概念，这个普遍流行的偏见歪曲了算术的意义和本质。[4]262由于算术没有运作概念，所以它不是科学而是符号技术。[2]248现代学者承认这是胡塞尔早期哲学的一个关键转变。因为人类的本真知识非常有限，而非本真的符号知识几乎是无限的，怎样从本真知识扩展到符号知识的领域并保证后者的可靠性，这是胡塞尔现象学的重要主题之一。由此可见数学对胡塞尔哲学的深远影响。

二、符号数与计算概念

由于上述原因，胡塞尔的PA文本在三种不同的意义上使用数概念。①是指自然数列系统，也就是数概念或数本身，胡塞尔早期显然是数学实在论者；②是符号的数概念系统，出自于非本真表象或观念化；③是单纯的符号系统，即数符或数字系统。以3为例，它可以是数3这个概念即3本身，也可以是3这个数的符号概念，还可以是毫无意义的感性记号。这个区分对于理解胡塞尔所揭示的算术的根基和本义至关重要。这里，①和②都是概念性的，②和③都是符号性的，但②不是①与③的中介。[5]39胡塞尔认为①和②严格平行或对应，即一个符号概念如“13”至少潜在地命名了或对应于相应的数概念，这时胡塞尔基本上不再考虑数的本真概念与符号概念间的等价关系。②和③虽然都是符号，但前者是概念的符号相关项，后者则是②的符号代表(Repräsentant)，是②的记号性(signitiv)符号表达。

③的逻辑地位复杂而有趣。胡塞尔最初把它理解为概念的附属物(Begleiter)，类似于日常语言中的通名。由于胡塞尔最终发现算术实际上是符号性的，即在真实的计算过程中决定性的要素不是基数概念而是符号及其规则，所以胡塞尔认为③不是通名从而不能指称概念，也不能命名数概念，③仅仅是数的符号概念的感性代表，是外在记号。作为记号，“13”与“我”“太阳”等符号一样与数本身显然毫无实质关联。在胡塞尔看来，数符之所以能够代表并被解释为数的符号概念，一是数符的感性差别构成了该解释的感性基础，二是取决于数符的系统性构造从而能够实现与数系的某种关联，三是与这种构造相关的逻辑规则构成了符号算术的逻辑基础；反之，也正是这些规则支配着把某数符解释为相应的数。

总之，由于数的符号概念所对应的数不可能被本真给予，数系和算术只能借助于符号及其规则而被系统地构造出来。这使胡塞尔认识到，感性符号“以远远比我们所确认的更惊人的方式参与了我们的符号构造。实际上，(参与得)如此之多，以至于它们最终决定了几乎整个领域。事实上，数的概念系统与数的符号系统间的严格平行使得，把符号系列的系统性延伸视为(非本真地被表象的)概念系列的系统性延伸的代表，成为可能。”[4]241简言之，这种严格的代表关系使符号构造得以可能并取得了惊人的数学成就。

与此相应，胡塞尔的算术概念也从关于数的科学进展到关于数与数的关系的符号计算技术，这时计算概念和计算技术是关键。就算术而言，符号构造(含数系构造)就是计算。对符号算术的逻辑起源的研究，其任务是建立一种“普遍的运算理论”，即关于计算和计算技术的理论。[3]110-111因为计算技术几乎总是局限于数的符号表象，胡塞尔首先把计算概念描述为“从给定的数开始推演出所求之数的任何方式”，然后更抽象地描述为“任何从数到数的符号推演，它实质上奠基于由规则支配的、运用感性符号的操作”。[4]257-258这里符号是工具性的，数概念仍然具有某种基底性。显然，这个定义也不能体现普遍算术的符号本质。胡塞尔最终把“为算术奠基并构成其方法论的技术方面”的计算概念规定为：“在任何算法的符号系统内，任何由规则支配的、从符号到符号的推演方式，它遵循该系统特有的联结、分离和变换定律(或更确切地说：约定)。”[4]258

