开放研究过程自主系统建构——《钉子板上的多边形》教学设计（二）

蔡小钢

本课是一节研究钉子板上平面图形面积规律的实践活动课，之前学生已经有了面积的概念，并且学习了常用面积单位，掌握了利用面积公式计算简单图形面积的方法。

在钉子板上围基本图形、数钉子的枚数、算基本图形的面积，这些都是学生愿意做、有能力做的事情，因此操作方面没有难度，同时对本节课的知识起点也有一定的经验积累。然而，钉子板上围出来的图形大多数不是规则图形，因此利用学过的面积公式和方法得出图形的面积比较难。同时，本课作为一节规律探索课，既要探索围成的图形面积与图形边上的钉子枚数之间的关系，还要用含有字母的式子表达这种关系，对五年级的学生而言有一定的挑战。通过有效的问题设计，以问题驱动引导学生自主探索，在探索中发现、总结规律，体验数学学习的乐趣和数学规律的魅力，培养探索精神和深度学习能力。

【教学目标】

1.学生自主探索并发现钉子板上围成的多边形的面积与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部的钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2.使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感受数学抽象的意义，培养归纳、比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验。

3.使学生获得探索规律成功的体验，提高学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点】

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

【教学难点】

综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

【教学过程】

一、图形欣赏，激趣生疑

师：（出示一些钉子板图）用橡皮筋可以在钉子板上围出这么多美丽的图案。同学们观察一下，这些图案都是由什么组成的？（基本的多边形）

师：请同学们在钉子板上任意围一个多边形。

师：用的同样的橡皮筋，为什么有的同学围成的多边形大，有的同学围成的多边形小呢？

（引导学生发现围成的多边形大小与钉子板上的钉子数量有关）

师：那你觉得与哪些钉子有关系？又有什么样的关系？

小结：在钉子板上围一个多边形，围的多边形的面积越大，用到的钉子数会越多。

【设计说明：通过欣赏图形，激发学生对多边形的探究兴趣。在此基础上，通过动手“围任意一个多边形”，不仅进一步激发其探究热情，更为深入研究提供了素材。“用的同样的橡皮筋，为什么有的同学围成的多边形大，有的同学围成的多边形小呢？”一问引导学生聚焦问题本质，关注“钉子数量”，为规律探寻做好了铺垫。】

二、分层探索，寻找规律

1.引导尝试，初步感知。

师：（出示钉子板）这是一块钉子板，横、竖每相邻两个钉子之间的距离都是1厘米，那么这个小正方形的面积就是1平方厘米。

师：（拉大边长，使其成为4平方厘米的正方形）它的面积是多少平方厘米？你是怎样想的？（计算、数格子）

师：正方形除了面积变大了，还有什么也发生变化了？（边上的钉子数和里面的钉子数都增加了）

师：看来，多边形的面积既和多边形边上的钉子数有关，还和里面的钉子数有关系。它们三者之间到底存在怎样的关系呢？这节课我们就来研究这个关系。

2.自主研究，引导猜想。

师：我们从简单的图形开始研究。下面这四个多边形的面积分别是多少？

引导学生通过公式、割补和数的方法计算各图形的面积。

师：虽然我们求出了这四个图形的面积，但我们的目的是寻找多边形的面积和其边上的钉子数以及里面钉子数的关系，所以我们接下来还要关注什么？（边上的钉子数以及图形里面的钉子数）

师：你有什么发现？

师：既然这四个图形里面的钉子数都是一样的，那我们先来寻找多边形的面积和边上钉子数的关系。（出示表格）老师为大家提供了一份表格，请同学们完成。

师：把数据整理在表格中，观察这张表格，你有什么发现吗？

全班交流：

（1）多边形边上的钉子数越多，面积越大。

（2）多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。

师：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母式来表示。如果用S表示钉子板上多边形的面积，用L表示多边形边上的钉子数，刚才你们的发现可以怎样表述？（根据学生的回答板书：S=L÷2）

【设计说明：巧妙的问题将引领学生的思维点聚焦在关注面积与边上的钉子数和里面钉子数的关系之上。“我们接下来还要关注什么”这样开放的问题，既提醒学生要抓住本节课的重点，又培养了学生自主发现的能力。在此基础上，教师提出“你有什么发现”时学生便不会无据可依，更多地会去自主探索三者之间变与不变的规律，进而提炼规律，并学会用字母式表达的方法。】

