《填写数阵（1）》教学设计与思考

王张妮 王旭程

【教学背景】

本节课内容选自张天孝老师主编的《“学数学长智慧”超市》“构建等式1”第18至21页。《“学数学 长智慧”超市》是一套关注儿童思维发展和数学潜能开发的教辅材料，“构建等式1”中，特别设计以数阵作为“和相等”结构（□+□=□+□）的重要应用情境，训练儿童的概括能力和推理能力。我们针对其中“简单数阵填写”的部分，在一年级（下）开展了系列实验，期望通过实证研究，观察该阶段儿童是如何观察数阵并解决数阵问题的；通过教学，儿童对数阵问题可以达到怎样的解题水平。

【内容与设计】

本节课是在学生具备建构“和相等”的等式（从1～9的数中选择不重复的四个数填入方框，使“□+□=□+□”成立）的经验基础之上，设计的一节“填写数阵”探究课。前期，学生已经掌握了基本的“大数配小数”的方法，以及有序构建等式的策略；同时在进行等式的观察过程中，对“和相等”的基本性质（即一个加数增加几，另一个加数减少几，和不变）有一定的感性认知。在此基础上，这节课依次以“简单数阵——三角形数阵——十字数阵”为内容载体，试图通过教学来观察学生是否能在变化的数阵中找到不变的“和相等”结构，并通过“辅助探究——半开放探究——开放探究”三个层次螺旋推进教学，促进学生在逐渐“变化”的问题中寻找不变的结构。

【教学过程】

一、从简单数阵起步，明晰基本结构

1.阅读题意，自主探究。

出示题目：选 1、2、3、4、5、6、7、8、9 填入○中，同一个数不能重复，使每一边的和是15。

师：这是一个“人”形数阵，仔细阅读题目，如果你是小老师，你会提醒其他同学注意哪些问题？

在学生回答的基础上提炼、强调：选数范围是1～9；选数规则是每个图形中的五个数不能重复；运算规则是左边三个数的和等于右边三个数的和。

2.分层汇报，推进思考。

（学生自主探索后，指名汇报中间数是5的数阵）

生：左边填1和9，1+9+5=15，右边填3和7，5+3+7=15。

集体判断，对照前述三个要点（即选数范围、选数规则、运算规则）肯定其答案的正确性。

（出示动画：分别框出左边三个数和右边三个数）

生：我有一个新的想法，让左下两个数的和凑10，右下两个数的和也凑10。

师：可以吗？怎么从题目里说的三个数相加等于15变成了两个数相加等于10？这样做对吗？

生：我觉得可以。左边10+5=15，右边也是10+5=15。（指5）就是中间这个“5”重复用了两次。

师：大家听得明白吗？

生：我听明白了。就是每条线上已经有一个数5了，剩下的两个数凑10就可以。

生：“5”是重复数。

（教师配合学生介绍的方法，出示幻灯片，动态显示5用了两次，并进而动画形成○+○=○+○，从数阵中抽象出和相等的等式）

师：你们喜欢哪个方法？为什么？

生：当然是第二种方法，题目变简单了。

师：我也喜欢第二种方法。在第二种方法中，我们找到了一个重复计算的数——5，把题目变得简单了：从三个数为一组朋友，相加得15，变成了两个数为一组朋友，相加得10。

（出示幻灯片，逐一出示“重复数”“朋友数”）

小结：在解决问题的时候，如果我们能仔细观察，好好分析，常常能够找到比较简单的解决办法。

【设计意图：前测数据表明，学生的解题策略可以分为两个层次，第一个层次是停留在题目本意的理解上，即“左边三个数的和等于15，右边三个数的和也等于15”；第二个层次是在思考两边和同为15的过程中，意识到中间数5是一个特殊数，从而得到“左边两个数的和是10，右边两个数的和也是10”。看似一次简单地概括，其实已经触及问题的本质。因此，本环节有意识地收集了两个层次学生的作品，并分级呈现，在不同方法的碰撞中，引导学生思考、评价，进而提出“重复数”“朋友数”这样儿童化的概念，帮助学生积累分析数阵的经验。】

3.分类讨论，有序思考。

师：好，现在我们已经知道两边的朋友数要凑10，请你再填一填，你能得到几组不同的答案呢？

（学生尝试——反馈）

师：有的同学填了4组，有的同学填了6组。那我们请填得多的同学说说他是怎么填的？他填得对不对，好不好？

生：如果左边填1+9，右边填2+8；左边填1+9，右边填3+7；……

师：你们觉得这个方法好不好，理由是什么？

生：他的方法好，因为我发现他的填写有顺序。左边1+9，右边配上2+8、3+7、4+6；然后左边换成2+8，右边再依次搭配3+7、4+6；左边3+7，右边4+6。

（出示幻灯片，搭配图示）

师：如果把中间的5换成2或8，这时下面两个朋友数应该是几？你会填吗？

（学生自主填写并校对）

【设计意图：分类讨论、有序思考是重要的数学思想。在低龄学段，这样的思考方式还没有被完全建立起来，更需要创设情境，让学生多加感知。本环节从答案的多少这个问题深入，引发学生思考，如何“不重复，也不遗漏”的搭配策略，充分体验有序的思考。】