胡塞尔在PA中提出了两种算法，其一是试图把全部算术构造成一个融贯的符号逻辑系统，其二是各种不同数学的概念系统所共有的更深层次的结构形式。第一种算法在PA的最后一章得到详细阐述；第二种算法仅在PA中被提及，并预言将在PA的第二卷中专门研究，但PA第二卷最终流产。不过胡塞尔对这种算法进行了长期思考，并最后促成他在1901年提出了第三个数学哲学方案，即分析的实质是流行论(Mannigfaltigkeitslehre)。第一种算法明显与基数基础方案的第一个失败相关，即基数概念不仅不能为数学奠基，甚至也不能单独为日常算术提供逻辑基础；第二种算法则试图揭示以相同的逻辑结构统一基数理论、实数理论等不同的数学分支。本文随后将集中考察第一种算法。

三、数系重构和句法还原

如上所述，新数学哲学方案中，数系构造是首务，计算是核心。需要注意的是，如同岑特若尼(Centrone)所言，胡塞尔重构数系不是要去建立另一种新算术，而是为了给算术奠基。[5]40具体说来，就是先构造数的符号系统来代表数的符号概念系统，从而扩展有限的本真数域(即涵盖从2到12的这些数)，并通过算法保证数的符号知识的可靠性。这种构造不是在为数命名，而似乎是要以某种平行或对应的方式通达类似于柏拉图主义的数学对象和数学真理的世界。所以“按照概念，它包含了整个数域，也就是说，没有一个实际的数不对应于一个完全确定的系统构造物，该构造物作为数的符号相关项等价于数。”[4]233在这里，逻辑构造是通达柏拉图式数理世界的关键要素。

这个构造的基本原则是使用尽可能少的初始概念和运算规则。简明性是算术的基本特征，也是首要的构造原则。

胡塞尔认为构造的基础“1, 2, …, X”应当是本真被给予的数，故X作为基底数(Grundzahl) 不超过12。由此可以产生新的序列：

X + 1, X + 2, …, X + X,

X + X + 1, X + X + 2, …, X + X + X,

……

出于简便的目的，胡塞尔引入了乘法和乘方的符号表达，相应地有：

2X, 3X, 4X, …

X2, X3, X4, …

最后胡塞尔利用本真数、乘和幂概念，构造出一个可以表达任何自然数的函数：

{a0, a1X, a2X2, … , anXn}，其中0≤a

由此产生的系统与自然数列完全重合，但优势在于能够表达数域的整体。这个构造实际是运用了逐次加1的方法，其实就是纯形式的后继运算。这个方法的优点是能够按照数符在系统中的位置来确定数的大小(<)关系，并对应于数本身的“多少”关系，因为符号数不能把握“多少”。它的缺点是不能解答系统内像10+5和4×7等这些构造形式，所以需要进一步构造算法。胡塞尔因此进一步把数符区分为非系统的数和数的标准形式两类。以49+17=66为例，“49+17”是非系统的数，66是相应数的标准形式，数的标准形式也就是系统性的数。形式算法的实质是按照既定规则把非系统的数还原为数的标准形式，并按照上述符号与数概念的代表关系，最后把符号66解释为相应的数66。

胡塞尔的算法其实是代数性质的，所以他的计算可以更一般地描述为a+b=c。他在1891年的论文《论运算概念》中引入“结合(Verknüpfung)”概念，并把“+”解释为“结合”，即加、减、乘、除、开方等任何可能的运算。[4]408-429“结合”既被解释成对a与b进行的运算，也是指该运算的结果“a+b”即c。引入结合概念，以便解释符号组合“a+b”是数的非系统性形式。显然，其中的a或b可以是个别的数，也可能是“m+n”这种组合，同样地，m或n也可以是“p+q”这个结合；如此类推，以致无穷。这意味着形式算术是在研究系统内任何符号与其他所有符号的任何可能的复合关系。

运算最终被胡塞尔描述为：“某种产生对象的东西存在于运算概念之中。某种活动把自身指向给定的对象并产生一个新对象。……重要的事情是：运算是对被给定对象的概念变换方式，由此新事物产生了，这种事物是——由于该变换我也能视其为被给予的。”[4]428与此相关，胡塞尔把算法描述为：符号变换是“以完全外在和机械的方式”和“按照游戏规则的方式”进行的。胡塞尔认为它是一种单纯的符号产生机制(Mechanismus)，能够自动产生唯一一个标准形式的数符。贺蒂茉(Hartimo)认为这种句法还原的思想是现代计算机科学中项重写理论的先驱。[6]