3.质疑验证，归纳总结。

师：是不是所有的多边形的面积与其边上的钉子数之间的关系都符合上述规律？

（学生拿出课前围成的多边形，独立验证后，发现有部分围的多边形符合，有部分不符合）

师：为什么有同学围的多边形却不存在这样的规律呢？

师：是的，这只是大家根据数据提出的猜想。（板书：提出猜想）

师：为什么有些多边形符合猜想，而有些多边形却不符合呢？

师：符合规律的多边形里都只有1枚钉子。

师：同学们，通过刚才我们的举例验证，（板书：举例验证）你能完整地表达这个规律吗？

师：如果用N来表示多边形内的钉子数，谁能把结论完整地表达出来？

回顾总结：让我们一起来回顾一下刚才研究的过程。

（1）观察钉子板上的几个多边形，把相关数据整理在表格中。

（2）观察数据，提出了S=L÷2的猜想。

（3）对提出的猜想进行了验证，发现有些多边形符合规律，有些不符合。

（4）从中寻找某些图形的共同特征，调整之前的猜想。

（5）再次进行验证。

（6）得出结论：当 N=1 时，S=L÷2。

师：看来钉子板上的多边形的面积不仅与多边形边上的钉子数有关，还与多边形里的钉子数有关。

【设计说明：引导学生“犯错”是为了更好地“化错”“融错”和“改错”，开放的问题才能让学生思维产生激烈的碰撞，才会呈现学生的真实想法。“为什么有同学围的多边形却不存在这样的规律呢？”不是明知故问，而是在培养学生思维的严谨性。学生只有学会质疑才能让学习不断深入。“图形内部只有1枚钉子”是上述四个图形的共同特点，也是“多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半”的前提。如果离开这个前提，这样的规律就不存在了。因此本环节，既要让学生自主寻找规律，还要引导他们关注规律得来的前提条件。发现规律后，用字母表达式表示规律是培养学生的抽象意识，让学生体验如何精确、简约地表达规律，感受模型思想的巧妙与简洁。】

4.合作探究，拓展规律。

师：多边形内有1枚钉子的情况已经研究过了，而且找出了一般规律，那下面你们还想研究什么呢？

预设：多边形内有2枚钉子的时候，面积和钉子数的关系。

师：你又想怎么研究呢？

学生提炼研究步骤：

（1）首先画一个内部有2个点的多边形，得出S和L。

（2）同桌交流，完善表格。

（3）观察表格中S与L的值，再互相说一说有什么发现。

师：通过研究我们知道，多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。规律为：当N=2时，S=L÷2+1。

师：当 N=1 时，S=L÷2，当 N=2 时，S=L÷2+1，当N=3、4、5……时，S与L之间又有什么关系呢？你们打算如何验证？

分组合作探究：

（1）组内确定研究主题：N=3或者N=4或者N=？

（2）画一个多边形，得出S与L的值，填入表中。

（3）观察比较分析，研究的结果和猜想的结论是否一致？

师：想一想，当 N=5时，S=？当 N=6时，S=？照这样想下去，多边形内的钉子数就用N表示，上面的计算公式可以怎样表达？

师：这个公式适用于N=0时的情况吗？（快速验证）

师：老师不得不佩服你们，刚才的发现与奥地利数学家皮克发现的计算格点多边形的面积公式是完全一致的，我们一起来了解一下。（课件出示）

【设计说明：探索多边形里有2枚钉子数的面积规律与前一段基本相同，前面探索中的做法与经验会迁移过来。所以，应留给学生更多的自主活动的空间。要重点引导学生提出问题，努力发现寻找规律的方法。而当里面钉子数不确定时，思维难度有了很大提高，这一段的规律比前面复杂，发现和表达规律的难度也比前面大。这一段的思维方式与前面不一样。前面两段都是先研究实例，得出数据，再在数据中提取规律，思维方式是归纳推理。而这一段是先猜想多边形面积与其边上的钉子数之间的关系，再用实例验证是否存在这样的规律，思维方式是类比推理。】

三、回顾反思，交流体会

师：今天，我们探讨了钉子板上的多边形，回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？

小结：今天这堂课我们通过对钉子板上的多边形的研究，发现了钉子板上多边形的面积不仅与其边上的钉子数有关系，还与多边形里面的钉子数有关系，并最终找到了一些规律。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过围一围、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。我们从这个过程中发现：要从各种不同情况的多边形中研究；要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中各有几个钉子；发现不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。发现规律固然很重要，但在发现规律的过程中我们所用到的数学思想方法、积累到的数学学习经验更重要！

【设计说明：回顾反思是积累数学活动经验的重要环节。可从这几方面引导学生总结经验：一是要在大量实例中，通过仔细观察与深入分析，寻找相同点，才能发现规律。二是要与他人交流和共享规律，能关注规律的适用范围。表示规律的形式与方法很多，如果能用含有字母的式子表达，既清楚又简洁。三是探索规律较辛苦，需投入很多时间和精力，但也很愉快，尤其当发现规律时，能体会到成功的喜悦。】