二、探究异形数阵，概括形式特征

师：想不到小小的数阵还有这么多讲究。怎么样？想不想再来挑战一个？

出示题目：把4、5、6、7、8五个数，填在每个图的○里，使每个三角形上三个数的和相等。

出示学生作品

师：他的答案正确吗？你是怎么检查的？

生：正确。左边三角形三个数的和是4+6+8=18，右边三角形三个数的和是5+6+7=18，两个三角形上三个数的和相等。

生：我有更快的方法。你们看4+8=12，5+7=12，所以答案肯定是对的。

师：（故作疑惑）为什么这样就对了？

生：和刚才一样。中间的重复数是6，左边三角形12加6等于18，右边三角形也是12加6等于18，两边的两个数加起来的和一样，答案就是对的。

师：谁听懂了他的意思？

生：中间的数，用了两次，其实是重复数，它旁边的两对数就是朋友数。只要两边的朋友数相等，两个三角形里数的和就也相等了。

师：你的意思是说，刚才的“人”形数阵中，我们找到了重复数和朋友数，把题目变简单了。这道“三角形”数阵的题目也能这样变简单，是吗？

（在学生回答的基础上，逐步出现动画，形成和相等的等式：○+○=○+○）

师：刚才是6填在中间，还有不一样的答案吗？

（学生汇报4、8填在中间的情况，全班一起验证答案）

师：5可不可以填在中间，为什么？

生：不可以，如果5填在中间，就找不到两组相等的朋友数了。

师：原来不是什么数都可以当重复数的，选择重复数的前提是剩下的两组朋友数要相等。对4、5、6、7、8来说，为了要让两边的朋友数相等，应该选谁来做重复数？

师：再看看，这些数在数列里排在什么位置？你有什么发现？

（学生检查，得到4、6、8分别位于头部、中间和尾部）

生：老师，我知道我知道，这个就像前两天我们填和相等的式子一样，去头、去尾、去中间，然后大数配小数就行了。

生：其实这个数阵就是填一个和相等的式子。

【设计意图：本环节有两个经验的调取：1.通过第一个环节“人”形数阵的探索，帮助学生抽象出“和相等”的结构，通过经验的类比，得到“三角形”数阵中“和相等”的结构，从而感知，数阵的外形变了，内在结构却没有变，仍然可以找到藏在数阵中的重复数和朋友数。2.通过对上一次实验中“和相等”等式建构策略经验的唤起，引导学生有序地填写数阵。】

三、拓展提升

师：大家的练习纸上有三个不同的数阵，用你们的火眼金睛，找出每个数阵中的重复数和朋友数，并小组交流。每位同学选一个最喜欢的数阵，填写答案，比比谁填得又对又好。

出示题目：把 4、5、6、7、8 五个数，填在每个图的○里，使每个三角形（变1、变2）或每条线上（变3）三个数的和相等。

师：哪个数阵最特别？为什么？

生：第三个数阵最特别，它的两个朋友数中间隔了一个重复数。

师：有时候，朋友数不一定靠在一起，需要我们仔细观察、思考。

题组答案数0组答案 1组答案 2组答案 3组答案百分比 变化率 百分比 变化率 百分比 变化率 百分比 变化率前测61.8%——22.4%——5.3%——10.5%——后测变1 10.70%-51.1% 16.0% -6.4% 13.3% +8.0% 60.0% +49.5%变216.0%-45.0% 13.3% -9.1% 16.0% +10.7% 54.7% +44.2%变333.3%-28.5% 12.0% -10.4% 10.7% +5.4% 44.0% +33.5%

有两组数据变化最为突出：第一组，0组答案的占比由前测的61.8%，锐减至变1、变2的百分之十几，可见原来得不出答案的学生，进行探究活动后，能够在自主练习中得到至少一组答案，我们认为这部分学生至少处于第二个层次。他们可以在教师的引导中，找到图形中的隐藏关系。第二组鲜明的变化数据是，得到3组（全解）的占比，由原先的10.5%增至近60%，在这些变化的题中，能够快速得到全解，足见学生对于题目中的结构十分清晰。

变3的数据则较变1、2差一些，分析教学活动中学生的表现，不难解释，变3当中的两对“朋友数”被中间的“重复数”隔开了，要识别其中的结构，就需要学生有更自主的分辨能力。

学生既有了一定的解题技能，基于这种能力和层次的定位，我们安排本环节的拓展，着重在几个变形数阵形式的识别和比较中，强化对于数阵结构的识别。

【设计意图：在数据分析的过程中，可以很清晰地看到，前测中0组答案（全错）的学生占比高达61.8%，得到1组答案的占22.4%，2组答案的占5.3%，3组答案（全解）的占10.5%。经过教学，再进行变1、变2、变3的自主练习，数据发生了明显变化。】

四、课堂总结

师：今天我们观察了很多数阵，你发现这些数阵有什么共同点了吗？

生：每个数阵里都有重复数、朋友数。

生：朋友数的和相等，数阵就会相等。

生：这些数阵的答案都一样，只是换了个形状。

生：填这些数阵就是在填和相等的式子。

……

师：原来大家都发现了，数阵就是在“换衣服”，但是不管怎么换，聪明的同学仔细观察，就能找到藏在里面的朋友数和重复数。

【设计意图：本环节安排了三个不同的数阵，通过“换衣服”这种儿童生活中常见的经验，自然地引发学生对寻找重复数、朋友数的意义的思考，从而揭示数阵形状变化中的不变的结构特征“和相等”。】