结合胡塞尔后来在《逻辑研究》和《形式逻辑和先验逻辑》中的论述，米勒(Miller)认为，按照这种算法概念，在符号系统内，数符和各种运算符自身都没有指称但拥有意义。即任何数符的意义在于无限多的与其等值的非系统数的整体，运算符的意义同样由算法内部基于规则的不同数符所组合成的等式的整体决定。[7]113-115例如在某特定系统内，如果a+b=c中算符是加号，那么在a+b=p时该算符必定不是加号了。

四、运算的分类

运算的分类就是考察以上数符结合的不同形式，因而是算法研究的深入和展开，其目标是把符号系统构造成一类胡塞尔所称的“所有可以设想的算术运算的整体”。具体而言，该研究需要对任何可能的构造方法进行分类，并“为每一种类型找到可靠且尽可能简单的实施还原的方法”。岑特若尼认为胡塞尔的运算类外延上等价于现代逻辑中的“部分递归函数”的类。[8]胡塞尔的策略是先考察四则运算，即加、乘、减和除，然后研究由这些基本运算产生新运算的方法，同时证明这些方法的可计算性。

(一)四则运算

1.在以X为基底的符号系统中，通过运用通常的逐列相加法，加法被还原为一系列的加法，即a+b表现为：

(a0+a1X+a2X2+…)+(b0+b1X+b2X2+…)

=(a0+b0)+(a1+b1)X+(a2+b2)X2+…

胡塞尔指出该运算结果是“唯一被决定的”，即具有唯一性，因此加法是可计算的。

2.乘、减和除的运算与加法形式上有些相似。就每一列的计算而言，加使用了加法口诀表，乘使用了乘法口诀表；胡塞尔把除法口诀表设想为除数是以X为基底的个位数，被除数则是以X为基的两位数。另外，减和除不是全运算，只考虑其部分运算。

3.胡塞尔认为就概念运算而言乘法不是一种新运算，但就形式运算而言则是新的。因为c是二元函数a×b所决定的唯一结果。不过应当注意，把“a×1, a×2, a×3, …”分别定义为“a, a+a, a+a+a, …”是正确的；但是把a×b定义为“a+a+a+…b次”是不合法的，它不是纯形式的定义，因为其中的b是概念性质的。幂运算也存在类似的情况。

(二)新型运算

在四则运算基础上，胡塞尔把产生数的新方法区分为高阶运算、组合运算和方程的方法三类。

1.高阶运算。按照一些运算的双重关系，可以产生无限上升的运算序列。例如，通过数出相同加数重复的次数可以产生乘法，数出相同因数重复的次数产生幂运算，“我们以同样的方法继续：通过数出一个数的幂重复的次数，可以产生一种新的符号数的描述类型，即升阶(Elevation)；通过数出升阶的重复，又是一种新的；如此这样以至无穷。”[4]277这类运算序列显然都是二元全运算。

2.组合运算。如“一个数乘以一个和，一个积除以一个和，一个商的幂等等”，虽然复杂，甚至还可以更复杂，但是也可以简化并构造出其基本形式。胡塞尔的基本思考是把几个运算结合在一起构成一个统一的“计算机制”，但同样必须以“纯粹机械的运算取代实际思维”，把复杂的符号构造还原成数的标准形式。按照这个思路，岑特若尼构造了一个复合运算的一般形式：f(g(x))，它是函数f和一元函数g的组合。[8]220

目前所讨论的运算都是关于数的直接规定，即由给定的数或给定运算的“复合”而产生的新的系统数，也就是数的标准形式。在PA的最后一节，胡塞尔研究了通过方程来间接地描述数。

3.方程。虽然一个方程可以确定一个数，但胡塞尔认为，“一个数由方程系统规定，不由单一方程规定。”这显然是出于系统的整体性和完善性的考虑。胡塞尔的主要思路是：“方程和方程系统是数的间接描述的一般化，该间接描述通过逆运算获得。”[4]281具体说来，如果一个未知数x可以由以下构造系列决定：

a+b, a×b, ab, 等等

那么通过逆运算同样可以产生决定该未知数x的方程系列：

a+x=b, a×x=b, ax=b,xa=b，等等

当然，胡塞尔也考察了更复杂的方程，在此从略。至此胡塞尔结束了他的算法构造工作。似乎毋庸赘言的是，胡塞尔的这个算法仅仅考虑自然数系统，他认为分数、虚数等都不是数，所以数域不能被扩展，扩展的只是计算技术。[2]42-43

胡塞尔最后指出，一般算法的方法就是普遍的运算理论。当代学者一般认为，胡塞尔的逻辑是一种理性演算(calculusratiocinator)，而弗雷格的逻辑则是普遍语言(linguacharacteristica)。按照岑特若尼的研究，胡塞尔是第一个主张算术运算的算法意义的学者。其中，胡塞尔最原创的思想是界定所有可能的运算的整体，把任何有意义的符号组合还原为既定的标准形式，并由此揭示算术形式系统的一致性。

五、述评

在PA中胡塞尔没有给出算法概念的明确规定，我们可以把他的算法大致理解为由逻辑规则支配的、系统性的符号推理技术。另外，胡塞尔也没有明确指出该系统具体的逻辑规则，这有可能是因为胡塞尔会认为它是作为技术专家的数学家和逻辑学家的工作，而哲学家的工作是反思逻辑数学的哲学意义。由于这些规则对于更深入地认识数学的哲学基础非常重要，似乎也可以认为胡塞尔这时还无力把握这些规则。

以上述的加法运算为例，它必须是以加法结合律为前提的。很明显，胡塞尔所研究的各种运算，它们的基本逻辑前提是运算的结合律、交换律和分配律。尤其需要注意的是，运算定律在传统算术中似乎应该由数概念保证并由此是自明的，例如3+2=2+3及其中实际的数5；但在符号运算过程中，如a+b=b+a等这些形式化的运算定律，它们的根据是什么呢？在胡塞尔之前，数学家汉克尔在构造形式数学时提出了著名的“形式定律的永恒性原则”，这里的形式定律就是指这些形式化了的运算定律。胡塞尔高度赞赏该原则，而且至迟在1887年就已经在反思其逻辑基础。[4]339贺蒂茉认为，胡塞尔构造的算法实际上是对该永恒性原则的澄清。[6]也就是说，正如传统数学中加法交换律保证了3+2=2+3且后者反过来例证了前者，运算的形式定律能够保证符号算术中相应运算的可靠性，同时，非系统数符的可还原性也反过来保证了还原运算过程中所运用的形式定律永恒可靠。按照胡塞尔后来在《形式逻辑和先验逻辑》中的反思，这显然只是一个初步的澄清。

至此为止，我们的全部陈述都是胡塞尔所试图揭示的一般算术的深层起源和根本意义。尽管胡塞尔的第一方案失败了，但它所澄清的数系的三重含义无疑是第二方案的基本前提。数概念或数自身虽然完全不参与符号系统的构造，但在胡塞尔的这种算术中，它们对符号系统仍然具有某种微妙的基础地位，从而数的概念系统与记号系统的关系需要进一步反思。此外，如果算术实际上是对本真数域进行符号与算法扩展的结果，那么分数、负数和无理数等虚构数似乎是对符号算术的某种进一步的符号扩展，那么余下的工作似乎就应当是考察该扩展的基本性质和逻辑基础，这是我们研究胡塞尔的数学哲学下一步即将进行的工作。

胡塞尔在PA中的很多分析和观点意味深长。例如，胡塞尔对基数概念的描述心理学的分析和相关结论，以及“如果一切数都能够被本真表象就不会有算术”的观点等等，常常让人觉得意犹未尽。可以说，胡塞尔的研究为我们提示了一个个紧密相关的问题域。因此，尽管PA只是胡塞尔早期不太成熟的著作，但非常值得我们从很多不同的角度进行研究。不过，想要进一步展开胡塞尔的思想，难度很大。在此方面，一个比较成功的案例是由克莱因(Jacob Klein)开启的。克莱因受胡塞尔影响，创作了其名著《希腊数学思想和代数的起源》。克莱因认为胡塞尔的研究“实际上相当于是对——自从韦塔和笛卡尔为现代科学铺平道路以来发生在数学(和哲学)中的——‘形式化’的再现和精确描述”。霍普金斯等人认为，胡塞尔在PA中的“再现和精确描述”是“先天分析”性质的，而克莱因则是对该“形式化”过程的思想史研究。[3]99-148在此基础上，霍普金斯的《符号数学的逻辑起源》在研究数学史和胡塞尔的数学哲学等方面取得了更多令人瞩目的新成果。